Cours : Utiliser une translation et une rotation

La translation

Une translation, c’est un déplacement. Prenons un exemple.

• Si on prend le trajet allant de la maison au puits, on peut dire que l'on effectue une translation de la maison vers le puits.
• Si on effectue ce même trajet en partant de l'arbre, on partira donc de l'arbre et on marchera dans la même direction, dans le même sens et à la même distance que le trajet de la maison au puits.
• Pour reporter une translation, on suivra donc une droite parallèle à la translation initiale et on respectera son sens et sa longueur.

Définition

Translation :

Dans une translation, tous les points d'une figure sont déplacés dans une même direction (selon des droites parallèles), dans un même sens et sur une même distance.

Méthodologie : reproduire une translation

Soient trois points $A$, $M$ et $B$.
À partir du point $M$, on souhaite tracer le point $M'$ résultant d'une translation identique à celle qui transforme $A$ en $B$.

Pour cela :

• On trace le segment $[AB]$ tel que $AB = 4\ \text{cm}$ et on trace le segment $[BM]$ ;
• On place $I$ le milieu du segment $[BM]$ ;
• On trace $M'$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. $I$ est ainsi le milieu de $[AM']$ ;
• $ABM'M$ est donc un parallélogramme. En effet, c'est un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
• Ainsi $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur.

• La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme donc un point $M$ en un point $M'$

Exemple

Soit une figure $ABCD$ et un point $M$
Nous voulons trouver l'image de $ABCD$ ayant subi la translation qui transforme $A$ en $M$.
Pour cela il faut commencer par tracer la figure puis l'image.
On constate par comparaison que les mesures des côtés de ces deux figures, ainsi que celles des angles, sont identiques.

Ce qui nous permet d'en déduire la propriété suivante :

Propriété

Les translations conservent les longueurs des segments et les mesures d'angles.

Étudions maintenant un deuxième type de déplacement qu'est la rotation.

Les rotations

Définition

Rotation :

Une rotation est une transformation qui déplace une figure en la faisant tourner autour d'un point (en suivant un cercle ayant pour centre ce point et pour rayon la distance entre le centre et le point à déplacer) suivant un angle précis.

Astuce

• Si on effectue cette rotation dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire), on dira que cette rotation est de sens indirect.
• Si on l'effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens antihoraire), on dira que cette rotation est de sens direct.

À retenir

Une rotation est donc une transformation déterminée par :

• son centre (le centre de la rotation) ;
• son sens (direct ou indirect) ;
• son angle.

Méthodologie : comment effectuer une rotation ?

Pour construire l'image d'un point $A$ dans une rotation de centre $O$ et d'angle $30\degree$ dans le sens indirect, il faut :

• placer la pointe du compas sur le $O$ et ouvrir le compas à la distance de $[OA]$ ;
• tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $[OA]$ ;
• tracer la droite $(OA')$ tel que $\widehat{AOA'} = 30\degree$ et que $A'$ se situe à l'intersection de cette droite et du cercle ;
• le point $A'$ ainsi formé est l'image du point $A$ après une rotation de centre $O$ et d'angle $30\degree$.

Pour construire l'image d'une figure on procède de la même manière point après point.

Exemple

Traçons l'image d'un triangle $ABC$ rectangle en $B$ suivant une rotation de centre $M$ et d'angle $50\degree$ dans le sens indirect.

• On constate que la mesure des côtés du triangle $ABC$ ainsi que ses angles sont les mêmes que celles de son image.

La méthodologie nous conduit à la propriété suivante :

Propriété

Les rotations conservent les longueurs et les mesures d'angle.