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Utiliser une translation et une rotation

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Introduction :

En géométrie, nous disposons d'outils afin de déplacer une figure tout en gardant ses caractéristiques.
Au cours de cette leçon, nous allons étudier deux types de déplacements que sont la translation et la rotation.

La translation

Une translation, c’est un déplacement. Prenons un exemple.

Illustration d'une translation-Mathématiques-4e

  • Si on prend le trajet allant de la maison au puits, on peut dire que l'on effectue une translation de la maison vers le puits.
  • Si on effectue ce même trajet en partant de l'arbre, on partira donc de l'arbre et on marchera dans la même direction et à la même distance que le trajet de la maison au puits.
  • Pour reporter une translation, on suivra donc une droite parallèle à la translation initiale et on respectera sa longueur.
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Définition

Translation :

Dans une translation, tous les points d'une figure sont déplacés dans une même direction (selon des droites parallèles) et sur une même distance.

Méthodologie : reproduire une translation

Soient trois points AA, MM et BB.
À partir du point MM, on souhaite tracer le point MM' résultant d'une translation identique à celle qui transforme AA en BB.

Pour cela :

  • On trace le segment [AB][AB] tel que AB=4 cmAB = 4\ \text{cm} et on trace le segment [BM][BM] ;
  • On place II le milieu du segment [BM][BM] en traçant la médiatrice du segment ;
  • On trace MM' le symétrique de AA par rapport à II. II est ainsi le milieu de [AM][AM'] ;
  • ABMMABM'M est donc un parallélogramme. En effet, c'est un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
  • Ainsi [AB][AB] et [MM][MM'] sont parallèles et de même longueur.

Reproduire une translation-Mathématiques-4e

  • La translation qui transforme AA en BB transforme donc un point MM en un point MM'
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Exemple

Soit une figure ABCDABCD et un point MM
Nous voulons trouver l'image de ABCDABCD ayant subi la translation qui transforme AA en MM.
Pour cela il faut commencer par tracer la figure puis l'image.
On constate par comparaison que les mesures des côtés de ces deux figures, ainsi que celles des angles, sont identiques.

Exemple d'une translation sur une figure-Mathématiques-4e

Ce qui nous permet d'en déduire la propriété suivante :

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Propriété

Les translations conservent les longueurs des segments et les mesures d'angles.

Étudions maintenant un deuxième type de déplacement qu'est la rotation.

Les rotations

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Définition

Rotation :

Une rotation est une transformation qui déplace une figure en la faisant tourner autour d'un point (en suivant un cercle ayant pour centre ce point et pour rayon la distance entre le centre et le point à déplacer) suivant un angle précis.

La rotation-Mathématiques-4e

  • Si on effectue cette rotation dans le sens des aiguilles d'une montre, on dira que cette rotation est de sens indirect.
  • Si on l'effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on dira que cette rotation est de sens direct.
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À retenir

Une rotation est donc une transformation déterminée par :

  • son centre (le centre de la rotation) ;
  • son sens (direct ou indirect) ;
  • son angle.

Méthodologie : comment effectuer une rotation ?

Pour construire l'image d'un point AA dans une rotation de centre OO et d'angle 30°30\degree dans le sens indirect, il faut :

  • placer la pointe du compas sur le OO et ouvrir le compas à la distance de [OA][OA] ;
  • tracer le cercle de centre OO et de rayon [OA][OA] ;
  • tracer la droite (OA)(OA') tel que AOA^=30°\widehat{AOA'} = 30\degree et que AA' se situe à l'intersection de cette droite et du cercle ;
  • le point AA' ainsi formé est l'image du point AA après une rotation de centre OO et d'angle 30°30\degree.

Comment efectuer une rotation-Mathématiques-4e

Pour construire l'image d'une figure on procède de la même manière point après point.

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Exemple

Traçons l'image d'un triangle ABCABC rectangle en BB suivant une rotation de centre MM et d'angle 50°50\degree dans le sens indirect.

Construire l'image d'un triangle par rotation-Mathématiques-4e

  • On constate que la mesure des côtés du triangle ABCABC ainsi que ses angles sont les mêmes que celles de son image.

La méthodologie nous conduit à la propriété suivante :

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Propriété

Les rotations conservent les longueurs et les mesures d'angle.