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Symétrie centrale et axiale

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Introduction :

En géométrie, nous possédons certains outils permettant de transformer les figures. Au cours de cette leçon, nous allons définir et apprendre à effectuer deux types de transformations que sont la symétrie axiale et la symétrie centrale.

Symétrie axiale

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Définition

Symétrie axiale :

Symétrie qui se construit par rapport à un axe (une droite).

Deux figures AA et AA' sont symétriques par rapport à une droite (d)(d) si elles se superposent par pliage le long de cette droite.

Deux figures symétriques par rapport à une droite-5e-Maths

Symétrique d'un point par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique MM' d'un point MM par rapport à une droite (d)(d) :

  • on trace une droite (d)(d) et on place un point MM n'importe où à côté de la droite ;
  • on place le projeté orthogonal OO du point MM sur (d)(d) et on trace la droite (OM)(OM) ;
  • on reporte la distance OMOM de l'autre côté de la droite (d)(d). On trouve ainsi le point MM'.

Tracer le symétrique d'un point par rapport à une droite-5e-maths

bannière à retenir

À retenir

Pour prouver que deux points sont symétriques par rapport à une droite (d)(d), il suffit de montrer qu'ils sont à équidistance de la droite et qu'ils se situent sur une même droite perpendiculaire à (d)(d).

Symétrique d'une figure par rapport à une droite

Pour tracer le symétrique ABCDA'B'C'D' d'une figure ABCDABCD par rapport à une droite (d)(d) :

  • il faut tracer le symétrique de chaque point par rapport à (d)(d) ;
  • on relie ensuite chacun des points pour constituer ainsi ABCDA'B'C'D'.

Tracer le symétriques d'une figure par rapport à une droite-5e-maths

Conservation des longueurs et des angles

Dans la figure ci-dessus, on peut constater que la symétrie axiale conserve les distances entre les points, autrement dit les longueurs des segments.

On a :

  • AB=ABAB = A'B'
  • BC=BCBC = B'C'
  • CD=CDCD = C'D'
  • DA=DADA = D'A'

La symétrie axiale conserve la mesure des angles.

On a donc :

  • ABC^=ABC^\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}
  • BCD^=BCD^\widehat{BCD}=\widehat{B'C'D'}
  • CDA^=CDA^\widehat{CDA}=\widehat{C'D'A'}
  • DAC^=DAC^\widehat{DAC}=\widehat{D'A'C'}

De ces deux constats, il en découle la propriété suivante.

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Propriété

La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles d'une figure. Autrement dit, elle conserve les propriétés particulières de chaque figure.

Conservation de l'aire et du périmètre

Par ailleurs, si on conserve les longueurs ainsi, on peut vérifier avec les formules adaptées qu'on conserve également le périmètre et l'aire. En effet, les variables des formules de périmètre et d'aire sont les longueurs, donc des polygones de longueurs identiques auront la même aire et le même périmètre.

bannière exemple

Exemple

  • Soit ABCDABCD un rectangle tel que AB=7 cmAB = 7 \text{ cm} et BC=3 cmBC = 3 \text{ cm}

Rectangle ABCD-5e-Maths

Le périmètre est :

P=2×(L+l)P=2×(7+3)P=2×10P=20 cm\begin{aligned}P &= 2 \times (L + l)\ P&= 2 \times (7 + 3)\ P&= 2 \times 10\ P&=20\ \text{cm}\end{aligned}

L'aire est :

A=L×lA=7×3A=21 cm2\begin{aligned}A &= L \times l\ A&= 7 \times 3\ A&= 21\ \text{cm}^2\end{aligned}

  • Soit un deuxième rectangle EFGHEFGH tel que EF=7 cmEF = 7 \text{ cm} et FG=3 cmFG = 3 \text{ cm}

Rectangle EFGH-5e-Maths

Le périmètre est :
P=2×(L+l)P=2×(7+3)P=2×10P=20 cm\begin{aligned}P &= 2 \times (L + l)\ P&= 2 \times (7 + 3)\ P&= 2 \times 10\ P&=20\ \text{cm}\end{aligned}

L'aire est :
A=L×lA=7×3A=21 cm2\begin{aligned}A &= L \times l\ A&= 7 \times 3\ A&= 21\ \text{cm}^2\end{aligned}

  • On a deux figures ayant des mesures identiques, on constate qu'elles ont le même périmètre ainsi que la même aire.

Conservation de l'alignement des points

De même, dans une figure, si on conserve les angles, alors on conserve l'alignement des points.

En effet, si AA, BB et CC sont trois points alignés, alors l'angle ABC^=180°\widehat{ABC}=180\degree.
Si on effectue la symétrie de ses trois points ainsi transformés en AA', BB', et CC', l'angle ABC^\widehat{A'B'C'} sera conservé et mesurera 180°180\degree.

  • AA', BB' et CC' seront donc alignés.

Comme la symétrie axiale conserve les propriétés géométriques particulières à chacune des figures, il est possible de tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite.
Pour cela, il suffit de commencer par tracer les symétriques de AA et BB puis de se servir des propriétés géométriques de la figure pour compléter la construction.

Symétrie centrale et axiale mathématiques cinquième

Certaines figures possèdent un ou plusieurs axes de symétrie. Cela signifie que si on plie la figure selon un axe, les deux parties se superposent parfaitement.
Le triangle isocèle, le triangle équilatéral, le rectangle, le carré, le losange et le cercle possèdent au moins un axe de symétrie.

Les axes de symétries dans les différentes figures géométriques

Pour déterminer les axes de symétrie de chacune des figures, on peut tracer les droites particulières de celles-ci.

Le triangle isocèle

La hauteur issue du sommet opposé à la base est l'axe de symétrie du triangle isocèle.

  • Le triangle isocèle possède donc un axe de symétrie.

axe de symétrie triangle isocèle-5e-Maths

bannière rappel

Rappel

La base d'un triangle isocèle est le côté ayant une mesure différente des deux autres.

Le triangle équilatéral

Les hauteurs du triangle sont les axes de symétrie du triangle équilatéral.

  • Le triangle équilatéral possède donc trois axes de symétrie.

axe de symétrie Triangle équilatéral-5e-Maths

Le rectangle

Les médiatrices des côtés sont les axes de symétrie du rectangle.

  • Le rectangle possède donc deux axes de symétrie.

axe de symétrie Rectangle-5e-Maths

Le carré

Les médiatrices ainsi que les diagonales sont les axes de symétrie du carré.

  • Le carré possède donc quatre axes de symétrie.

axes de symétrie du carré-5e-Maths

Le losange

Les diagonales sont les axes de symétrie du losange.

  • Le losange possède donc deux axes de symétrie.

Axes de symétrie du losange-5e-Maths

Le cercle

Le diamètre est l'axe de symétrie du cercle.

  • Le cercle possède une infinité de diamètres, il a donc une infinité d'axes de symétrie.

Alt texte

Nous allons à présent nous intéresser à la notion de symétrie centrale.

La symétrie centrale

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Définition

Symétrie centrale :

Symétrie qui se construit par rapport à un point.

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À retenir

Deux figures sont symétriques par rapport à un point OO si elles sont superposables en effectuant une rotation de centre OO.

Symétrique d'un point par rapport à un point

Pour tracer le symétrique FF' d'un point FF par rapport à un point OO :

  • il faut tracer la droite (FO)(FO) ;
  • on reporte ensuite la distance OFOF sur la droite (OF)(OF) de l'autre côté du point OO ;
  • on trouve ainsi le point FF'.

Symétrie centrale-5e-Maths

bannière à retenir

À retenir

On dit ainsi que :

  • FF' est l'image de FF par la symétrie de centre OO ;
  • FF et FF' sont symétriques par rapport à OO.
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Propriété

Le centre de symétrie de deux points est le milieu du segment formé par ses deux points.

Symétrique d'une figure par rapport à un point

Pour tracer le symétrique d'une figure par rapport à un centre OO, on fait le symétrique de chaque point par rapport à OO.

Tracer le symétrique d'une figure par rapport à un centre O-5e-Maths

Activités

  • On trace un segment [AB][A'B'] symétrique du segment [AB][AB] par rapport à OO ;
  • on trace les segments [AA][AA'] et [BB][BB'].

symétrie centre et axiale mathématiques cinquième

On constate que les segments [AA][AA'] et [BB][BB'] se coupent en leur milieu et que AB=ABAB = A'B'.

On trace les segments [AB][AB'] et [BA][BA'].

symétrie centre et axiale mathématiques cinquième

On constate que la figure ABABAB'A'B a deux côtés opposés égaux et des diagonales qui se coupent en leur milieu.

ABABAB'A'B est donc un parallélogramme et [AB][AB] et [AB][A'B'] sont parallèles.

  • Ici, le symétrique d'un segment par rapport à un point OO est un autre segment parallèle. Il en sera de même avec deux droites quelconques.
  • On trace un angle ABC^\widehat{ABC} de 30°30\degree ;
  • on place un point OO ;
  • on trace le symétrique ABC^\widehat{A'B'C'} de ABC^\widehat{ABC} par rapport à O.

Si on mesure l'angle ABC^\widehat{A'B'C'}, on constate qu'il est égal à ABC^\widehat{ABC}.

  • La symétrie centrale conserve donc les angles.

symétrie centrale et axiale mathématiques cinquième

De ces deux activités, on déduit la propriété suivante.

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Propriété

Par une symétrie centrale :

  • l'image d'une droite est une droite parallèle ;
  • l'image d'un angle est un angle de même mesure.

Comme la symétrie centrale conserve les propriétés géométriques de chacune des figures, il est possible de tracer les symétriques de AA et BB par rapport à un point, puis de se servir des propriétés de la figure pour la compléter.