Cours : Symétrie axiale et centrale

Prérequis :

• cours de 6^e sur la symétrie axiale.

Symétrie axiale (rappels)

Symétrique d’un point par rapport à une droite

Définition

Symétrique d’un point par rapport à une droite :

On considère une droite $(d)$ et un point $A$ qui n’appartient pas à $(d)$.
Le symétrique du point $A$ par rapport à $(d)$ est le point $A^{\prime}$ tel que :

• $(d)$ passe par le milieu du segment $[AA^{\prime}]$ ;
• $(d)$ coupe $(AA^{\prime})$ perpendiculairement.

Autrement dit, $A^{\prime}$ est le point tel que $(d)$ est la médiatrice de $[AA^{\prime}]$.

À retenir

Si $A$ appartient à la droite $(d)$, alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.

Symétrique d’une figure par rapport à une droite

Définition

Symétrique d’une figure par rapport à une droite :

On considère une droite $(d)$ et une figure $\mathcal F$.
On obtient le symétrique de la figure $\mathcal F$ par rapport à $(d)$ en construisant le symétrique de chaque point de $\mathcal F$ par rapport à $(d)$.

• $(d)$ est alors appelé axe de symétrie.

À retenir

Deux figures symétriques par rapport à une droite sont superposables par « pliage » selon la droite.

Propriété

La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, l’alignement et le parallélisme.

Par conséquent, une figure et son symétrique possèdent les mêmes propriétés algébriques. Par exemple, par une symétrie axiale, l’image d’un carré est un carré de même longueur de côté, l’image d’un cercle un cercle de même rayon.

Axe de symétrie d’une figure

Définition

Axe de symétrie d’une figure :

Lorsque le symétrique d’une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure.

• Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.

La symétrie centrale

Dans cette partie, nous allons découvrir une autre transformation : la symétrie centrale.
Si leurs définitions sont fondamentalement différentes, nous verrons que nous retrouvons, avec la symétrie centrale, des propriétés de conservation semblables à celles de la symétrie axiale.

Symétrique d’un point par rapport à un point

Définition

Symétrique d’un point par rapport à un point :

On considère deux points distincts $O$ et $A$.
Le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$ est le point $A^{\prime}$ tel que $O$ est le milieu du segment $[AA^{\prime}]$.

• On dit alors que l’image du point $A$ par la symétrie de centre $O$ est le point $A^{\prime}$.
• On peut aussi dire que $A$ et $A^{\prime}$ sont symétriques par rapport à $O$.

À retenir

L’image du point $O$ par la symétrie de centre $O$ est le point $O$ lui-même.

Propriété

Si $O$ est le milieu d’un segment $[AB]$, alors $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $O$.

À retenir

Méthode : comment tracer le symétrique $F^{\prime}$ d’un point $F$ par rapport à un point $O$

• On trace la demi-droite $[FO)$.
• On reporte ensuite la distance $OF$ sur la demi-droite $[FO)$ de l’autre côté du point $O$.
• On trouve ainsi le point $F^{\prime}$.

Construire l’image d’un point par une symétrie centrale

Symétrique d’une figure par rapport à un point

Définition

Symétrique d’une figure par rapport à un point :

On considère un point $O$ et une figure $\mathcal F$.
On obtient le symétrique de la figure $\mathcal F$ par rapport à $O$ en construisant le symétrique de chaque point de $\mathcal F$ par rapport à $O$.

• $O$ est alors appelé centre de symétrie.

On considère deux figures $\mathcal F$ et $\mathcal F^{\prime}$, symétriques par rapport à un point $O$.
Si on fait faire à $\mathcal F$ un demi-tour autour de $O$ (on la fait « tourner » de $180\degree$ autour de $O$), alors elle vient se superposer parfaitement à $\mathcal F^{\prime}$.

Propriété

Deux figures symétriques par rapport à un point sont superposables par un demi-tour autour de ce point.

Puisque deux figures symétriques par rapport à un point sont superposables, nous avons aussi, pour la symétrie centrale, des propriétés de conservation.

Propriété

On considère une symétrie de centre $O$.

• L’image d’un segment est un segment de même longueur.
• La symétrie centrale conserve les longueurs.
• L’image d’un angle est un angle de même mesure.
• La symétrie centrale conserve les angles.
• L’image d’une figure est une figure de même périmètre et de même aire.
• La symétrie centrale conserve les périmètres et les aires.
• Les images de trois points alignés sont trois points aussi alignés.
• La symétrie centrale conserve l’alignement.
• L’image d’une droite est une droite.
• De plus, une droite et son image sont parallèles.
• L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
• Le centre du cercle image est le symétrique du centre de l’autre.

Application

• Aire $\mathcal A_1$ de $\mathcal F_1$

• Symétrique de $\mathcal F_1$ par rapport au point $D$

Construisons le symétrique de $\mathcal F_1$ par rapport à $D$, que nous notons $\mathcal F_2$.
Pour cela, nous construisons les symétriques des sommets de $\mathcal F_1$, que nous joignons pour obtenir les symétriques de ses côtés, et donc $\mathcal F_2$.

• Symétriques de $\mathcal F_1$ et $\mathcal F_2$ par rapport à la droite $(A^{\prime}B^{\prime})$

Construisons les symétriques de $\mathcal F_1$ et $\mathcal F_2$ par rapport à $\red{(A^{\prime}B^{\prime})}$, que nous notons respectivement $\mathcal F_3$ et $\mathcal F_4$.
Nous connaissons bien maintenant la symétrie axiale, nous les représentons ci-dessous directement (nous ne notons plus les sommets, pour plus de lisibilité) :

• Aire totale

Nous cherchons maintenant à calculer l’aire $\mathcal A$ de l’ensemble des $4$ polygones bleus.
Pour cela, nous nous servons de la propriété de conservation des aires de la symétrie centrale et axiale : $\mathcal F_1$, $\mathcal F_2$, $\mathcal F_3$ et $\mathcal F_4$ ont la même aire.
Or, nous avons déjà calculé l’aire $\mathcal A_1$ de $\mathcal F_1$.

• Nous en déduisons l’aire totale :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=4\mathcal A_1 \\ &=4\times 8 \\ &=32 \end{aligned}$$

L’aire de l’ensemble des $4$ polygones vaut donc $32\ \text{cm}^2$.

• Une « frise mathématique »

À partir des figures obtenues, nous pouvons continuer à appliquer une succession de symétries, pour obtenir ce qu’on appelle, en maths, une frise, où un même motif se répète à l’infini :

Centre de symétrie d’une figure

Définition

Centre de symétrie d’une figure :

On dit qu’un point est un centre de symétrie d’une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport au point est elle-même.

Exemple

Étudions la figure $\mathcal C$ suivante, qui est une « croix de pharmacie » et, plus précisément, un dodécagone ($12$ côtés).

Croix de pharmacie

• Centre de symétrie

La figure $\mathcal C$ admet pour centre de symétrie le point $O$.

• Si on fait tourner la figure de $180\degree$ autour de $O$, elle se superpose à elle-même.

On choisit aléatoirement un point appartenant au contour de $\mathcal C$.

• Son symétrique par rapport à $O$ se trouve aussi sur ce contour.

Centre de symétrie de la croix de pharmacie

• Axes de symétrie

Par ailleurs, $\mathcal C$ admet aussi quatre axes de symétrie : les droites $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$ et $(d_4)$, représentées ci-dessous.

On place par exemple un point $M$ sur le contour de $\mathcal C$.

• $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$, les symétriques respectifs de $M$ par rapport à $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$ et $(d_4)$, appartiennent aussi au contour de $\mathcal C$.

Axes de symétrie de la croix de pharmacie