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Liste des coefficients binomiaux k parmi n pour n donné (avec la formule de Pascal) - Python
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Introduction :
Dans cette fiche, nous allons voir un programme en Python qui va nous permettre, grâce à la formule de Pascal découverte en cours, de donner la liste des coefficients binomiaux pour un entier naturel donné.
Formule et triangle de Pascal
Nous avons vu en cours la formule de Pascal, qui nous dit que, pour tous les entiers naturels et tels que :
Nous savons aussi que, pour tout entier naturel :
Nous avons aussi donné le triangle de Pascal, que nous remettons ici jusqu’à :
À partir d’une ligne du triangle de Pascal connue, générer la ligne suivante
Ce que nous venons de rappeler dans la première partie nous permet de nous rendre compte que, connaissant une ligne du triangle de Pascal, nous pouvons en déduire la suivante.
Nous allons nous servir des listes pour donner les coefficients binomiaux correspondant à un entier naturel .
Par exemple, pour , les coefficients binomiaux se présenteront ainsi :
Avec donc : , , , .
Nous créons donc une liste nommée , dont nous indiquons le premier élément :
Pour mieux comprendre comment borner cette boucle, prenons comme exemple la ligne donnant les coefficients binomiaux pour : .
Et nous souhaitons que la fonction qui prend cette liste en paramètre nous renvoie la ligne suivante, c’est-à-dire la liste des coefficients binomiaux pour : .
Nous avons déjà assigné la valeur à l’élément de . Nous savons aussi que son dernier élément sera égal à .
est égal au nombre d’éléments de la liste moins , soit .
Généralisons : pour donné, la liste a éléments, qui donnent les coefficients binomiaux (de à ). Comme on connaît le premier et le dernier, il y en a donc : à trouver.
Ainsi, le coefficient donné par l’élément de la liste se calcule en faisant la somme des coefficients donnés par les éléments et de la liste .
Autrement dit, le coefficient donné par l’élément de la liste se calcule en faisant la somme des coefficients donnés par les éléments et de la liste .
Et le coefficient donné par l’élément de la liste se calcule en faisant la somme des coefficients donnés par les éléments et de la liste .
Remarquons que, si le paramètre de la fonction est la liste (c’est la ligne pour ), alors on n’entrera pas dans la boucle, et la fonction renverra (c’est la ligne pour ).
Donner la liste des coefficients binomiaux pour donné
Nous venons de créer une fonction qui, à une ligne donnée du triangle de Pascal, renvoie la ligne suivante. En fait, le plus dur est fait.
Il s’agit donc de générer, de ligne en ligne, la liste qui nous intéresse, en partant de .
Remarquons que, si nous mettons comme paramètre , alors nous n’entrerons pas dans la boucle, et la fonction affichera (c’est la ligne pour ).
Algorithme complet
Si nous entrons un grand, par exemple , nous aurons alors une liste longue et guère lisible.