Savoir déterminer l'état probabiliste d'un système

• Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut $1$.
• L’état probabiliste d’un système est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles au cours d’une étape $1$.
  Cette loi de probabilité est représentée par une matrice ligne dont la somme des termes vaut $1$.
  On note $P_n=(a_n\ b_n )$ ou $P_n=(a_n\ b_n\ c_n)$ la matrice ligne correspondant à l’état probabiliste à l’étape $n$.
• La matrice de transition $M$ d’un graphe probabiliste d’ordre $n$ dont les sommets sont numérotés de $1$ à $n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ où le terme figurant en ligne $i$ et colonne $j$ est égal au poids de l’arête allant de $i$ vers $j$. Il est égal à $0$ si cette arête n’existe pas. La somme des coefficients de chacune des lignes de $M$ est égale à $1$.
• Si $n$ désigne un entier naturel non nul, $M$ la matrice de transition d’un graphe probabiliste, $P_0$ la matrice ligne décrivant l’état initial, $P_n$ l’état probabiliste à l’étape $n$, alors $P_n=P_0 \times M^n$
• Un état probabiliste $P$ est dit stable lorsque $P \times M=P$

Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste

Déterminer la matrice de transition de ce graphe

$M =\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$

$m_{ij}$ $i$ la ligne et $j$ la colonne
$m_{11}$ est le poids de l’arête $AA : 0,5$
$m_{12}$ est le poids de l’arête $AB : 0,5$
$m_{21}$ est le poids de l’arête $BA : 0,3$
$m_{22}$ est le poids de l’arête $BB : 0,7$

Donc ici la matrice est $M =\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}$

Calculer l’état initial $P_0$ et $P_n$

On a $62\%$ des lycéens qui prennent le premier jour le menu $A$ donc $A_0=0,62$
$B_0= 100\%-62 \%=38\%$ donc $38\%$ des lycéens ont choisit le menu $B$, donc $B_0=0,38$

$P_0=(A_0\ B_0 )=(0,62\ 0,38)$

L’état probabiliste à l’instant $n$ est donc $P_n=P_0×M^n=(0,62\ 0,38)\times \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}^n$

Il suffira ensuite de remplacer $n$ par sa valeur pour effectuer les calculs.

Calculer l’état stable

Un état probabiliste $P$ est stable si $P \times M=P$.

Pour trouver l’état stable $P=(A\ B)$ d’un graphe probabiliste d’ordre $2$, on résout le système $(S) \begin{cases} A+B=1 \\ \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}×M=\begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \end{cases}$

$PM = P \iff \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}$

$\iff \begin{pmatrix} 0,5A\ +\ 0,3B & 0,5A\ +\ 0,7B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}$

$\iff \begin{cases} 0,5A\ +0,3B = A \\ 0,5A\ +0,7B = B \end{cases}$

$\iff \begin{cases} -0,5A\ +0,3B = 0 \\ 0,5A\ -0,3B = 0 \end{cases}$

$\iff 0,5A -0,3B=0$

Comme $A+B=1$, l’état stable est solution du système $(S)$ :
$(S) : \begin{cases} A+B=1 \\ 0,5A -0,3B=0 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 -A \\ 0,5A -0,3(1-A)=0 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 -A \\ 0,5A -0,3 -0,3 A=0 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 -A \\ 0,8A -0,3=0 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 -A \\ 0,8A =0,3 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 -A \\ A =\dfrac{0,3}{0,8}=\dfrac3 8 \end{cases}$

$(S) : \begin{cases} B=1 - \dfrac 3 8=\dfrac 5 8 \\ A =\dfrac3 8 \end{cases}$

L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix} \dfrac 3 8 & \dfrac 5 8\end{pmatrix}$.

Ce qui signifie : à long terme, le $\dfrac{3} {8}$ des lycéens choisiront le menu « steak haché – frites » et les $\dfrac{3} {8}$ restants le menu « plat du jour ».

Remarque : les états probabilistes à l’étape $n, P_n$ convergent vers l’état stable lorsque $n$ tend vers l’infini.