Sujet 2023 - Jour 1 (20/03/2023) - Spécialité physique-chimie - Corrigé

Sujet bac : annale 20 mars 2023

Exercice n°1 : À la découverte de Saturne (11 points)

Observation de Saturne par Huygens

$\bold{Q1.}$ Le terme « afocal » signifie que la lunette astronomique forme, d’un objet situé à l’infini, une image à l’infini. Par « infini », on entend que les distances objet-lunette ou lunette-image sont très grandes par rapport aux distances focales de l’objectif ou de l’oculaire.

$\bold{Q2.}$ Dans le cas d’une lunette afocale, le foyer objet $\text{F}_2$ de l’oculaire est confondu avec le foyer image $\text{F}_1^{\prime}$ de l’objectif. Le foyer image $\text{F}_2^{\prime}$ de l’oculaire est le symétrique de.$\text{F}_2$ par rapport à $\text{O}_2$.

$\bold{Q3.}$ Le rayon issu de $\text{B}$, passant par le centre optique $\text{O}_1$ de l’objectif, n’est pas dévié. On trouve la position du point $\text{B}_1$ comme étant l’intersection du rayon émergent de l’objectif $\text{L}_1$ et du plan principal objet de l’oculaire.
Le deuxième rayon issu de $\text{L}_1$, émerge de l’objectif en passant également par $\text{B}_1$.
Les rayons permettant la formation de l’image intermédiaire sont tracés en rouge.

L’image intermédiaire $\text{A}_1\text{B}_1$ sert d’objet pour l’oculaire $\text{L}_2$.

Astuce

Pour bien orienter les rayons qui émergent de la lentille $\text{L}_2$, il faut tracer le rayon qui provient de $\text{B}_1$ et qui passe par $\text{O}_2$. Celui-ci n’est pas dévié. Tous les rayons qui émergent de $\text{L}_2$ sont parallèles à celui-ci.

Les rayons permettant de former l’image intermédiaire $\text{A}_2\text{B}_2$ sont tracés en vert. Avant la lentille, ils sont bien entendu le prolongement des rayons rouges !

$\bold{Q4.}$ Une lunette est afocale si les foyers $\text{F}_1^{\prime}$ et $\text{F}_2$ sont confondus. Ainsi, la distance $\text{O}_1\text{O}_2$ est égale à la somme des distances focales des deux lentilles (objectif + oculaire). On calcule la somme $\ell+f_1^{\prime}+f_2^{\prime}$ et on vérifie qu’elle est égale à la distance $\ell+\text{O}_1\text{O}_2 = L = 372\ \text{cm}$ : $$\ell+f_1^{\prime}+f_2^{\prime}=36+329+7,0=372\ \text{cm}=L$$ La lunette utilisée par Huygens est donc bien afocale.

$\bold{Q5.}$ L’angle $\theta^{\prime}$ se place entre l’axe optique et le rayon passant par le centre optique de la lentille oculaire.

IMAGE 3 : Angle $\theta^{\prime}$ d’observation à travers la lunette astronomique (rajouter A101B1 indiqué comme \theta)

$\bold{Q6.}$ Par définition, le grossissement correspond au quotient du diamètre apparent par l’angle de vision à l’œil nu : $$G_\text{Huy}=\dfrac{\theta^{\prime}}{\theta}$$

$\bold{Q7.}$ Dans le triangle $\text{O}_1 \text{A}_1 \text{B}_1$ rectangle en $\text{A}_1$ : $$\tan \theta = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{\text{O}_1 \text{A}_1} \qquad \text{donc} \qquad \tan \theta = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_1^{\prime}}$$

Dans le triangle $\text{O}_2 \text{A}_1 \text{B}_1$ rectangle en $\text{A}_1$ : $$\tan \theta^{\prime} = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{\text{O}_2 \text{A}_1} \qquad \text{donc} \qquad \tan \theta^{\prime} = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_2^{\prime}}$$

D’après l’approximation des petits angles (pour $\theta\ \text{et}\ \theta^{\prime} < 0,1\ \text{rad}$ : $$\tan \theta \approx \theta \qquad \text{et} \qquad \tan \theta^{\prime} \approx \theta^{\prime}$$

On en déduit : $$\theta = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_1^{\prime}}\qquad \text{et}\qquad \theta^{\prime} = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_2^{\prime}}$$

En reprenant la définition du grossissement :

$$G_\text{Huy} = \dfrac{\theta^{\prime}}{\theta} = \dfrac{\frac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_2^{\prime}}}{\frac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_1^{\prime}}} = \dfrac{\text{A}_1 \text{B}_1}{f_2^{\prime}} \times \dfrac{f_1^{\prime}}{\text{A}_1 \text{B}_1}$$

Et donc : $$G_\text{Huy}=\dfrac{f_1^{\prime}}{f_2^{\prime}}$$

$\bold{Q8.}$ On réalise l’application numérique avec les valeurs de distances focales données. On peut laisser les deux valeurs en centimètres : $$G_\text{Huy}=\dfrac{329}{7,0}=47$$

Le grossissement de la lunette utilisée par Huygens est donc de 47.

$\bold{Q9.}$ On calcule le diamètre apparent sous lequel est vue à l’œil nu la distance entre la surface de Saturne et le premier anneau : $$\theta=\dfrac{D_{\text{A}-\text{B}}}{D_{\text{T}-\text{S}}}= \dfrac{3,17 \times 10^4}{1,42 \times 10^9}=2,23 \times 10^{-5}\ \text{rad}$$

Attention

Un diamètre apparent n’est pas une distance, mais un angle. Selon le schéma ci-contre : $$\theta=\dfrac{D}{L}$$

Diamètre apparent

On en déduit le diamètre apparent sous lequel on voit cette même distance, mais à travers la lunette : $$G_\text{Huy}=\dfrac{\theta^{\prime}}{\theta} \qquad \text{donc} \qquad \theta^{\prime} = G_\text{Huy} \times \theta $$ D’où : $$\theta^{\prime} = 47 \times 2,23 \times 10^{-5} = 1,05 \times 10^{-3}\ \text{rad}$$

On voit donc que $\theta^{\prime} > 3,0 \times 10^{-4}\ \text{rad}$, donc un observateur pourra distinguer nettement la surface de Saturne et son premier anneau.

Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique

$\bold{Q10.}$ L’écart angulaire $\theta$ entre les directions des points $\text{A}$ et $\text{B}$ correspond au diamètre apparent $\theta$ sous lequel est vu la distance $D_{\text{A}-\text{B}}$ à l’œil nu. Il a été calculé précédemment : $\theta =2,23 \times 10^{-5}\ \text{rad}$.

Attention

Bien faire attention dans les calculs suivants aux unités de $\lambda$ et $\alpha$ qui doivent être identiques, ici en mètres.

• Cas de Galilée
  On calcule l’angle caractéristique de diffraction : $$\theta_{\text{diff}} = 1,22 \times \dfrac{\lambda}{a}=1,22 \times \dfrac{550\times 10^{-9}}{29,0\times 10^{-3}} = 2,31\times 10^{-5}\ \text{rad}$$ On a $\theta_\text{diff} > \theta$, ce qui ne vérifie pas la condition présentée. Galilée n’a donc pas pu distinguer la surface de Saturne et le premier anneau.

• Cas d’Huygens
  On calcule l’angle caractéristique de diffraction : $$\theta_{\text{diff}} = 1,22 \times \dfrac{\lambda}{a}=1,22 \times \dfrac{550\times 10^{-9}}{51,0\times 10^{-3}} = 1,08\times 10^{-5}\ \text{rad}$$ On a donc $\theta > \theta_\text{diff}$. Huygens a donc parfaitement pu distinguer la surface de Saturne et le premier anneau.

Découverte de Titan par Huygens

$\bold{Q11.}$ D’après les observations d’Huygens, le satellite met 16 jours à faire le tour de Saturne.

$\bold{Q12.}$ L’expression vectorielle, dans le repère de Frenet, de l’interaction gravitationnelle qu’exerce Saturne sur Titan est : $$\overrightarrow{F\ } = G \times \dfrac{M_S \times M_T}{R^2} \cdot \vec{u_n}$$

$\bold{Q13.}$ On s’intéresse au système $\lbrace Titan \rbrace$, dans un référentiel saturnocentrique, supposé galiléen, et le bilan des forces qui s’appliquent se résume à $\overrightarrow{F}$.

On applique la deuxième loi de Newton : $$\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = M_T \cdot \vec a$$ avec $$\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{F\ } = G \times \dfrac{M_S \times M_T}{R^2} \cdot \vec{u_n}$$ On a alors : $$ M_T \cdot \vec a = G \times \dfrac{M_S \times M_T}{R^2} \cdot \vec{u_n}$$ D’où : $$\vec a = \textcolor{violet}{G \times \dfrac{M_S}{R^2}} \cdot \vec{u_n}$$ Or dans le repère de Frenet : $$\vec a = \textcolor{blue}{\dfrac{dv}{dt}}\cdot \vec{u_t}+ \textcolor{violet}{\dfrac{v^2}{R}}\cdot\vec{u_n}$$ Par identification dans ces deux dernières expressions, on en déduit : $$\textcolor{blue}{\dfrac{dv}{dt}}=0 \qquad \text{et} \qquad \textcolor{violet}{\dfrac{v^2}{R}} = \textcolor{violet}{G \times\dfrac{M_S}{R^2}}$$

Astuce

Si on dispose de deux expressions différentes pour une même grandeur, on peut les identifier. Dans le cas d’une expression vectorielle, on identifie coordonnée par coordonnée.

Si la dérivée de la valeur de la vitesse $\frac{dv}{dt}$ est nulle, cela signifie que la valeur de la vitesse est constante. Le mouvement est donc uniforme.

Avec la deuxième équation, on en déduit l’expression de la valeur de la vitesse : $$\begin{aligned} \dfrac{v^2}{R}& = G \times\dfrac{M_S}{R^2}\\ v^2 &= G \times \dfrac{M_S}{R}\\ \text{donc} \qquad v&= \sqrt{ G \times \dfrac{M_S}{R}} \end{aligned}$$

$\bold{Q14.}$ Par définition, une vitesse correspond à une distance divisée par une durée. La distance parcourue correspond au périmètre du cercle qui représente l’orbite de Titan (soit $d=2\pi R$), et la durée correspond à la durée nécessaire à Titan pour faire un tour autour de Saturne (soit $\Delta t = T$). $$v=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{2\pi R}{T}$$ Or, on a une précédente expression pour la vitesse : $$v=\sqrt{ G \times \dfrac{M_S}{R}}$$ On en déduit donc : $$\dfrac{2\pi R}{T}=\sqrt{ G \times \dfrac{M_S}{R}}$$ En élevant au carré : $$\begin{aligned}\dfrac{4\pi^2 R^2}{T^2}&=G \times \dfrac{M_S}{R}\\ T^2&=\dfrac{4\pi^2 R^3}{ G \times M_S} \end{aligned}$$ Et on obtient finalement : $$T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{ G \times M_S}}$$

On fait l’application numérique : $$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(1,22 \times 10^9)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times 5,68 \times 10^{26}}}=1,38 \times 10^6\ \text{s}$$ Soit $T=15,97$ jours, ou 15 jours 23 heures et 20 minutes, ce qui est cohérent avec les observations d’Huygens.

Astuce

Attention à bien mettre chaque grandeur dans son unité du système international. Dans le cas contraire, le résultat final serait inévitablement faux.

Exercice n°2 : Synthèse de l’arôme de banane (5 points)

Identification des espèces mises en jeu dans la réaction

$\bold{Q1.}$

Astuce

Les acides carboxyliques et les esters ont le même groupe caractéristique. Cependant, l’acide possède un $\text{H}$ lié à un $\text{O}$, tandis que l’ester possède une deuxième chaîne carbonée.

$\bold{Q2.}$ Si on regarde les formules brutes des réactifs :

• 3-méthylbutan-1-ol : $\text{C}_5 \text{H}_{12} \text{O}$
• acide éthanoïque : $\text{C}_2 \text{H}_4 \text{O}_2$

Ainsi que la formule du premier produit :

• éthanoate de 3-méthylbutyle : $\text{C}_7 \text{H}_{14} \text{O}_2$

Il y a $7$ carbones dans les réactifs, ainsi que dans le premier produit.
Il y a $16$ hydrogènes dans les réactifs et $14$ dans le premier produit.
Il y a $3$ oxygènes dans les réactifs et $2$ dans le premier produit.

• Il manque donc $2$ hydrogènes et $1$ oxygène dans les produits, ce qui compose précisément une molécule d’eau, de formule $\text{H}_2 \text{O}$.

$\bold{Q3.}$ Dans le spectre $\text{A}$, on remarque une bande large et forte entre $2\,800$ et $3\,400\ \text{cm}^{-1}$, caractéristique d’une liaison $\text{O}-\text{H}$. Il y a également une bande fine et forte à environ $1\,700\ \text{cm}^{-1}$, caractéristique d’une liaison $\text{C}=\text{O}$.
Le spectre $\text{A}$ correspond donc à l’acide éthanoïque.

Dans le spectre $\text{B}$, On a une bande fine et forte à $1\,700\ \text{cm}^{-1}$, caractéristique d’une liaison $\text{C}=\text{O}$. Il n’y a pas de bande caractéristique de liaison $\text{O}-\text{H}$.
Ce spectre correspond donc à l’éthanoate de 3-méthylbutyle.

Comparaison de protocoles de synthèse

$\bold{Q4.}$ L’étape 2 du protocole correspond à l’étape de transformation chimique. L’étape 3 correspond à l’étape d’extraction.

$\bold{Q5.}$ Un catalyseur est une espèce chimique qui accélère une transformation chimique. Il est régénéré à la fin de la réaction, tel qu’il a été introduit au départ. Il n’apparaît donc pas dans les réactifs ou les produits de l’équation de réaction.

$\bold{Q6.}$ Le chauffage à reflux permet de porter la réaction à plus haute température, et donc de l’accélérer (la température est un facteur cinétique). De plus, dans ce montage, il n’y a pas de perte de matière grâce au réfrigérant à boule qui surmonte le ballon.

$\bold{Q7.}$ Dans le milieu réactionnel, il y reste de l’acide sulfurique (le catalyseur) et de l’acide éthanoïque qui peut ne pas avoir réagi à la fin de la transformation. Le dégagement gazeux observé correspond à la réaction entre les ions hydrogénocarbonate et ces deux acides. $$\text{H}_2 \text{SO}_{4\text{(aq)}} + 2\,\text{HCO}_{3\text{(aq)}}^- \to \text{SO}_{4\text{(aq)}}^{2-} + 2 \big( \text{CO}_{2\text{(g)}}, \text{H}_2 \text{O}_{\text{(l)}} \big)$$

$\bold{Q8.}$ La quantité de matière d’une espèce chimique à l’état liquide est donnée par : $$n=\dfrac{m}{M} \qquad \text{avec} \quad m = \rho \times V \qquad \text{et} \quad \rho = d \times \rho_{\text{eau}}$$ On en déduit : $$n=\dfrac{d \times \rho_{\text{eau}}\times V}{M}$$ On sait que $\rho_{\text{eau}}=1,00\ \text{g}\cdot \text{mL}^{-1}$.

Calcul de la quantité de matière $n_1$ en 3-méthylbutan-1-ol : $$n_1=\dfrac{d_1 \times \rho_{\text{eau}}\times V_1}{M_1} = \dfrac{0,81\times 1,00\times 22}{88,2}=0,20\ \text{mol}$$

Calcul de la quantité de matière $n_2$ en acide éthanoïque : $$n_2=\dfrac{d_2 \times \rho_{\text{eau}}\times V_2}{M_2}= \dfrac{1,05\times 1,00\times 15}{60,0}=0,26\ \text{mol}$$

D’après l’équation de la réaction, il faut une mole de 3-méthylbutan-1-ol pour une mole d’acide éthanoïque. Le réactif limitant est donc celui dont la quantité de matière introduite est la plus petite. Il s’agit donc du 3-méthylbutan-1-ol, et l’avancement maximal est $x_{\text{max}}=0,20\ \text{mol}$.

La masse d’étanoate de 3-méthylbutyle obtenue est de $19,7\ \text{g}$. On peut calculer la quantité de matière correspondante : $$n_\text{B}=\dfrac{m_\text{B}}{M_\text{B}}=\dfrac{19,7}{130,2}=0,151\ \text{mol}$$ Le rendement $\eta$ de la synthèse est donc : $$\eta=\dfrac{n_\text{B}}{x_max}=\dfrac{0,151}{0,20}=0,76$$ Le rendement de la sythèse réalisée est donc de $76\,\%$.

Astuce

Pour calculer un rendement, il faut calculer le quotient des quantités de matière obtenue et attendue. La quantité de matirère attendue est liée à l’avancement maximal $x_{\text{max}}$, que l’on a déterminé à partir du réactif limitant de la réaction.

$\bold{Q9.}$ L’énergie correspond au produit de la puissance par la durée : $$E=P \times \Delta t = 800 \times 30 = 2,4 \times 10^4\ \text{J}$$ Cette valeur est d’un ordre de grandeur inférieure à celle nécessaire au chauffage à reflux utilisé dans les protocoles $\text{A}$ et $\text{C}$.

$\bold{Q10.}$ Le protocole qui répond au mieux aux principes de la chimie verte, est le protocole $\text{B}$, pour plusieurs raisons :

• Le rendement de la synthèse est légèrement plus élevé.
• On ne consomme de l’énergie que pendant 30 secondes, alors qu’avec l’autre protocole, la réaction nécessite un chauffage pendant plusieurs heures. On limite dont les dépenses énergétiques.
• On n’utilise pas de solvant, alors que dans l’autre protocole, on utilise du cyclohexane.

Exercice n°3 : Une formulation de l’aspirine (4 points)

$\bold{Q1.}$

Astuce

Ne pas confondre représentation semi-développée et schéma de Lewis. Le schéma de Lewis fait aussi apparaître les doublets d’électrons non-liants.

$\bold{Q2.}$ La DL-lysine appartient à la famille des acides aminés, car sur la molécule, il y a présence d’un groupe carboxyle (famille des acides carboxyliques) et d’un groupe amino (famille des amines).

$\bold{Q3.}$ La solution de médicament obtenue après dissolution du sachet dans l’eau a un $\text{pH}$ de $5$.
Concernant le couple acide acétylsalicylique / ion acétylsalicylate : on est à $\text{pH}>\text{p}K_{\text{a}} $. Ainsi, c’est la forme basique (l’ion acétylsalicylate) qui prédomine dans la solution de médicament.
D’après le diagramme de prédominance de la DL-lysine, à $\text{pH}=5$ c’est la forme ci-contre qui prédomine dans la solution de médicament.

$\bold{Q4.}$ Le titrage du médicament par une solution d’acide fort est impossible, car en plus de titrer les ions acétylsalicylate, on va titrer la DL-lysine.

$\bold{Q5.}$ Pour réaliser ce dosage par étalonnage, il est préférable de se placer à la longueur d’onde de maximum absorbance. Par lecture graphique sur le spectre de la figure 2, il faut donc se placer à $\lambda = 530\ \text{nm}$.

La couleur correspondante à cette longueur d’onde est le vert. La couleur de la solution correspond à la couleur complémentaire de la couleur majoritairement absorbée. D’après le cercle chromatique, la solution sera donc vue de couleur violette.

$\bold{Q6.}$ Pour commencer, on détermine la concentration en ions acétylsalicylate de la solution obtenue à l’étape 2, dont l’absorbance est de $0,80$. Par lecture graphique sur la courbe d’étalonnage de la figure 3, on obtient une concentration $C_{\text{B}} = 1,0\ \text{mmol}\cdot \text{L}^{-1}$.

La solution obtenue à l’étape 2 a été réalisée en diluant d’un facteur $10$ celle obtenue à l’étape 1. La solution de médicament a donc une concentration $C=10\times C_\text{B}=1,0 \times 10^{-2}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}$.
La solution de médicament ayant un volume $V=250\ \text{mL}$, on peut déterminer la quantité de matière en aspirine qu’elle contient : $$n = C \times V = 1,0 \times 10^{-2}\times 0,250 = 2,5 \times 10^{-3}\ \text{mol}$$ Enfin, de cette quantité de matière on en déduit la masse correspondante : $$m=n\times M = 2,5 \times 10^{-3}\times 180,2 = 0,45\ \text{g}$$

On calcule le $z_{\text{score}}$ afin de vérifier que le résultat de l’expérience est en accord avec la notice : $$z_{\text{score}} = \dfrac{\vert m-m_{\text{théorique}}\vert}{u(m)}=\dfrac{\vert 0,45 – 0,500 \vert}{0,030}\approx1,7$$

Étant donné que $z_{\text{score}}<2$, les indications de l’étiquette sont en accord avec l’expérience réalisée.