Sujet 2023 - Jour 2 (21/03/2023) - Spécialité physique-chimie - Corrigé

Sujet bac : annale 21 mars 2023

Exercice n°1 : Étude de la vitamine C contenue dans les kiwis (9 points)

Quelques propriétés de l’acide ascorbique

$\bold{Q1.}$ La formule semi-développée de l’acide ascorbique est :

Le groupe caractéristique A correspond au groupe hydroxyle, correspondant à la famille fonctionnelle des alcools.
Le groupe caractéristique B correspond au groupe carboxyle, correspondant à la famille fonctionnelle des esters.

$\bold{Q2.}$ Le spectre proposé est compatible avec la structure de l’acide ascorbique, car on observe un pic entre $1\,600$ et $1\,700\ \text{cm}^{-1}$ pouvant correspondre à une liaison $\text{C}=\text{O}$ ou $\text{C}=\text{C}$ (les deux pouvant être superposés), ainsi qu’un pic large entre $2\,800$ et $3\,700\ \text{cm}^{-1}$, correspondant aux liaisons $\text{C}-\text{H}$ et $\text{O}-\text{H}$.

$\bold{Q3.}$ On détermine la quantité de matière d’acide ascorbique introduite dans la fiole jaugée : $$n_0 = \dfrac{m}{M}=\dfrac{1,0}{176}=5,7 \times 10^{-3}\ \text{mol}$$

$\bold{Q4.}$ Un acide faible (selon Brönsted) est un acide dont la réaction avec l’eau n’est pas totale.

$\bold{Q5.}$ On détermine la concentration en quantité de matière d’acide ascorbique dans la solution préparée : $$C_0=\dfrac{n_0}{V}=\dfrac{5,7\times 10^{-3}}{0,050}=0,11\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}$$

Si l’acide ascorbique est un acide fort, il est totalement dissocié dans l’eau. Dans ce cas, le $\text{pH}$ est donné par : $$\text{pH}=-\log\big(\dfrac{C_0}{c^o}\big)=-\log\big(\dfrac{0,11}{1,0}\big)=0,96$$ Or, le $\text{pH}$ mesuré expérimentalement est de $2,6$, donc bien supérieur à la valeur attendue si l’acide ascorbique était un acide fort. On en déduit que l’acide ascorbique est un acide faible.

$\bold{Q6.}$ L’expression de $K_\text{A}$ est : $$K_\text{A} = \dfrac{[\text{C}_6 \text{H}_7 \text{O}_6^{-}]_{éq}\times [\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{éq}}{[\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_6]_{éq}\times c^o}$$

On construit le tableau d’avancement de la réaction de l’acide ascorbique avec l’eau. Pour simplifier, l’acide ascorbique est noté $\text{AH}$, et sa base conjuguée est notée $\text{A}^{-}$ :

On remarque que $n_\text{f}(\text{A}^-) = n_\text{f}(\text{H}_3 \text{O}^+)$. En divisant cette égalité par le volume de la solution, on obtient : $$\dfrac{ n_\text{f}(\text{A}^-)}{V} = \dfrac{ n_\text{f}(\text{H}_3 \text{O}^+)}{V} \qquad \text{soit} \qquad [\text{A}^-]_{\text{éq}} = [\text{H}_3 \text{O}^+]_{\text{éq}}$$

De plus, $n_\text{f}(\text{AH}) = n_0 – x_\text{f}$, soit donc $n_\text{f}(\text{AH}) = n_0 – n_\text{f}(\text{H}_3 \text{O}^+)$ . En divisant aussi cette égalité par le volume de la solution, on obtient : $$\dfrac{ n_\text{f}(\text{AH})}{V} =\dfrac{ n_0}{V} - \dfrac{ n_\text{f}(\text{H}_3 \text{O}^+)}{V} \qquad \text{soit} \qquad [\text{AH}]_{\text{éq}} = C_0 - [\text{H}_3 \text{O}^+]_{\text{éq}}$$

En reprenant l’expression de $K_\text{A}$ : $$K_\text{A} = \dfrac{[\text{A}^{-}]_{\text{éq}}\times [\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}}}{[\text{AH}]_{\text{éq}}\times c^o}$$

on a donc $$K_\text{A} =\dfrac{ [\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}} \times [\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}}}{ C_0 - [\text{H}_3 \text{O}^+]_{\text{éq}}\times c^o}=\dfrac{[\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}}^2}{ C_0 - [\text{H}_3 \text{O}^+]_{\text{éq}}\times c^o}$$

En se souvenant de l’expression de $[\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}}$ en fonction du $\text{pH}$ de la solution, $[\text{H}_3 \text{O}^{+}]_{\text{éq}} = c^o \times 10^{-\text{pH}}$ : $$K_\text{A} = \dfrac{( c^o \times 10^{-\text{pH}})^2}{(C_0 - c^o \times 10^{-\text{pH}})\times c^o} =\dfrac{c^o \times 10^{-2\text{pH}}}{C_0 - c^o \times 10^{-\text{pH}} }$$

On réalise l’application numérique : $$K_\text{A} = \dfrac{1,0\times 10^{-2\times 2,26}}{0,11 – 1,0\times 10^{-2,6}} = 5,9 \times 10^{-5}$$

Et enfin : $$\text{p}K_\text{A} = -\log(K_\text{A}) = -\log(5,9\times 10^{-5}) = 4,2$$

Acide ascorbique dans un kiwi jaune

$\bold{Q7.}$ On trace le diagramme de prédominance de l’acide ascorbique.

Le jus de kiwi étant à un $\text{pH}$ inférieur au $\text{p}K_\text{A}$ du couple de l’acide ascorbique, c’est donc la forme acide ascorbique qui prédomine dans le jus de kiwi.

$\bold{Q8.}$ L’équation de la réaction support du titrage est : $$\text{I}_{2(\text{aq})} + 2\,\text{S}_2 \text{O}_{3(\text{aq})}^{2-} \to 2\,\text{I}^-_{(\text{aq})} + \text{S}_4 \text{O}_{6(\text{aq})}^{2-}$$

À l’équivalence, les réactifs titré et titrant étant introduits dans des proportions stœchiométriques, on peut écrire : $$\dfrac{ n(\text{I}_2)}{1}=\dfrac{n(\text{S}_2 \text{O}_3^{2-})}{2}$$

La quantité de matière en ions $\text{S}_2 \text{O}_3^{2-}$ versée étant $n(\text{S}_2 \text{O}_3^{2-}) = C_2\times V_2$, on obtient : $$n(\text{I}_2) = \dfrac{ C_2\times V_2 }{ 2} = \dfrac{5,00\times 10^{-2}\times 16,5\times 10^{-3}}{2}=4,13\times 10^{-4}\ \text{mol}$$ $\bold{Q9.}$ Dans ce titrage indirect, on introduit une quantité de matière de diiode en excès, que l’on notera $n_\text{i}(\text{I}_2)$. Une partie est consommée car elle réagit avec l’acide ascorbique du jus de kiwi ; on la noteran $ n_\text{c}(\text{I}_2)$. Le restant est titré par la solution de thiosulfate ; on la notera $ n_\text{r}(\text{I}_2)$.
En toute logique, on a donc : $$ n_\text{i}(\text{I}_2) = n_\text{c}(\text{I}_2) + n_\text{r}(\text{I}_2)$$

La quantité de matière initiale en diiode est : $$\begin{aligned} n_\text{i}(\text{I}_2) &= C_1\times V_1 = 2,9\times 10^{-2}\times 20,0\times 10^{-3}\\ &= 5,8\times 10^{-4}\ \text{mol}\end{aligned}$$ La quantité de matière de diiode restante (qui n’a pas réagi avec l’acide ascorbique) a été calculée précédemment : $$ n_\text{r}(\text{I}_2) = 4,13\times 10^{-4}\ \text{mol}$$ On en déduit la quantité de matière de diiode qui a réagi avec l’acide ascorbique : $$\begin{aligned} n_\text{c}(\text{I}_2) &= n_\text{i}(\text{I}_2) - n_\text{r}(\text{I}_2) = 5,8\times 10^{-4} - 4,13\times 10^{-4}\\ &= 1,7\times 10^{-4}\ \text{mol}\end{aligned} $$

L’équation de la réaction entre le diiode et l’acide ascorbique est : $$\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_{6(\text{aq})} + \text{I}_{2(\text{aq})} \to \text{C}_6 \text{H}_6 \text{O}_{6(\text{aq})} + 2\,\text{I}^-_{(\text{aq})} + 2\,\text{H}^+_{(\text{aq})}$$

On peut donc écrire que : $$\begin{aligned} \dfrac{n(\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_6)}{1} &= \dfrac{ n_\text{c}(\text{I}_2)}{1}\\ \text{donc} \quad(\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_6) &= 1,7\times 10^{-4}\ \text{mol} \end{aligned}$$

On en déduit la masse d’acide ascorbique correspondante : $$\begin{aligned} m(\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_6) &= n(\text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_6)\times M = 1,7\times 10^{-4}\times 176\\ &= 3,0\times 10^{-2}\ \text{g}\end{aligned}$$

Enfin, le titrage a été réalisé sur $50\ \text{mL}$ de la solution $\text{S}$, dont le volume total est de $250\ \text{mL}$. Dans un kiwi jaune, il y a donc $5$ fois plus d’acide ascorbique, soit une masse $m=3,0\times 10^{-4}\times 5 = 0,15\ \text{g}=150\ \text{mg}$.
Étant donné qu’il faut un apport journalier de $110\ \text{mg}$ de vitamine C, un seul kiwi jaune est suffisant.

$\bold{Q10.}$ Étant donné que le volume équivalent obtenu avec le jus de kiwi vert est plus grand que pour le jus de kiwi jaune, il reste donc davantage de diiode qui n’a pas réagi avec de la vitamine C. On en déduit que le kiwi vert contient moins de vitamine C que le kiwi jaune.

Oxydation de l’acide ascorbique par le bleu de méthylène

$\bold{Q11.}$ On établit l’équation de la réaction du bleu de méthylène $\text{BM}^+$ avec l’acide ascorbique, en écrivant les demi-équations électroniques des couples $\text{C}_6 \text{H}_6 \text{O}_{6(\text{aq})} / \text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_{6(\text{aq})}$ et $\text{BM}^+_{(\text{aq})} / \text{BMH}_{(\text{aq})}$ :

$$\begin{aligned} \text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_{6(\text{aq})} &=\text{C}_6 \text{H}_6 \text{O}_{6(\text{aq})} + 2\,\text{e}^- + 2\,\text{H}^+\\ \qquad \text{BM}^+_{(\text{aq})} + 2\,\text{e}^- + 2\,\text{H}^+ &= \text{BMH}_{(\text{aq})} \\ \hline \text{BM}^+_{(\text{aq})} + \text{C}_6 \text{H}_8 \text{O}_{6(\text{aq})} &\to \text{BMH}_{(\text{aq})} + \text{C}_6 \text{H}_6 \text{O}_{6(\text{aq})} + \text{H}^+ \end{aligned}$$

$\bold{Q12.}$ Par définition, la vitesse volumique de disparition de l’acide ascorbique correspond à l’opposé de la dérivée de la concentration de cette espèce chimique par rapport au temps. $$v_\text{d}(t) = - \dfrac{ dC_{\text{ASC}}(t)}{dt}$$

Pour déterminer sa valeur initiale, on trace la tangente à l’origine de la courbe qui correspond à la réaction faite à 28 °C. La vitesse volumique initiale de réaction correspond alors à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.

On calcule le coefficient directeur de cette tangente : $$a=\dfrac{y_B – y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{0-1,1\times 10^{-4}}{20-0} = -5,5\times 10^{-6} \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}\cdot \text{s}^{-1}$$ La vitesse de disparition initiale $v_\text{d}(0)$ est donc l’opposé de ce coefficient directeur : $$ v_\text{d}(0)=-a=5,5\times 10^{-6} \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}\cdot \text{s}^{-1}$$

$\bold{Q13.}$ Le premier facteur étudié est la température. On remarque que la réaction réalisée à plus haute température est plus rapide, la pente est plus importante.
Le deuxième facteur est la concentration du réactif. Plus la réaction se fait, plus le réactif est consommé et sa concentration diminue. Ainsi, au fur et à mesure du temps, la vitesse de la transformation chimique diminue.

Exercice n°2 : Protection des crapauds (5 points)

$\bold{Q1.}$ Système étudié : $\lbrace Crapaud \rbrace$.
Référentiel : Terrestre, supposé galiléen.
Bilan de forces : $\overrightarrow{P\ }=m\cdot \vec g$.
Conditions initiales : $\overrightarrow{\text{OG}_0}\begin{pmatrix} x_0=0 \\ z_0 = 0 \end{pmatrix} \text{et } \vec{v_0}\begin{pmatrix} v_{0x}=v_0\cdot \cos \alpha \\ v_{0z }= v_0\cdot \sin \alpha \end{pmatrix} $

On applique la deuxième loi de Newton : $$\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = m \cdot \vec a_G$$ avec $$\Sigma \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{P\ } = m \cdot \vec g$$ On obtient : $$ m \cdot \vec a_G = m \cdot \vec g$$ D’où : $$\vec a_G = \vec g$$

On peut décomposer le vecteur accélération dans le repère choisi : $$\boxed{\vec a_G(t) \begin{cases} a_x(t)=0 \\ a_z(t)= -g \end{cases}}$$

$\bold{Q2.}$ On prend la primitive par rapport au temps de chaque composante du vecteur accélération : $$\vec v_G(t) \begin{cases} v_x(t)=\text{C}_1 \\ v_z(t)= -gt+\text{C}_2 \end{cases}$$ avec $\text{C}_1$ et $\text{C}_2$ des constantes à déterminer.
D’après les conditions initiales :

• à $t=0$, on a $v_x(0)=\text{C}_1$,
  or $ v_x(0)=v_{0x}=v_0 \cdot \cos(\alpha)$, d’où, $$\text{C}_1 = v_0 \cdot \cos(\alpha)$$
• à $t=0$, on a $v_z(0)=-g\times 0 + \text{C}_2=\text{C}_2$,
  or $ v_z(0)=v_{0z}=v_0 \cdot \sin(\alpha)$, d’où, $$\text{C}_2 = v_0 \cdot \sin(\alpha)$$

Finalement, $$boxed{\vec v_G(t) \begin{cases} v_x(t)= v_0 \cdot \cos(\alpha) \\ v_z(t)= -gt+ v_0 \cdot \sin(\alpha) \end{cases}}$$

$\bold{Q3.}$ On prend la primitive par rapport au temps de chaque composante du vecteur vitesse : Finalement, $$\overrightarrow{\text{OG}}(t) \begin{cases} x(t)= v_0 \cdot \cos(\alpha)\cdot t + \text{C}_3 \\ z(t)= -\dfrac{1}{2}gt^2+ v_0 \cdot \sin(\alpha)\cdot t + \text{C}_4 \end{cases}$$ avec $\text{C}_3$ et $\text{C}_4$ des constantes à déterminer.
D’après les conditions initiales :

• à $t=0$, on a $x(0)=v_0\cdot \cos(\alpha)\times 0 + \text{C}_3 = \text{C}_3$,
  or $ x(0)=x_0=0$, d’où, $$\text{C}_3 =0$$
• à $t=0$, on a $z(0)=-\dfrac{1}{2}g\times 0^2 + v_0 \sin(\alpha)\times 0 +\text{C}_4=\text{C}_4$,
  or $ z(0)=z_0=0$, d’où, $$\text{C}_4 =0$$

Finalement, $$\boxed{\overrightarrow{\text{OG}}(t) \begin{cases} x(t)= v_0 \cdot \cos(\alpha)\cdot t\\ z(t)= -\dfrac{1}{2}gt^2+ v_0 \cdot \sin(\alpha)\cdot t\end{cases}}$$

$\bold{Q4.}$ On cherche l’expression de la date $t=t_{\text{saut}}$ telle que $z(t_{\text{saut}})=0$. En effet, c’est à cette date que le crapaud retombe au sol. $$\begin{aligned} z(t_{\text{saut}}) = -\dfrac{1}{2}g t_{\text{saut}}^2+ v_0 \cdot \sin(\alpha)\cdot t_{\text{saut}} &= 0\\ t_{\text{saut}} \times \Big( -\dfrac{1}{2}g t_{\text{saut}}+ v_0 \cdot \sin(\alpha) \Big) &=0 \end{aligned}$$ Un produit de facteurs est nul si l’un au moins des facteurs est nuls. Ainsi :

• Soit $t_{\text{saut}}=0$, c’est-à-dire à la position de départ du crapaud. Ce n’est pas cette solution qui nous intéresse.
• Soit : $$\begin{aligned} -\dfrac{1}{2}g t_{\text{saut}}+ v_0 \cdot \sin(\alpha)&=0\\ \dfrac{1}{2}g t_{\text{saut}} &= v_0 \cdot \sin(\alpha)\\ t_{\text{saut}} & \boxed{= \dfrac{2\cdot v_0 \cdot \sin(\alpha)}{g}} \end{aligned}$$

$\bold{Q5.}$ On cherche l’expression de $v_0$ telle que $x(t_{\text{saut}})=d$ :

$$x(t_{\text{saut}})= v_0 \cdot \cos(\alpha)\cdot t_{\text{saut}}=d$$ Or $t_{\text{saut}}=\dfrac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$.
On obtient donc : $$\begin{aligned} v_0 \cdot \cos(\alpha)\times \dfrac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} &= d \\ \dfrac{2 v_0^2 \cos(\alpha) \sin(\alpha)}{g} &=d\\ v_0^2 &= \dfrac{d\times g}{2\cos(\alpha) \sin(\alpha)}\\ v_0 &\boxed{= \sqrt{\dfrac{d\times g}{2\cos(\alpha) \sin(\alpha)}}} \end{aligned}$$

$\bold{Q6.}$ On réalise l’application numérique avec $\alpha = 45\,\degree$ et $d=20 \times 0,10 = 2,0\ \text{m}$  : $$v_0 = \sqrt{\dfrac{2,0\times 9,81}{2\cos(45) \sin(45)}} \boxed{= 4,4\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}}$$

$\bold{Q7.}$ On cherche tout d’abord la date $t_{\text{max}}$ à laquelle le crapaud atteint la hauteur maximale, pour un angle $\alpha = 90\,\degree$. À cette altitude, sa vitesse verticale $v_z(t_{\text{max}})$ est nulle : $$\begin{aligned} v_z(t_{\text{max}}) = -g t_{\text{max}} + v_0 \cdot \sin(90) &= 0 \\ g t_{\text{max}} &= v_0 \\ t_{\text{max}} &= \dfrac{v_0}{g} \end{aligned}$$

On cherche maintenant l’expression de $z_{\text{max}}$, telle que $ z_{\text{max}}=z(t_{\text{max}})$ : $$\begin{aligned} z_{\text{max}} = z(t_{\text{max}}) &= - \dfrac{1}{2}gt_{\text{max}}^2 + v_0 \cdot\sin(90)\cdot t_{\text{max}}\\ z_{\text{max}} &= -\dfrac{1}{2}gt_{\text{max}}^2 + v_0 \cdot t_{\text{max}}\\ z_{\text{max}} &= -\dfrac{1}{2}g \times \Big(\dfrac{v_0}{g}\Big)^2 + v_0 \times \dfrac{v_0}{g}\\ z_{\text{max}} &= -\dfrac{v_0^2}{2g} + \dfrac{v_0^2}{g}\\ z_{\text{max}} &\boxed{= \dfrac{v_0^2}{2g}} \end{aligned}$$

$\bold{Q8.}$ On calcule la hauteur $H_{\text{champion}}$ : $$ H_{\text{champion}} = \dfrac{4,4^2}{2 \times 9,81} = 1,0\ \text{m}$$

$\bold{Q9.}$ Cette valeur est nettement supérieure à la hauteur des barrières, car peu de crapauds arrivent à sauter à une hauteur de $1,0\ \text{m}$, et de plus, cette hauteur n’est atteinte que pour des sauts parfaitement verticaux. Or, si les crapauds souhaitent franchir une barrière, il faut que leur saut soit parabolique.

Exercice n°3 : Modélisation d’un détecteur capacitif d’humidité (6 points)

Modélisation de la charge du condensateur

$\bold{Q1.}$ D’après la relation donnant la capacité d’un condensateur, si la permittivité $\varepsilon$ augmente, alors la capacité $C$ du condensateur augmente. Or, d’après le graphique de la figure 2, si la teneur en eau augmente, la permittivité du milieu augmente.
On en déduit que lorsque la teneur en eau augmente, alors la capacité du condensateur augmente également.

$\bold{Q2.}$ On applique la loi des mailles dans le circuit en série donné dans l’énoncé : $$\begin{aligned}u_R(t) + u_C(t)-E &=0\\ \Leftrightarrow u_R(t) + u_C(t)&=E\end{aligned}$$ La loi d’Ohm stipule que : $$u_R(t)=R\times i(t)$$ L’intensité du courant correspond à la dérivée de la charge électrique transférée par rapport au temps : $$i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}$$ Enfin, la charge électrique contenue dans un condensateur correspond au produit de sa capacité et de la tension à ses bornes : $$q(t)=C\times u_C(t)$$ On en déduit que : $$i(t) = C \times \dfrac{du_C(t)}{dt}$$ Et donc : $$u_R(t) = RC \times \dfrac{du_C(t)}{dt}$$ On introduit alors cette dernière expression dans la loi des mailles : $$\begin{aligned} u_R(t) + u_C(t)&=E\\ \Leftrightarrow RC\times \dfrac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) &= E \end{aligned}$$ Par identification, le temps caractéristique $\tau$ correspond au produit $\tau = RC$.
Et on obtient bien : $$\boxed{\tau \times \dfrac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E}$$

$\bold{Q3.}$ On a : $$\begin{aligned}u_C(t) &= E\times \big( 1 - \text{e}^{-\frac{t}{\tau}}\big)\\ \text{donc} \qquad \dfrac{ du_C}{dt} &= -\dfrac{ E}{\tau}\text{e}^{-\frac{t}{\tau}} \end{aligned}$$

On injecte la solution proposée dans le premier membre de l’équation différentielle, qui devient : $$\begin{aligned}\tau \times \dfrac{du_C(t)}{dt} + u_C(t)&= \tau \times \Big( -\dfrac{ E}{\tau}\text{e}^{-\frac{t}{\tau}} \Big) + E\times \big( 1 - \text{e}^{-\frac{t}{\tau}}\big)\\ &= -E\text{e}^{-\frac{t}{\tau}} +E -E\text{e}^{-\frac{t}{\tau}}\\ &=E\end{aligned}$$ On retrouve le second membre de l’équation différentielle. La solution proposée est donc bien solution de l’équation différentielle.

$\bold{Q4.}$ On cherche l’expression de $u_C(t)$ lorsque $t=\tau$ : $$\begin{aligned} u_C(\tau)&= E\times \big( 1 - \text{e}^{-\frac{t}{\tau}}\big) \\ &= E\times (1 - \text{e}^{-1})\\ &= E \times (1-0,37)\\ &\boxed{=0,63\times E} \end{aligned}$$

Modélisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux

$\bold{Q5.}$ Le microcontrôleur effectue une mesure toutes les $1/52\,000 ^\text{e}$ de seconde, c’est-à-dire toutes les $1,92\times 10^{-5}\ \text{s}$. D’après l’énoncé, il faut au moins $10$ valeurs, ce qui correspond à un temps de $1,92\times 10^{-4}\ \text{s} = 192\ \mu \text{s}$.
Le temps caractéristique est donc bien de l’ordre de $200\ \mu \text{s}$.

$\bold{Q6.}$ Connaissant le temps caractéristique $\tau$ et la valeur de $R$, on calcule la valeur de la capacité minimale du condensateur : $$\tau=RC \quad \text{donc} \quad C = \dfrac{\tau}{R}= \dfrac{200\times 10^{-6}}{2,2\times 10^5}=9,1\times 10^{-10}\ \text{F}$$ Connaissant la valeur de $C$, on calcule la valeur correspondante de la permittivité $\varepsilon$ : $$C=\dfrac{\varepsilon \times S }{ d} \quad\text{donc} \quad \varepsilon = \dfrac{ C\times d}{S}= \dfrac{9,1\times 10^{-10}\times 1,0\times 10^{-2}}{1,0\times 10^{-1}}=9,1\times 10^{-11}\ \text{F}\cdot \text{m}^{-1}$$ C=(ε×S)/ddonc ε=(C×d)/S=(9,1×10^(-10)×1,0×10^(-2))/(1,0×10^(-1) )=9,1×10^(-11) F·m^(-1) Par lecture sur le graphique de la figure 2, la teneur minimale en eau est donc de $14\,\%$.

$\bold{Q7.}$ L’objectif final de cet extrait de programme est de déterminer et d’afficher la valeur du temps caractéristique $\tau$.

$\bold{Q8.}$ Ligne 5 :
$5\quad \text{while tension} < 0.63 \text{ * } 5.0$

$\bold{Q9.}$ On réalise les mêmes calculs qu’à la question 6 : $$C = \dfrac{\tau}{R}= \dfrac{0,287\times 10^{-3}}{2,2\times 10^5}=1,3\times 10^{-9}\ \text{F}$$ Connaissant la valeur de $C$, on calcule la valeur correspondante de la permittivité $\varepsilon$ : $$\varepsilon = \dfrac{ C\times d}{S}= \dfrac{1,3\times 10^{-9}\times 1,0\times 10^{-2}}{1,0\times 10^{-1}}=1,3\times 10^{-10}\ \text{F}\cdot \text{m}^{-1}$$

Par lecture sur le graphique de la figure 2, la teneur en eau est d’environ $21\,\%$.

Le sol étudié n’a donc pas une humidité suffisante pour la croissance d’une plante, car elle est inférieure à $24\,\%$.