Corrigé Bac Sujet bac 2025 - Amérique du Nord Jour 1 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Sujet bac : Annale 2025 – sujet Amérique du Nord – jour 1

Exercice 1

Partie A

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1}}$

D’après l’énoncé :

$$\begin{aligned} p{(A)} &= 0,25 \\ p{(B)} &= 0,15\end{aligned}$$

Ainsi,

$$\begin{aligned} p{(C)} &= 1 - p{(A)} - p{(B)} \\ &= 1 - 0,25 - 0,15 \\ &= 0,6\end{aligned}$$

D’autre part :

$90 \, \%$ des connexions effectuées via le serveur A sont stables.

Donc, $$\begin{aligned} p{_s(A)} &= 0,9 \end{aligned}$$

On en déduit que, $$\begin{aligned} p{_{\overline{s}}(A)} &= 1 - p{_s(A)} \\ &= 1 - 0,9 \\ &= 0,1 \end{aligned}$$

De même, $$\begin{aligned} p{_s(B)} &= 0,8 \end{aligned}$$

Donc, $$\begin{aligned} p{_{\overline{s}}(B)} &= 1 - p{_s(B)} \\ &= 1 - 0,8 \\ &= 0,2 \end{aligned}$$

Enfin, $$\begin{aligned} p{_s(C)} &= 0,85 \end{aligned}$$

Ainsi, $$\begin{aligned} p{_{\overline{s}}(C)} &= 1 - p{_s(C)} \\ &= 1 - 0,85 \\ &= 0,15 \end{aligned}$$

L’arbre de probabilité est le suivant :

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2}}$

La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est $p(S \cap B)$.

$$\begin{aligned} p(S \cap B) &= p(B) \times p{_B(S)} \\ &= 0,15 \times 0,8 \\ &= 0,12 \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3}}$

$$\begin{aligned} p(C \cap \overline{S}) &= p(C) \times p{_{{C}}\overline{(S})} \\ &= 0,6 \times 0,15 \\ &= 0,09 \end{aligned}$$

La probabilité pour que la connexion passe par le serveur C et ne soit pas stable est 0,09.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,4}}$

Dans l’entreprise, les connexions se font uniquement par un des trois serveurs A, B ou C. Les événements A, B et C forment donc une partition de l’univers.

D’après la loi des probabilités totales :

$$\begin{aligned} p(S) &= p(S \cap A) + p(S \cap B) + p(S \cap C) \end{aligned}$$

On sait déjà que :$$\begin{aligned} p(S \cap B) &= 0,12 \end{aligned}$$

Calculons les deux autres probabilités : $$\begin{aligned} p(S \cap A) &= p(A) \times p{_A(S)} \\ &= 0,25 \times 0,90 \\ &= 0,225 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} p(S \cap C) &= p(C) \times p{_C(S)} \\ &= 0,6 \times 0,85 \\ &= 0,51 \end{aligned}$$

En conclusion : $$\begin{aligned} p(S) &= 0,225 + 0,12 + 0,51 \\ &= 0,855 \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,5}}$

On suppose que la connexion est stable. On cherche la probabilité que la connexion ait lieu depuis le serveur B donc $p{_s(B)}$.

Avec la formule des probabilités conditionnelles : $$\begin{aligned} p{_s(B)} &= \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)} \\ &= \dfrac{0,12}{0,855} \\ &\approx 0,140 \end{aligned}$$

En conclusion, la valeur arrondie au millième est $p{_s(B)} \approx 0,140$.

Partie B

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1.a}}$

$X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de connexions instables dans un échantillon de 50 connexions.

Chaque connexion est soit stable avec une probabilité de 0,855, soit instable avec une probabilité de 0,145. C’est un schéma de Bernoulli.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $ p=0,145$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1.b}}$

On cherche la probabilité qu’au plus huit connexions soient instables soit $\begin{aligned} p(X \leq 8) \end{aligned}$.

Avec la calculatrice, la valeur arrondie au millième est : $$\begin{aligned} p(X \leq 8) &\approx 0,704 \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.a}}$

On cherche la probabilité qu’au moins une connexion de cet échantillon soit instable soit $\begin{aligned} p_n &= p(X_n \geq 1) \end{aligned}$.

Cherchons la probabilité de l’événement contraire : $$\begin{aligned} p(X_n = 0) \end{aligned}$$

$X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,145$ donc on sait que pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, on a : $$\begin{aligned} p(X_n = k) &= \binom{n}{k} \cdot 0,145^k \cdot (1 - 0,145)^{\,n-k} \end{aligned}$$

Ainsi, $$\begin{aligned} p(X_n = 0) &= \binom{n}{0} \cdot 0,145^0 \cdot 0,855^{\,n-0} \\ &= 0,855^n \end{aligned}$$

En conclusion, on a : $$\begin{aligned} p_n &= p(X_n \geq 1) \\ &= 1 - p(X_n = 0) \\ &= 1 - 0,855^n \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.b}}$

On résout $p_n \geq 0,99$ :

$$\begin{aligned} p_n \geq 0,99 &\Longleftrightarrow 1 - 0,855^n \geq 0,99 \\ &\Longleftrightarrow 1 - 0,99 \geq 0,855^n \\ &\Longleftrightarrow 0,01 \geq 0,855^n \end{aligned}$$

On utilise la fonction $\ln$ qui est croissante sur $]0;+\infty[$ :

$$\begin{aligned} p_n \geq 0,99 &\Longleftrightarrow \ln(0,01) \geq \ln(0,855^n) \\ &\Longleftrightarrow \ln(0,01) \geq n \cdot \ln(0,855) \end{aligned}$$

Comme $0<0,855<1$, on a $\ln(0,855)<0$, donc on change le sens de l’inégalité :

$$\begin{aligned} p_n \geq 0,99 &\Longleftrightarrow \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,855)} \leq n \end{aligned}$$

Or, avec la calculatrice : $$\begin{aligned} \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,855)} &\approx 29,4 \end{aligned}$$

En conclusion, la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ tel que $p_n \geq 0,99$ est : $$\begin{aligned} n &= 30 \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3.a}}$

L’espérance d’une variable aléatoire est linéaire.
Pour tout entier $n>0$ : $$\begin{aligned} E(F_n) &= E\left(\dfrac{X_n}{n}\right) \\ &= \dfrac{1}{n} \, E(X_n) \end{aligned}$$

$X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et 0,145 donc son espérance est :

$$\begin{aligned} E(X_n) = &n \cdot p\\ = &0,145 \cdot n \end{aligned}$$

En conclusion : $$\begin{aligned} E(F_n) &= \dfrac{1}{n} \times 0,145 \, n \\ &= 0,145 \end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3.b}}$

On sait que : $$\begin{aligned} E(F_n) &= 0,145 \quad\text{et}\quad V(F_n) = \dfrac{0,123975}{n} \end{aligned}$$

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$$\begin{aligned} \text{Pour tout réel} \,\delta>0,\;\; P(|F_n - E(F_n)| \geq \delta) \leq \dfrac{V(F_n)}{\delta^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{On applique cette inégalité avec }\delta=0,1: \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) & \leq \dfrac{0,123975/n}{0,1^2} \\P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) & \leq \dfrac{0,123975}{0,01 \cdot n} \\P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) & \leq \dfrac{12,3975}{n}\end{aligned}$$

Comme $12,3975<12,5$, on peut donc écrire l’inégalité :

$$\begin{aligned} P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) & \leq \dfrac{12,5}{n}\end{aligned}$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3.c}}$

On applique l’inégalité précédente dans le cas où $n=1 000$ : $$\begin{aligned} P(F_{1000} - 0,145 \geq 0,1) &\leq \dfrac{12,5}{1000} \\ &\leq 0,0125 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{Or } |F_{1000} - 0,145| \geq 0,1 &\Longleftrightarrow F_{1000} - 0,145 \geq 0,1 \;\;\text{ou}\;\; -(F_{1000} - 0,145) \geq 0,1 \\ &\Longleftrightarrow F_{1000} - 0,145 \geq 0,1 \;\;\text{ou}\;\; F_{1000} - 0,145 \leq -0,1 \\ &\Longleftrightarrow F_{1000} \geq 0,245 \;\;\text{ou}\;\; F_{1000} \leq 0,045 \end{aligned}$$

On en déduit que la probabilité que $F_{1000}$ soit supérieur à $0,245$ ou inférieur à $0,045$ est inférieure à $0,0125=1,25\, \%$.

Ainsi, il est très peu probable que $F_{1000}$ soit égal à $0,3$, même si ce n’est pas impossible.
Le responsable peut soupçonner à juste titre un dysfonctionnement des serveurs même si ce n’est pas certain.

Exercice 2

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1}}$

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1}= \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}$$

On remplace $n$ par $0$ :

$$\begin{aligned} u_1 &= \dfrac{2u_0 + 1}{u_0 + 2} \\ &= \dfrac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} \\ &= \dfrac{5}{4} \\&= 1,25\end{aligned}$$

En conclusion : $u_1 = \dfrac{5}{4}$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.a}}$

Pour tout entier naturel $n$, $$a_n = \dfrac{u_n}{u_{n-1}}$$

Donc, $$\begin{aligned} a_0 &= \dfrac{u_0}{u_{0-1}} \\ &= \dfrac{2}{2 - 1} \\ &= 2 \end{aligned}$$ Ainsi $a_0 = 2$.

$$\begin{aligned} a_1 &= \dfrac{u_1}{u_1 - 1} \\ &= \dfrac{\tfrac{5}{4}}{\tfrac{5}{4} - 1} \\ &= \dfrac{\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{4}} \\ &= 5 \end{aligned}$$

Soit $a_1 = 5$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.b}}$

Soit $n$ un entier naturel :

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1} - 1} = \dfrac{\tfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\tfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1} \end{aligned}$$

Ainsi :

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{\tfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\tfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} - \tfrac{u_n + 2}{u_n + 2}} \\ &= \dfrac{\tfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\tfrac{u_n - 1}{u_n + 2}} \\ &= \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} \times \dfrac{u_n + 2}{u_n - 1} \\ &= \dfrac{2u_n + 1}{u_n - 1} \end{aligned}$$

D’autre part :

$$\begin{aligned} 3a_n - 1 &= 3 \cdot \dfrac{u_n}{u_n - 1} - 1 \\ &= \dfrac{3u_n}{u_n - 1} - \dfrac{u_n - 1}{u_n - 1} \\ &= \dfrac{3u_n - (u_n - 1)}{u_n - 1} \\ &= \dfrac{2u_n + 1}{u_n - 1} \end{aligned}$$

En conclusion, on a bien pour tout entier naturel $n$ :

$$a_{n+1} = 3a_n - 1$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.c}}$

On veut montrer par récurrence que la propriété $$(P_n) :\; a_n \geq 3n - 1$$ est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

Initialisation

On sait que $a_1 = 5$.

D’autre part $3 \times 1 - 1 = 2$.

On a bien $5 \geq 2$ donc $a_1 \geq 3 \times 1 - 1$.

En conclusion, $(P_1)$ est vraie.

Hérédité

Soit un entier $k \geq 1$.

On suppose que la propriété $(P_k) : a_k \geq 3k - 1$ est vraie : c’est l’hypothèse de récurrence.

On veut montrer qu’alors la propriété $(P_{k+1}) : a_{k+1} \geq 3(k+1) - 1$ est vraie.

D’après l’hypothèse de récurrence, $a_k \geq 3k - 1$.

Par hypothèse de récurrence, on a :

$$\begin{aligned} a_k \geq 3k - 1 \implies& 3a_k \geq 3(3k - 1) \quad \text{car $3>0$} \\ \implies& 3a_k - 1 \geq 9k - 4 \\ \implies& a_{k+1} \geq 9k - 4 \quad \quad \text{d’après la question 2.b : $a_{k+1} = 3a_k - 1$} \\ \implies& a_{k+1} \geq 3n + 6n - 7 \\ \implies& a_{k+1} \geq 3(n+1) + 6n - 7 \\ \implies& a_{k+1} \geq 3(n+1) - 1 + 6(n-1) \\ \implies& a_{k+1} \geq 3(n+1) - 1 \quad \quad \text{car $6(n-1) \geq 0$} \end{aligned}$$

Donc si $(P_k)$ est vraie, alors $(P_{k+1})$ l’est aussi.

Conclusion

On a montré que la propriété $(P_n) : a_n \geq 3n - 1$ est vraie pour $n=1$ et qu’elle est héréditaire.

En conclusion :

$$\forall n \in \mathbb{N}^*,\;\; a_n \geq 3n - 1.$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2.d}}$

On sait que : $3n - 1 = +\infty$

Pour tout entier naturel $n \geq 1$, $a_n \geq 3n - 1$.

Par comparaison, $a_n = +\infty$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3.a}}$

Pour tout entier naturel $n$,

$$a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$$

On en déduit que :

$$\begin{aligned} a_n (u_n - 1) &= u_n \\ a_n u_n - a_n &= u_n \\ u_n (a_n - 1) &= a_n \end{aligned}$$

Comme on sait que pour tout entier $n \geq 1$, $a_n \geq 3n - 1$, alors $a_n \geq 2$ si $n \geq 1$.

D’autre part $a_0 = 2$.

Le facteur $a_n - 1$ est toujours différent de $0$.

Donc :

$$u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}, \quad \text{pour tout entier naturel } n.$$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3.b}}$

On sait que : $$u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$$

Or, quand $n \to +\infty$, on a $a_n \to +\infty$.
L’expression $u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$ est donc de la forme $\dfrac{+\infty}{+\infty}$, ce qui est une forme indéterminée.

On simplifie : $$\begin{aligned} u_n &= \dfrac{a_n}{a_n - 1} \\ &= \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{a_n}} \end{aligned}$$

Puisque $\tfrac{1}{a_n} \to 0$ lorsque $a_n \to +\infty$, on en déduit que : $$u_n \to \dfrac{1}{1 - 0} = 1$$

En conclusion, la suite $(u_n)$ converge vers $1$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,4.a}}$

L’algorithme $\text{algo}(p)$ calcule les termes successifs de la suite $(u_n)$ tant que $u_n - 1$ est strictement supérieur à la valeur $p$.

Lorsqu’il rencontre un terme $u_n$ tel que $u_n - 1 \leq p$, alors il sort de la boucle et renvoie le rang $n$ et la valeur $u_n$.

Comme la suite $(u_n)$ est décroissante, on conclut :

L’algorithme renvoie les plus grandes valeurs de $n$ et de $u_n$ tels que $u_n > p + 1$. C’est un algorithme de seuil.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,4.b}}$

Ici $p + 1 = 1,001$.

En utilisant la calculatrice, on trouve que $u_5 \approx 1,002747$ et $u_6 \approx 1,000915$.

La suite étant décroissante, la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geq 1,001$ est :

$$n = 6.$$

Exercice 3

Affirmation 1

On vérifie si $(d)$ et l’axe des ordonnées sont parallèles :

La droite $(d)$ admet comme représentation paramétrique :

$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = -1 \\ z = 2 - 6t , t \in \mathbb{R} \end{cases}$

On en déduit qu’un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec u = (-2,\,0,\,-6)$

Un vecteur directeur de l’axe des ordonnées est $\vec j = (0,\,1,\,0)$

Les coordonnées de $\vec u$ et de $\vec j$ ne sont pas deux à deux proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Ainsi, $(d)$ et l’axe des ordonnées ne sont pas parallèles.

On vérifie si $(d)$ et l’axe des ordonnées sont sécants :

L’axe des ordonnées passe par l’origine du repère et admet comme vecteur directeur $\vec j = (0,\,1,\,0)$.

Une représentation paramétrique de l’axe des ordonnées est donc $\begin{cases} x = 0 \\ y = t' \\ z = 0 , t' \in \mathbb{R} \end{cases}$

Un point $M(x;y;z)$ appartient à l’intersection de $(d)$ et de l’axe des ordonnées si et seulement si :

Il existe deux réels $t$ et $t’$ tels que

$\begin{cases} x = 0 \\ y = t' \\ z = 0 \end{cases}$ et $\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = -1 \\ z = 2 - 6t \end{cases}$.

Pour trouver $t$, on résout : $\begin{cases} 0 = 3 - 2t \\ 0 = 2 - 6t \end{cases}$ $\Longleftrightarrow$ $\begin{cases} t = \dfrac{3}{2} \\ t = \dfrac{1}{3} \end{cases}$.

Il n’y a pas de solution pour $t$.

En conclusion : $(d)$et l’axe des ordonnées ne sont pas sécants En définitive, $(d)$ et l’axe des ordonnées ne sont ni sécants ni parallèles. Les deux droites ne sont pas coplanaires.

• L’affirmation 1 est juste.

Affirmation 2

Le plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ admet comme vecteur normal tout vecteur directeur de $(d)$.

À la question précédente, on a trouvé un vecteur directeur de $(d)$ : $\vec u = (-2,0,-6)$.

Une équation cartésienne du plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ est donc : $-2x - 6z + d = 0$, avec $d \in \mathbb{R}$.

Pour déterminer le réel $d$, on remplace dans l’équation $x$ et $z$ par l’abscisse et la cote de $A(3;-3;-2)$ : $-2 \times 3 - 6 \times (-2) + d = 0$ $-6 + 12 + d = 0$

Donc $d = -6$.

Ainsi, une équation du plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ est : $-2x - 6z - 6 = 0$.

En divisant les deux membres par $-2$ : $x + 3z + 3 = 0$.

• L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3

$1^{ère}$ manière de calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\ ;\ z_B-z_A)$ donc $\overrightarrow{AB}=(5-3\ ;\ -4-(-3)\ ;\ -1-(-2))=(2\ ;\ -1\ ;\ 1)$.

On en déduit la norme : $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$.

Pour déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$, on cherche les coordonnées de $C$. $C$ est le point de la droite $(d)$ d’abscisse $2$.

Ainsi, il existe un réel $t$ tel que : $\begin{cases} x_C = 2 = 3 - 2t \\ y_C = -1 \\ z_C = 2 - 6t \end{cases}$

La première équation donne : $2 = 3 - 2t \Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$. En remplaçant, on obtient : $x_C=2,\quad y_C=-1,\quad z_C=2-6\times\dfrac{1}{2}=-1$.

Les coordonnées de $C$ sont donc $(2\ ;\ -1\ ;\ -1)$.

On en déduit : $\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A\ ;\ y_C-y_A\ ;\ z_C-z_A)$ donc $\overrightarrow{AC}=(2-3\ ;\ -1-(-3)\ ;\ -1-(-2))=(-1\ ;\ 2\ ;\ 1)$.

Et $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$.

On applique alors la formule :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =|\overrightarrow{AB}|\times|\overrightarrow{AC}|\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\sqrt6\times\sqrt6\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =6\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$2^{ème}$ manière de calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées.

Avec $\overrightarrow{AB}=(2\ ;\ -1\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{AC}=(-1\ ;\ 2\ ;\ 1)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-1)+(-1)\times2+1\times1=-3$.

Conclusion

On a donc : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3$.

On en déduit : $6\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-3$. donc $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{1}{2}$.

Ainsi : $\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}$.

• L’affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4

On note les coordonnées de $H$ : $(x_H\ ;\ y_H\ ;\ z_H)$.

Un vecteur normal du plan $P$ est $\vec n=(1\ ;\ 0\ ;\ 3)$.

Le point $H$ appartient à la droite passant par $B(5\ ;\ -4\ ;\ -1)$ et de vecteur directeur $\vec n$.

Une représentation paramétrique de cette droite est : $\begin{cases} x = 5 + k \\ y = -4 \\ z = -1 + 3k \end{cases}$ avec $k \in \mathbb{R}$.

On en déduit qu’il existe un réel $k$ tel que :

$x_H = 5 + k,\quad y_H = -4,\quad z_H = -1 + 3k$.

Le point $H$ appartient au plan $P$, donc ses coordonnées vérifient l’équation :

$x_H + 3z_H - 7 = 0$.

On remplace par les expressions précédentes :

$5 + k + 3(-1 + 3k) - 7 = 0$ $\Longleftrightarrow 5 + k - 3 + 9k - 7 = 0$ $\Longleftrightarrow 10k - 5 = 0$ $\Longleftrightarrow k = \dfrac{1}{2}$.

On en déduit les coordonnées de $H$ :

$x_H = 5 + \dfrac{1}{2},\quad y_H = -4,\quad z_H = -1 + 3\times\dfrac{1}{2}$.

Ainsi, $H\left(\dfrac{11}{2}\ ;\ -4\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$.

Calcul de la distance $BH$

$BH=\sqrt{(x_B-x_H)^2+(y_B-y_H)^2+(z_B-z_H)^2}$

$BH=\sqrt{\left(5-\dfrac{11}{2}\right)^2+(-4+4)^2+\left(-1-\dfrac{1}{2}\right)^2}$

$BH=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+0+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2}$

$BH=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{10}{4}}$.

En conclusion, $BH=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

• L’affirmation 4 est vraie.

Exercice 4

Partie A

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1}}$

Sur le graphique, on observe que :

• La courbe $C_1$ est décroissante sur $]-\infty;-2]$ et sur $[1;+\infty[$, alors que la fonction représentée par la courbe $C_2$ est négative sur ces intervalles ;

• La courbe $C_1$ est croissante sur $[-2;1]$, alors que la fonction représentée par la courbe $C_2$ est positive sur cet intervalle ;

• En revanche, la fonction représentée par la courbe $C_1$ est positive sur $[0;2]$ alors que la courbe $C_2$ est décroissante sur cet intervalle.

Conclusion : les variations d’une fonction étant déterminées par le signe de sa dérivée, on en déduit que la fonction $g$ est représentée par la courbe $C_1$ et que sa dérivée $g'$ est représentée par la courbe $C_2$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2}}$

• La courbe $C_1$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$ donc $g(0)=1$.
• La courbe $C_2$ passe par le point de coordonnées $(0;2)$ donc $g'(0)=2$. L’équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est : $$y = g'(0)(x-0) + g(0)$$ donc $$y = 2x + 1$$

Partie B

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1}}$

$f_0$ est une solution de l’équation différentielle E si et seulement si elle vérifie cette équation.

$f_0$ définie pour tout réel x par $f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On a :

$\begin{array}{rcl} f_0'(x) & = & (2x+3)e^{-x}-e^{-x}(x^2+3x) \\ & = & e^{-x}(2x+3-x^2-3x) \\ & = & e^{-x}(-x^2-x+3) \end{array}$

Ainsi, $\begin{array}{rcl} f_0'(x)+f_0(x) & = & e^{-x}(-x^2-x+3)+(x^2+3x)e^{-x} \\ & = & e^{-x}(-x^2-x+3+x^2+3x) \\ & = & e^{-x}(2x+3) \end{array}$

On en déduit qu’on a bien $f_0'(x)+f_0(x)=(2x+3)e^{-x}$.

En conclusion : la fonction $f_0$ est une solution particulière de l’équation différentielle E.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2}}$

On résout $y'+y=0$. C’est une équation différentielle du premier degré sans second membre.

On sait que la solution générale de cette équation est l’ensemble des fonctions $f$ définies pour tout réel $x$ par&nbsp: $f(x)=Ce^{-x}$, $C\in\mathbb{R}$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3}}$

D’après les questions 1. et 2., les solutions de E sont donc les fonctions&nbsp: $\begin{array}{rcl} y(x) & = & f(x)+f_0(x) \\ & = & Ce^{-x}+(x^2+3x)e^{-x} \\ y(x) & = & (x^2+3x+C)e^{-x},\quad C\in\mathbb{R} \end{array}$

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,4}}$

On sait que $g(0)=1$ et que $g(x)$ est de la forme $(x^2+3x+C)e^{-x}$.

Ainsi, il existe un réel $C$ tel que $g(0)=(0^2+3\times 0 + C)e^{0}=1$.

Donc $C=1$.

Conclusion : pour tout réel $x$, $g(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}$.

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,5}}$

Les solutions de l’équation différentielle E&nbsp: $y'+y=(2x+3)e^{-x}$ sont de la forme&nbsp: $y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}$, $C\in\mathbb{R}$.

Ces fonctions sont deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ comme produits de fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$.

Soit $C$ un réel. Pour tout réel $x$&nbsp: $\begin{array}{rcl} y'(x) & = & (2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+C)e^{-x} \\ & = & e^{-x}(2x+3-x^2-3x-C) \\ y'(x) & = & e^{-x}(-x^2-x+3-C) \end{array}$

On dérive de nouveau pour la dérivée seconde&nbsp: $\begin{array}{rcl} y''(x) & = & (-2x-1)e^{-x}-(-x^2-x+3-C)e^{-x} \\ & = & e^{-x}(-2x-1+x^2+x-3+C) \\ y''(x) & = & e^{-x}(x^2-x-4+C) \end{array}$

La courbe représentant $y$ solution de l’équation différentielle E possède un point d’inflexion si $y''(x)$ s’annule en changeant de signe en ce point.

On étudie donc le signe de $y''(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$. Donc $y''(x)$ est du signe de $x^2-x-4+C$. $x^2-x-4+C$ est un polynôme du second degré. Pour étudier son signe, on calcule le discriminant&nbsp: $\begin{array}{rcl} \Delta & = & 1-4(-4+C) \\ \Delta & = & 17-4C \end{array}$

Ce polynôme s’annule deux fois en changeant de signe si et seulement s’il a deux racines distinctes, si et seulement si $\Delta>0$.

Or $\Delta>0 \Longleftrightarrow 17-4C>0 \Longleftrightarrow C<\dfrac{17}{4}$.

Ainsi la courbe représentant $y$ solution de l’équation différentielle E possède exactement deux points d’inflexion si et seulement si $C<\dfrac{17}{4}$.

Partie C

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,1}}$

On étudie la limite de la fonction $ f(x)=\frac{x^2 e^{-x}}{1+3x+2x^2} $ lorsque $(x \to +\infty)$.

On a : $ \lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0. $

Il s'agit donc d'une forme indéterminée du type $(+\infty \times 0)$.

De plus, $ \lim_{x\to +\infty} (1+3x+2x^2) = +\infty. $

Par croissance comparée, on sait que $ \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{e^{x}} = 0. $

Donc $ \lim_{x\to +\infty} x^2 e^{-x} = 0. $

Par produit (ou quotient) avec un dénominateur qui tend vers $(+\infty)$, on obtient finalement $ \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0. $

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,2}}$

Pour tout réel $(x)$, on a :

$f'(x)=\bigl(2x+3\bigr)e^{-x}-\bigl(x^2+3x+2\bigr)e^{-x} =\bigl(-x^2-x+1\bigr)e^{-x}. $

Pour tout réel $(x)$, $ e^{-x}>0, $ donc $(f'(x))$ est du signe de $(-x^2-x+1)$.

Étudions le polynôme $ P(x)=-x^2-x+1. $

Son discriminant vaut $ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4(-1)(1)=1+4=5>0. $

Donc $(P)$ admet deux racines réelles :

$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{1-\sqrt{5}}{-2} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{1+\sqrt{5}}{-2} =-\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $

Ainsi, en remettant dans l'ordre croissant : $ x_2=-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \;<\; x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}. $

Comme le coefficient directeur de $(x^2)$ dans $(P(x))$ est $(a=-1<0)$, le polynôme $(P)$ est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur :

$P(x)<0$ sur $(-\infty,x_2)\cup(x_1,+\infty)$ et

$P(x)>0 \ \text{sur}\ (x_2,x_1) $

On en déduit le signe de $(f'(x))$ et les variations de $(f)$ :

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,3}}$

On calcule : $ f(0)=0^2+3\times 0+2e^{-0}=2. $

On a : $ x_2<0<x_1. $

D’après le tableau de variations, $(f)$ est croissante sur $[0;x_1]$ et comme $ f(0)=2, $ on en déduit que $(f)$ est positive sur $[0;x_1]$.

De plus, $(f)$ est décroissante sur $[x_1;+\infty[$ et $ \lim_{x\to +\infty} f(x)=0. $ On en déduit que $(f)$ est positive sur $[x_1;+\infty[$.

Conclusion : $ f(x)\ge 0 \quad \text{sur} \quad [0;+\infty[. $

$\textcolor{#cb50aa}{\bold{Question\,4}}$

$(f)$ est positive sur $[0;+\infty[$.

Donc l’aire $(A(a))$ du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe $(C_f)$ et les droites d’équation $(x=0)$ et $(x=a)$ est donnée par :

$ A(a)=\int_{0}^{a} f(x)\,dx = F(a)-F(0), $ où $(F)$ est une primitive de $(f)$.

On a : $ F(a)=(-a^2-5a-7)e^{-a}, $ et $ F(0)=(0^2-5\times 0-7)e^{0}=-7. $

Conclusion : $ A(a)=(-a^2-5a-7)e^{-a}+7. $