Exercice 1 : Dépolluer une eau avec des carapaces de crevettes
Exercice 1 : Dépolluer une eau avec des carapaces de crevettes
De la chitine au chitosane
De la chitine au chitosane
Le document issu du BUP n° 904 nous informe que la chitine est un polymère extrait des carapaces des crustacés et animaux à coquilles.
- Il s’agit donc d’un polymère naturel.
Ce document nous informe également que le chitosane est synthétisé à partir de la chitine.
- Il s’agit donc d’un polymère artificiel.
Le motif de la chitine est la molécule qui se répète :
Un protocole expérimental pour synthétiser le chitosane à partir de la chitine
Un protocole expérimental pour synthétiser le chitosane à partir de la chitine
Le motif de la chitine présente une fonction amide :
Or, l’énoncé nous dit que la fonction amide, sous l’action des ions hydroxyde , forme l’ion éthanoate et une fonction amine selon la réaction :
- La formule topologique du motif du chitosane est donc :
Le groupe amine est présent dans le motif de la chitosane.
- Celle-ci appartient donc à la famille des amines :
Le chauffage à reflux est utilisé pour chauffer le mélange réactionnel afin d’accélérer la réaction chimique. En effet, la température est un facteur cinétique qui permet d’augmenter la vitesse de la réaction. Le reflux sert à éviter les pertes du mélange réactionnel en condensant les vapeurs sur les parois du réfrigérant à eau.
- Les légendes sont les suivantes :
L’entrée d’eau dans un réfrigérant se fera toujours par le bas !
La formule du rendement est :
où correspond à la quantité de matière maximale de chitosane qu’on obtiendrait si la réaction était totale.
- Commençons par calculer ce dernier.
On utilise les données :
- ;
- .
Or, la chitine contient motifs de chitine, ainsi que atomes d’hydrogène et atome d’oxygène. Ainsi :
Ces données permettent de calculer la quantité de matière de chitine introduite initialement :
Il faut bien faire attention à donner le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs. Ici, la masse de la chitine est donnée avec chiffres significatifs et la masse molaire des atomes avec chiffres significatifs.
- Donc le résultat de la quantité de matière sera donné avec chiffres significatifs.
D’après l’équation de la réaction fournie dans l’énoncé :
On remarque que mole de chitine produit mole de chitosane. Ainsi :
- Il reste à déterminer la quantité de matière expérimentale de chitosane : .
On utilise les données de l’énoncé :
- ;
- .
Or, le chitosane contient motifs du chitosane, ainsi que atomes d’hydrogène et atome d’oxygène. Ainsi :
On a donc :
- Le rendement vaut donc :
Du chitosane pour dépolluer
Du chitosane pour dépolluer
D’après le spectre d’absorption d’une solution aqueuse de sulfate de cuivre, le sulfate de cuivre a un pic d’absorbance pour une longueur d’onde d’environ . Or, d’après le cercle chromatique, on remarque que cette longueur d’onde correspond au rouge.
- La couleur du sulfate de cuivre sera donc le complémentaire du rouge : le cyan.
Deux couleurs complémentaires se trouvent sur les branches opposées du cercle chromatique.
On souhaite diluer la solution pour obtenir de solution .
La solution a une concentration en quantité de matière égale à et la solution a une concentration en quantité de matière égale à . Le rapport de dilution est de :
Il faut donc :
- prélever de la solution à l’aide d’une pipette jaugée de , puis les introduire dans une fiole jaugée de :
- introduire ensuite de l’eau distillée aux trois quarts de la fiole jaugée, puis la boucher et la secouer pour homogénéiser ;
- compléter avec de l’eau distillée jusqu’au trait de jauge, boucher la fiole et la secouer pour homogénéiser.
- La solution est prête.
Il faut tout d’abord déterminer le rapport de dilution avant de rédiger le protocole.
Utilisons l’équation de la réaction de complexation des ions cuivre et établissons le tableau d’avancement.
La quantité de matière initiale des ions cuivre vaut : (avec et le volume de la solution).
L’avancement de la réaction est et l’avancement final vaut :
État | Avancement | |||
Initial | Excès | |||
Intermédiaire | Excès | |||
Final | Excès |
correspond à la quantité de matière, à l’état final, des ions cuivre qui a été consommée pour former le complexe .
Le filtrat correspond à la solution contenant les ions cuivre qui n’ont pas réagi : la quantité de matière restante en ion cuivre dans le filtrat est donc : .
Pour déterminer le taux d’avancement, il est utile d’établir un tableau d’avancement.
Le taux d’avancement représente la fraction des ions cuivre ayant réagi () par rapport à celle qui aurait disparu si la réaction était totale (la quantité de matière disparaît totalement si la réaction est totale).
- Il vaut donc :
Il faut maintenant calculer la concentration en quantité de matière du filtrat.
- Pour cela, on utilise la loi de Beer-Lambert, qui nous indique que l’absorbance d’une solution est proportionnelle à sa concentration en quantité de matière : , avec le coefficient de proportionnalité.
Nous calculons dans un premier temps les coefficients pour les données dont nous disposons :
Solution | ||||||
en | ||||||
Coefficient : |
Les coefficients sont assez proches ; nous calculons leur moyenne et obtenons . Nous avons ainsi, avec la loi de Beer-Lambert (avec chiffres significatifs, au vu de la précision des relevés expérimentaux) :
Nous en déduisons la concentration finale des ions dans le filtrat :
Et finalement :
Nous avons donc : , donc la réaction n’est pas totale.
- Le procédé de dépollution par le chitosane est partiellement efficace.
Pour améliorer cette efficacité, il faudrait maximiser les « contacts » entre le chitosane et les ions pour favoriser la réaction.
- On peut introduire le chitosane sous la forme d’une poudre fine.
- On peut introduire tout simplement plus de chitosane.
- Ou, si on n’est pas limité par le temps, on peut agiter plus longtemps que la demi-heure prévu par le procédé initial.
Étude cinétique de la complexation des ions par le chitosane
Étude cinétique de la complexation des ions par le chitosane
La vitesse volumique de disparition des ions cuivre est égale à l’opposé de la dérivée temporelle de la concentration des ions cuivre :
On vient de voir que .
Or, à l’instant , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point de la courbe d’abscisse .
- Nous traçons donc, sur le graphe fourni, la tangente en ce point.
correspond à une variation de la concentration en quantité de matière, sur une variation temporelle. Il s’agit donc du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant en fonction du temps, au point de la courbe d’abscisse .
Puis on calcule donc le coefficient directeur de cette tangente, en choisissant deux points sur cette tangente : , de coordonnées , et , de coordonnées . On a donc, à :
- Nous trouvons donc :
On remarque que les tangentes à la courbe s’approchent de l’horizontale au cours du temps : les coefficients directeurs des tangentes, qui sont négatifs, sont de plus en plus grands. Ainsi, la vitesse de disparition des ions cuivre décroît au cours du temps.
Cela s’explique par le fait que, au cours du temps, la concentration en ions cuivre décroît. Or, la concentration est un facteur cinétique.
Regardons la ligne 19 du programme Python :
On voit que la vitesse volumique de consommation des ions cuivre à est donnée par le calcul de la vitesse moyenne entre les dates et .
- La vitesse volumique de consommation des ions cuivre est donc une valeur approchée.
La loi de vitesse d’ordre 1 stipule que la vitesse de disparition des ions cuivre est proportionnelle à la concentration en quantité de matière des ions cuivre :
Or, le nuage de points de la figure 5 peut être ajusté par une droite d’équation :
L’ordonnée à l’origine de cette droite est égale à , que l’on peut considérer comme nulle.
- On a donc une droite d’équation : qui confirme que la loi de vitesse est d’ordre 1.
Exercice A – Un microaccéléromètre capacitif (5 points)
Exercice A – Un microaccéléromètre capacitif (5 points)
Fonctionnement d’un accéléromètre capacitif
Fonctionnement d’un accéléromètre capacitif
Un dispositif ultra miniaturisé
D’après la figure 1, on voit que la distance occupée par tiges successives vaut .
Il y a écarts entre les tiges successives, donc la distance entre deux tiges successives vaut :
Remarquons que nous avons négligé l’épaisseur des tiges, car cela ne change pas l’ordre de grandeur que nous cherchons.
- L’ordre de grandeur de la distance entre deux tiges est de .
Mesurer l’écart entre tiges permet de donner la mesure de l’écart entre deux tiges avec plus de précision.
La capacité d’un condensateur, dont le milieu entre les armatures est l’air, s’exprime, d’après l’énoncé, par :
Données :
- ;
- est l’écart entre les armatures, car les tiges des peignes qui sont en regard les unes des autres constituent les armatures d’un ensemble de condensateurs plans élémentaires ; or, d’après la figure 2, la distance entre les deux armatures d’un condensateur correspond à la moitié de la distance séparant deux peignes :
- .
- On a donc :
Les capacités usuelles sont de l’ordre du microfarad (). La valeur que l’on a trouvée est donc très inférieure à la valeur usuelle des capacités.
D’après le schéma b de la figure 2, on remarque que l’écart entre les armatures du condensateur est plus petit que l’écart entre les armatures du condensateur : .
Puisque , alors la capacité du condensateur est inversement proportionnelle à la distance entre les armatures :
Une mesure d’accélération
L’énoncé nous donne l’expression de la tension électrique de sortie délivrée par l’accéléromètre capacitif en fonction de la valeur de la coordonnée du vecteur accélération :
Données :
- ;
- ;
- .
On a donc :
Comparons cette accélération à celle de l’accélération moyenne d’une moto qui passe d’une vitesse nulle à une vitesse de en .
On sait que :
On a donc :
On en conclut que l’accélération du drone est près de fois plus importante que celle de la moto.
Méthode de détermination de l’écart entre les armatures par mesure de la capacité
Méthode de détermination de l’écart entre les armatures par mesure de la capacité
- La feuille 2 est reliée à la borne négative du générateur, donc les électrons quittent cette borne pour s’accumuler sur la feuille 2.
- Elle est chargée négativement.
- La feuille 1 est reliée à la borne positive du générateur.
- Elle est chargée positivement.
On sait que :
- la tension aux bornes d’un condensateur s’exprime par ;
- l’expression du courant qui le traverse est : .
- Ainsi :
Pour une résistance, on applique la loi d’Ohm :
- On a donc :
La loi des mailles dans le circuit RC nous donne :
On divise chaque membre de cette équation différentielle par
Lorsque
- Ainsi la tension aux bornes d’un condensateur prend la valeur de la tension du générateur du circuit en fin de charge.
On sait que, à l’instant
On en déduit donc la valeur du produit
Rappelons que, au fil du temps,
De plus, comme le diélectrique est le polyéthylène, on sait que :
- Donc la connaissance de la valeur de la capacité $C$ nous permet de retrouver la distance
entre les armatures du condensateur (nous savons aussi qued \text{d} ) :S = 2 5 2 = 625 cm 2 S=25^2=625\ \text{cm}^2
Exercice B – Accélérateur linéaire « Linac2 » du CERN (5 points)
Exercice B – Accélérateur linéaire « Linac2 » du CERN (5 points)
Accélération initiale des protons dans un premier condensateur plan
Accélération initiale des protons dans un premier condensateur plan
- distance entre les plaques :
;d = 10 , 0 cm = 10 , 0 × 1 0 − 2 m d = 10,0\ \text{cm} =10,0\times 10^{-2}\ \text{m} - tension électrique appliquée :
.U = V 1 − V 2 = 2 , 00 MV = 2 , 00 × 1 0 6 V U = V1 - V2 = 2,00\ \text{MV}= 2,00 \times 10^6\ \text{V} - On a donc :
Or, d’après l’échelle,
- On représente ainsi le champ électrique par un vecteur dirigé dans le sens de l’axe
, dont la longueur mesureO x Ox .2 cm 2\ \text{cm}
Soit
Le rapport s’exprime donc par :
- Ainsi,
, donc on peut considérer que le poids est négligeable devant la force électrique.F e p > > 1 0 3 \frac {F_\text{e}}p > > 10^3
Pour comparer deux grandeurs, il faut faire le rapport de la plus grande valeur sur la plus petite. Une grandeur est négligeable devant l’autre lorsque le rapport donne un ordre de grandeur supérieur à
On effectue le bilan des forces : le proton est soumis uniquement à la force électrique
On applique la deuxième loi de Newton :
On a donc :
- L’accélération du proton est donc constante, car
,e e etm p m_p sont constants.E E
Or,
- On a bien :
.E c ( S ) − E c ( O ) = e U \boxed{E\text{c}(\text{S}) - E\text{c}(\text{O})=eU}
- E\text{c}(\text{S})=\frac 12mp v_{\tiny \text{S}}^2 ;
, car, d’après l’énoncé, le proton entre dans le condensateur enE c ( O ) = 1 2 m p v O 2 = 0 E\text{c}(\text{O})= \frac 12 mp v_{\tiny \text{O}}^2=0 avec une vitesse nulle.O O - On a donc :
La vitesse du proton au point
- Le proton n’atteint pas des vitesses relativistes, l’étude est légitime.
Principe du « Linac2 » – accélérateur linéaire
Principe du « Linac2 » – accélérateur linéaire
Or, le champ électrique
est dirigé deE → \overrightarrow{E\ } versA \text{A} dans les deux intervalles :B \text{B}
Or, le champ électrique
est dirigé deE → \overrightarrow{E\ } versB \text{B} dans les deux intervalles :A \text{A}
En outre, l’énoncé nous dit qu’il suffit d’augmenter la valeur de
Récapitulons.
- D’après la question 2.1., si le proton arrive dans l’intervalle 1 à l’instant
, le proton est accéléré dans le sens de l’axet = T 4 t=\frac T4 , et la tension est maximale en valeur absolue.O x Ox - D’après la question 2.2, si le proton arrive dans l’intervalle au temps
, il est accéléré dans le senst = 3 T 4 t=\frac{3T}4 , et la tension est maximale en valeur absolue.O x Ox - Ainsi, pour une accélération optimale, le temps mis par le proton pour passer de l’intervalle 1 à l’intervalle 2 doit être de :
En conclusion, pour être accélérés de manière optimale dans chaque intervalle, les protons doivent mettre une durée
Or, pour être accéléré de manière optimale, il doit mettre le même temps pour passer d’un intervalle à l’autre.
- Les tubes du « Linac2 » doivent donc être de plus en plus longs.
Exercice C – Observer les cratères lunaires Messier (5 points)
Exercice C – Observer les cratères lunaires Messier (5 points)
Étude de la lunette astronomique
Étude de la lunette astronomique
- C’est pour cette raison que la lunette est dite « 70/300 ».
En optique géométrique, il faut toujours tracer les rayons qui passent par les centres optiques des lentilles car ils ne sont pas déviés.
Il faut aussi garder en tête qu’une image (ou un objet) à l’infini est représentée par des rayons parallèles.
L’intérêt est qu’un objet à l’infini forme à travers une lunette afocale une image à l’infini.
- Ainsi, l’œil observe l’image sans accommoder.
Dans le triangle
Or, avec l’approximation des petits angles :
De la même façon, dans le triangle
On obtient ainsi :
Or,
- Ce qui donne :
Pour les calculs de grossissement, il est très utile d’appliquer les relations de trigonométrie dans des triangles rectangles.
Remarquons que, pour une lentille convergente, la distance focale (image) est positive. Nous pouvons donc la ramener à une longueur.
Observation du cratère lunaire Messier
Observation du cratère lunaire Messier
- l’objet à observer est le cratère, de largeur :
;A B = d AB=d - la distance entre l’objet à observer et l’œil de l’observateur est la distance Terre-Lune :
.D D
On peut appliquer dans ce triangle rectangle en
- L’observation de ce cratère n’est donc pas possible à l’œil nu.
Nous cherchons donc l’angle
Nous résolvons donc l’inéquation, avec
Nous obtenons ainsi :
\begin{aligned} f^{\prime}\text{ocu} &< \dfrac{3,00\times 10^{-1} \times 2,86\times 10^{-5}}{3,0 × 10 ^{-4}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit :\ }} f^{\prime}\text{ocu} &< 2,9\times 10^{-2}\ \text{m}=\boxed{28\ \text{mm}} \end{aligned}
- On choisit donc l’oculaire de distance focale
ou celui de distance focale10 mm 10\ \text{mm} parmi ceux fournis.20 mm 20\ \text{mm}