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Sujet zéro 2021 - Spécialité physique-chimie - Corrigé
Corrigé bac

Exercice 1 : Dépolluer une eau avec des carapaces de crevettes

De la chitine au chitosane

1.1.\bold{1.1.} Le document issu du BUP n° 904 nous informe que la chitine est un polymère extrait des carapaces des crustacés et animaux à coquilles.

  • Il s’agit donc d’un polymère naturel.

Ce document nous informe également que le chitosane est synthétisé à partir de la chitine.

  • Il s’agit donc d’un polymère artificiel.

1.2.\bold{1.2.} Le motif de la chitine est la molécule qui se répète :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

Un protocole expérimental pour synthétiser le chitosane à partir de la chitine

2.1.\bold{2.1.} Le motif de la chitine présente une fonction amide :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

Or, l’énoncé nous dit que la fonction amide, sous l’action des ions hydroxyde HO\text{HO}^-, forme l’ion éthanoate et une fonction amine selon la réaction :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

  • La formule topologique du motif du chitosane est donc :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

2.2.\bold{2.2.} Le groupe amine est présent dans le motif de la chitosane.

  • Celle-ci appartient donc à la famille des amines :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

2.3.\bold{2.3.} Le chauffage à reflux est utilisé pour chauffer le mélange réactionnel afin d’accélérer la réaction chimique. En effet, la température est un facteur cinétique qui permet d’augmenter la vitesse de la réaction. Le reflux sert à éviter les pertes du mélange réactionnel en condensant les vapeurs sur les parois du réfrigérant à eau.

  • Les légendes sont les suivantes :

1Sortie d’eau2Reˊfrigeˊrant aˋ eau3Entreˊe d’eau4Ballon5Chauffe-ballon6Support eˊleˊvateur\begin{aligned} \text{\textcircled {\footnotesize 1}}&\quad \text{Sortie d’eau} \ \text{\textcircled {\footnotesize 2}}&\quad \text{Réfrigérant à eau} \ \text{\textcircled {\footnotesize 3}}&\quad \text{Entrée d’eau} \ \text{\textcircled {\footnotesize 4}}&\quad \text{Ballon} \ \text{\textcircled {\footnotesize 5}}&\quad \text{Chauffe-ballon} \ \text{\textcircled {\footnotesize 6}}&\quad \text{Support élévateur} \ \end{aligned}

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Attention

L’entrée d’eau dans un réfrigérant se fera toujours par le bas !

2.4.\bold{2.4.} La formule du rendement est :

r=nexp(chitosane)ntheˊorique(chitosane)r= \dfrac{n\text{exp} (\text{chitosane})}{n\text{théorique}(\text{chitosane)}}

ntheˊorique(chitosane) n_\text{théorique}(\text{chitosane}) correspond à la quantité de matière maximale de chitosane qu’on obtiendrait si la réaction était totale.

  • Commençons par calculer ce dernier.

On utilise les données :

  • m(chitine)=8,0 gm(\text{chitine}) =8,0\ \text{g} ;
  • M(motif de la chitine)=203 gmol1M(\text{motif de la chitine})=203\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}.

Or, la chitine contient 44 motifs de chitine, ainsi que 22 atomes d’hydrogène et 11 atome d’oxygène. Ainsi :

M(chitine)=4×M(motif de la chitine)+2×M(H)+1×M(O)=4×203+2×1,0+1×16,0=830 gmol1\begin{aligned} M(\text{chitine})&= 4\times M(\text{motif de la chitine})+ 2\times M(\text{H}) + 1\times M(\text{O}) \ &= 4\times 203 + 2\times 1,0 + 1\times 16,0 \ &= 830\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

Ces données permettent de calculer la quantité de matière de chitine introduite initialement :

n(chitine)=m(chitine)M(chitine)=8,0830=9,6×103 mol\begin{aligned} n(\text{chitine})&=\dfrac{m(\text{chitine})}{M(\text{chitine})} \ &=\dfrac {8,0}{830} \ &= 9,6\times 10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}

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Attention

Il faut bien faire attention à donner le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs. Ici, la masse de la chitine est donnée avec 22 chiffres significatifs et la masse molaire des atomes avec 22 chiffres significatifs.

  • Donc le résultat de la quantité de matière sera donné avec 22 chiffres significatifs.

D’après l’équation de la réaction fournie dans l’énoncé :

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

On remarque que 11 mole de chitine produit 11 mole de chitosane. Ainsi :

n(chitine)=ntheˊorique(chitosane)d’ouˋ : ntheˊorique(chitosane)=9,6×103 mol\begin{aligned} n(\text{chitine})&= n\text{théorique}(\text{chitosane}) \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’où\ :\ }} n\text{théorique} (\text{chitosane})&= 9,6\times 10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}

  • Il reste à déterminer la quantité de matière expérimentale de chitosane : nexp(chitosane)n_\text{exp}(\text{chitosane}).

On utilise les données de l’énoncé :

  • mexp(chitosane)=4,0 gm_\text{exp} (\text{chitosane}) =4,0\ \text{g} ;
  • M(motif du chitosane)=159 gmol1M(\text{motif du chitosane})=159\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}.

Or, le chitosane contient 44 motifs du chitosane, ainsi que 22 atomes d’hydrogène et 11 atome d’oxygène. Ainsi :

M(chitosane)=4×M(motif du chitosane)+2×M(H)+1×M(O)=4×159+2×1,0+1×16,0=6,5×102 gmol1\begin{aligned} M(\text{chitosane})&= 4\times M(\text{motif du chitosane})+ 2\times M(\text{H}) + 1\times M(\text{O}) \ &= 4\times 159 + 2\times 1,0 + 1\times 16,0 \ &= 6,5\times 10^2\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned}

On a donc :

nexp(chitosane)=mexp(chitosane)M(chitosane)=4,06,5×102=6,2×103 mol\begin{aligned} n\text{exp} (\text{chitosane}) &= \dfrac {m\text{exp} (\text{chitosane})}{M(\text{chitosane})} \ &= \dfrac {4,0} {6,5\times 10^2} \ &=6,2\times 10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}

  • Le rendement vaut donc :

r=nexp(chitosane)ntheˊorique(chitosane)=6,2×1039,6×103=0,65=65 %\begin{aligned} r&=\dfrac{n\text{exp} (\text{chitosane})}{n\text{théorique}(\text{chitosane})} \ &=\dfrac{6,2\times 10^{-3}}{9,6\times 10^{-3}} \ &=0,65 \ &=\boxed{65\ \%} \end{aligned}

Du chitosane pour dépolluer

3.1.\bold{3.1.} D’après le spectre d’absorption d’une solution aqueuse de sulfate de cuivre, le sulfate de cuivre a un pic d’absorbance pour une longueur d’onde d’environ 790800 nm790-800\ \text{nm}. Or, d’après le cercle chromatique, on remarque que cette longueur d’onde correspond au rouge.

  • La couleur du sulfate de cuivre sera donc le complémentaire du rouge : le cyan.
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Rappel

Deux couleurs complémentaires se trouvent sur les branches opposées du cercle chromatique.

3.2.\bold{3.2.} On souhaite diluer la solution S\text{S} pour obtenir 10 mL10\ \text{mL} de solution F1\text{F}1.
La solution S\text{S} a une concentration en quantité de matière égale à CS=0,5 molL1C\text{S}=0,5\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} et la solution F1\text{F}1 a une concentration en quantité de matière égale à C1=0,10 molL1C1=0,10\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}. Le rapport de dilution est de :

CSC1=0,50,1=5\dfrac {C\text{S}}{C1}=\dfrac {0,5}{0,1}=5

Il faut donc :

  • prélever 2 mL2\ \text{mL} de la solution S\text{S} à l’aide d’une pipette jaugée de 2 mL2\ \text{mL}, puis les introduire dans une fiole jaugée de 10 mL10\ \text{mL} :
  • introduire ensuite de l’eau distillée aux trois quarts de la fiole jaugée, puis la boucher et la secouer pour homogénéiser ;
  • compléter avec de l’eau distillée jusqu’au trait de jauge, boucher la fiole et la secouer pour homogénéiser.
  • La solution F1\text{F}1 est prête.
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Rappel

Il faut tout d’abord déterminer le rapport de dilution avant de rédiger le protocole.

3.3.\bold{3.3.} Utilisons l’équation de la réaction de complexation des ions cuivre et établissons le tableau d’avancement.

La quantité de matière initiale des ions cuivre vaut : n0=C0×Vn0=C0\times V (avec C0=0,10 molL1C0 = 0,10\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} et VV le volume de la solution).
L’avancement de la réaction est xx et l’avancement final vaut xfx
\text{f} :

État Avancement Cu2+(aq)\small\text{Cu}^{2+}(\text{aq}) + chitosane\small+\ \text{chitosane} [Cu(chitosane)]2+\small\rightarrow \text{[Cu(chitosane)]}^{2+}
Initial 00 n0n0 Excès 00
Intermédiaire xx n0xn0-x Excès xx
Final xfx\text f n0xfn0-x\text f Excès xfx\text f

xfx\text{f} correspond à la quantité de matière, à l’état final, des ions cuivre qui a été consommée pour former le complexe [Cu(chitosane)]2+\text{[Cu(chitosane)]}^{2+}.
Le filtrat correspond à la solution contenant les ions cuivre qui n’ont pas réagi : la quantité de matière restante en ion cuivre dans le filtrat est donc : n0xfn
0-x_\text{f}.

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Astuce

Pour déterminer le taux d’avancement, il est utile d’établir un tableau d’avancement.

Le taux d’avancement représente la fraction des ions cuivre ayant réagi (n0xfn0-x\text{f}) par rapport à celle qui aurait disparu si la réaction était totale (la quantité de matière n0n_0 disparaît totalement si la réaction est totale).

  • Il vaut donc :

τ=n0xfn0=C0×VCf×VC0×V=C0CfC0\begin{aligned} \tau&=\dfrac{n0-x\text{f}}{n0} \ &=\dfrac{C0\times V-C\text{f}\times V}{ C0\times V} \ &=\dfrac{C0-C\text{f}}{C_0} \end{aligned}

Il faut maintenant calculer la concentration en quantité de matière CfC_\text{f} du filtrat.

  • Pour cela, on utilise la loi de Beer-Lambert, qui nous indique que l’absorbance d’une solution est proportionnelle à sa concentration en quantité de matière : A=k×CA= k\times C, avec kk le coefficient de proportionnalité.

Nous calculons dans un premier temps les coefficients pour les données dont nous disposons :

Solution F1\text{F}1 F2\text{F}2 F3\text{F}3 F4\text{F}4 F5\text{F}5 F6\text{F}6
CiCi en molL1\text{mol}\cdot \text{L}^{-1} 0,100,10 0,0500,050 0,0400,040 0,0300,030 0,0200,020 0,0100,010
AiAi 1,131,13 0,580,58 0,440,44 0,340,34 0,230,23 0,110,11
Coefficient : ki=AiCiki=\frac {Ai}{C_i} 11,311,3 11,611,6 11,011,0 11,311,3 11,511,5 11,011,0

Les coefficients sont assez proches ; nous calculons leur moyenne et obtenons kmoy=11,3k_\text{moy}=11,3. Nous avons ainsi, avec la loi de Beer-Lambert (avec 22 chiffres significatifs, au vu de la précision des relevés expérimentaux) :

A=11CC=A11A=11\,C \Leftrightarrow C=\dfrac{ A}{11}

Nous en déduisons la concentration finale des ions Cu2+(aq)\text{Cu}^{2+}(\text{aq}) dans le filtrat :

Cf=0,3011=2,7×102 molL1\begin{aligned} C_\text{f}&=\dfrac {0,30}{11} \ &=2,7\times 10^{-2}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1} \end{aligned}

Et finalement :

τ=C0CfC0=0,100,0270,10=0,73\begin{aligned} \tau&=\dfrac{C0-C\text{f}}{C_0} \ &=\dfrac{0,10-0,027}{0,10} \ &=\boxed{0,73} \end{aligned}

Nous avons donc : τ<1\tau < 1, donc la réaction n’est pas totale.

  • Le procédé de dépollution par le chitosane est partiellement efficace.

Pour améliorer cette efficacité, il faudrait maximiser les « contacts » entre le chitosane et les ions Cu2+\text{Cu}^{2+} pour favoriser la réaction.

  • On peut introduire le chitosane sous la forme d’une poudre fine.
  • On peut introduire tout simplement plus de chitosane.
  • Ou, si on n’est pas limité par le temps, on peut agiter plus longtemps que la demi-heure prévu par le procédé initial.

Étude cinétique de la complexation des ions Cu2+(aq)\text{Cu}^{2+}(\text{aq}) par le chitosane

4.1.\bold{4.1.} La vitesse volumique de disparition des ions cuivre Cu2+\text{Cu}^{2+} est égale à l’opposé de la dérivée temporelle de la concentration des ions cuivre Cu2+\text{Cu}^{2+} :

v=d[Cu2+]dt=dCdtv=-\dfrac{\text{d}[\text{Cu}^{2+}]}{\text{d}t} = -\dfrac {\text{d}C}{\text{d}t}

4.2.\bold{4.2.} On vient de voir que v=dCdtv= -\frac{\text{d}C}{\text{d}t}.

Or, à l’instant t=10 mint=10\ \text{min}, dCdt\frac {\text{d}C}{\text{d}t} est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C=f(t)C=f(t) au point de la courbe d’abscisse t=10 mint=10\ \text{min}.

  • Nous traçons donc, sur le graphe fourni, la tangente en ce point.

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

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Rappel

dCdt\frac {\text{d}C}{\text{d}t} correspond à une variation de la concentration en quantité de matière, sur une variation temporelle. Il s’agit donc du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant CC en fonction du temps, au point de la courbe d’abscisse tt.

Puis on calcule donc le coefficient directeur de cette tangente, en choisissant deux points sur cette tangente : AA, de coordonnées (tA ;CA)=(8 ;10,5)(tA\ ;\, CA)=(8\ ;\, 10,5), et BB, de coordonnées (tB ;CB)=(12 ;8)(tB\ ;\, CB)=(12\ ;\, 8). On a donc, à t=10 mint=10\ \text{min} :

dCdt=CBCAtBtA=10,5×1038×103812=6×104\begin{aligned} \dfrac {\text{d}C}{\text{d}t} &= \dfrac{CB-CA}{tB-tA} \ &= \dfrac{10,5\times 10^{-3} - 8\times 10^{-3}}{8-12} \ &=-6\times 10^{-4} \end{aligned}

  • Nous trouvons donc :

v=6×104 molL1min1\boxed{v = 6\times 10^{-4}\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}\cdot \text{min}^{-1}}

4.3.\bold{4.3.} On remarque que les tangentes à la courbe s’approchent de l’horizontale au cours du temps : les coefficients directeurs des tangentes, qui sont négatifs, sont de plus en plus grands. Ainsi, la vitesse de disparition des ions cuivre décroît au cours du temps.

Cela s’explique par le fait que, au cours du temps, la concentration en ions cuivre décroît. Or, la concentration est un facteur cinétique.

4.4.\bold{4.4.} Regardons la ligne 19 du programme Python :

19v.append(-(C[i+1]-C[i])/ (t[i+1]-t[i]))\textcolor{#A9A9A9}{\text{19}}\quad\text{v.append(-(C[i+1]-C[i])/ (t[i+1]-t[i]))}

On voit que la vitesse volumique de consommation des ions cuivre à t=t[i]t=\text{t[i]} est donnée par le calcul de la vitesse moyenne entre les dates t[i+1]\text{t[i+1]} et t[i]\text{t[i]}.

  • La vitesse volumique de consommation des ions cuivre est donc une valeur approchée.

4.5.\bold{4.5.} La loi de vitesse d’ordre 1 stipule que la vitesse de disparition des ions cuivre est proportionnelle à la concentration en quantité de matière des ions cuivre :

v=KCv=KC

Or, le nuage de points de la figure 5 peut être ajusté par une droite d’équation :

v=0,065C0,005v=0,065\,C- 0,005

L’ordonnée à l’origine de cette droite est égale à 0,0050,005, que l’on peut considérer comme nulle.

  • On a donc une droite d’équation : v=0,065Cv=0,065\,C qui confirme que la loi de vitesse est d’ordre 1.

Exercice A – Un microaccéléromètre capacitif (5 points)

Fonctionnement d’un accéléromètre capacitif

1.1.\bold{1.1.} Un dispositif ultra miniaturisé

1.1.1.\bold{1.1.1.} D’après la figure 1, on voit que la distance occupée par 88 tiges successives vaut 100 μm100\ \mu \text{m}.
Il y a 77 écarts entre les 88 tiges successives, donc la distance entre deux tiges successives vaut :

100×1067=1,43×105 m\dfrac{100\times 10^{-6}}7=1,43\times 10^{-5}\ \text{m}

Remarquons que nous avons négligé l’épaisseur des tiges, car cela ne change pas l’ordre de grandeur que nous cherchons.

  • L’ordre de grandeur de la distance entre deux tiges est de 105 m\boxed{10^{-5}\ \text{m}}.
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Astuce

Mesurer l’écart entre 88 tiges permet de donner la mesure de l’écart entre deux tiges avec plus de précision.

1.1.2.\bold{1.1.2.} La capacité CC d’un condensateur, dont le milieu entre les armatures est l’air, s’exprime, d’après l’énoncé, par :

C0=εairSdC0 = \varepsilon\text{air} \dfrac {\text{S}}{\text{d}}

Données :

  • S=65 μm2=65×1012 m2S=65\ \mu \text{m}^2=65\times 10^{-12}\ \text{m}^2 ;
  • d\text{d} est l’écart entre les armatures, car les tiges des peignes qui sont en regard les unes des autres constituent les armatures d’un ensemble de condensateurs plans élémentaires ; or, d’après la figure 2, la distance entre les deux armatures d’un condensateur correspond à la moitié de la distance séparant deux peignes :

d=1×1052=5×106 md=\dfrac{1\times 10^{-5}}2= 5 \times 10^{-6}\ \text{m}

  • εair=8,9×1012 Fm1\varepsilon_\text{air}= 8,9\times 10^{-12}\ \text{F}\cdot \text{m}^{-1}.
  • On a donc :

C0=εairSd=8,9×1012×65×10125×106=1×1016 F\begin{aligned} C0 &= \varepsilon\text{air} \dfrac {\text{S}}{\text{d}} \ &= 8,9\times 10^{-12}\times \dfrac{65\times 10^{-12}}{5 \times 10^{-6}} \ &=\boxed{1\times 10^{-16}\ \text{F}} \end{aligned}

Les capacités usuelles sont de l’ordre du microfarad (1×106 F1\times 10^{-6}\ \text{F}). La valeur que l’on a trouvée est donc très inférieure à la valeur usuelle des capacités.

1.1.3.\bold{1.1.3.} D’après le schéma b de la figure 2, on remarque que l’écart d2\text{d}2 entre les armatures du condensateur C2C2 est plus petit que l’écart d1\text{d}1 entre les armatures du condensateur C1C1 : d2<d1\text{d}2 < \text{d}1.
Puisque C=εSdC = \varepsilon \frac {\text{S}}{\text{d}}, alors la capacité du condensateur est inversement proportionnelle à la distance d\text{d} entre les armatures :

C1<C2\boxed{C1 < C2}

1.2.\bold{1.2.} Une mesure d’accélération

L’énoncé nous donne l’expression de la tension électrique de sortie USU\text{S} délivrée par l’accéléromètre capacitif en fonction de la valeur de la coordonnée axax du vecteur accélération :

US=U0+B×axU\text{S} = U0 + B\times a_x

Données :

  • U0=1,50 VU_0=1,50\ \text{V} ;
  • US=2,02 VU_\text{S}=2,02\ \text{V} ;
  • B=0,0306 Vm1s2B=0,0306\ \text{V}\cdot \text{m}^{-1}\cdot \text{s}^2.

On a donc :

ax=USU0B=2,021,500,0306=17,0 ms2\begin{aligned} ax &= \dfrac {U\text{S} - U_0}B \ &= \dfrac {2,02 - 1,50}{0,0306} \ &=\boxed{17,0\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}} \end{aligned}

Comparons cette accélération à celle de l’accélération moyenne d’une moto qui passe d’une vitesse nulle à une vitesse de 100 kmh1100\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1} en 3 s3\ \text{s}.
On sait que :

100 kmh1=1003,6 ms1=27,8 ms1100\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1}=\dfrac {100}{3,6}\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}=27,8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}

On a donc :

amoto=27,8030=9,26 ms2\begin{aligned} a_\text{moto}&=\dfrac {27,8-0}{3-0} \ &= \boxed{9,26\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}} \end{aligned}

On en conclut que l’accélération du drone est près de 22 fois plus importante que celle de la moto.

Méthode de détermination de l’écart entre les armatures par mesure de la capacité

2.1.\bold{2.1.}

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

  • La feuille 2 est reliée à la borne négative du générateur, donc les électrons quittent cette borne pour s’accumuler sur la feuille 2.
  • Elle est chargée négativement.
  • La feuille 1 est reliée à la borne positive du générateur.
  • Elle est chargée positivement.

2.2.\bold{2.2.} On sait que :

  • la tension aux bornes d’un condensateur s’exprime par Uc=qCU_c=\frac qC ;
  • l’expression du courant qui le traverse est : i=dqdti=\frac {\text{d}q}{\text{d}t}.
  • Ainsi :

i=dqdt=d(C×UC)dt=CdUCdt [car C est une constante]\begin{aligned} i&=\dfrac {\text{d}q}{\text{d}t} \ &=\dfrac {\text{d}(C\times UC)}{\text{d}t} \ &= C \dfrac {\text{d}UC}{\text{d}t} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car CC est une constante]}}} \end{aligned}

Pour une résistance, on applique la loi d’Ohm : UR=RiUR=Ri, avec i=CdUCdti=C\frac {\text{d}UC}{\text{d}t}.

  • On a donc :

UR=RCdUCdtUR=RC \dfrac {\text{d}UC}{\text{d}t}

La loi des mailles dans le circuit RC nous donne :

E=UC+URE=UC+RCdUCdt\begin{aligned} E&= UC + UR \ E&=UC + RC \dfrac {\text{d}UC}{\text{d}t} \end{aligned}

On divise chaque membre de cette équation différentielle par RCRC pour obtenir :

dUCdt+1RCUC=ERC\dfrac{\text{d}UC}{\text{d}t} + \dfrac 1{RC} UC= \dfrac E{RC}

2.3.\bold{2.3.} On sait que la solution particulière de cette équation différentielle, qui satisfait la condition initiale donnée, est : UC(t)=E(1etτ)UC(t) = E(1-\text{e}^{-\frac t\tau}), avec τ=RC\tau = RC.
Lorsque t>>τt > > \tau, alors etτ\text{e}^{-\frac t\tau} tend vers 00, donc UCU
C tend vers EE. La tension aux bornes du condensateur vaut EE à la fin de la charge.

  • Ainsi la tension aux bornes d’un condensateur prend la valeur de la tension du générateur du circuit en fin de charge.

2.4.\bold{2.4.} La figure 4 représente la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
On sait que, à l’instant t=τ=RCt=\tau=RC, la tension aux bornes du condensateur vaut :

UC=E(1eττ)=E(1e1)=0,63E\begin{aligned} U_C&= E(1-\text{e}^{-\frac \tau \tau}) \ &=E(1-\text{e}^{-1}) \ &=0,63E \end{aligned}

On en déduit donc la valeur du produit RCRC en utilisant la courbe et en se plaçant à UC=0,63EUC=0,63 E, connaissant RR.
Rappelons que, au fil du temps, UCU
C tend vers EE : nous voyons sur les graphes que les courbes admettent une asymptote horizontale d’équation Uc=5U_c=5, donc E=5 VE=5\ \text{V}.

De plus, comme le diélectrique est le polyéthylène, on sait que : C=εPESdC= \varepsilon_{PE} \frac {\text{S}}{\text{d}}.

  • Donc la connaissance de la valeur de la capacité $C$ nous permet de retrouver la distance d\text{d} entre les armatures du condensateur (nous savons aussi que S=252=625 cm2S=25^2=625\ \text{cm}^2) :

d=εPESC\boxed{d=\varepsilon_{PE} \frac {\text{S}}{C}}

Exercice B – Accélérateur linéaire « Linac2 » du CERN (5 points)

Accélération initiale des protons dans un premier condensateur plan

1.1.\bold{1.1.} On utilise les données :

  • distance entre les plaques : d=10,0 cm=10,0×102 md = 10,0\ \text{cm} =10,0\times 10^{-2}\ \text{m} ;
  • tension électrique appliquée : U=V1V2=2,00 MV=2,00×106 VU = V1 - V2 = 2,00\ \text{MV}= 2,00 \times 10^6\ \text{V}.
  • On a donc :

E=Ud=2,00×10610,0×102=2,00×107 Vm1=20 MVm1\begin{aligned} E&=\dfrac Ud \ &=\dfrac {2,00 \times 10^6}{10,0\times 10^{-2}} \ &=2,00\times 10^7\ \text{V}\cdot \text{m}^{-1} \ &=20\ \text{MV}\cdot \text{m}^{-1} \end{aligned}

Or, d’après l’échelle, 1 cm1\ \text{cm} représente 10 MVm110\ \text{MV}\cdot \text{m}^{-1} ; donc 20 MVm120\ \text{MV}\cdot \text{m}^{-1} sont représentés par 2 cm2\ \text{cm}.

  • On représente ainsi le champ électrique par un vecteur dirigé dans le sens de l’axe OxOx, dont la longueur mesure 2 cm2\ \text{cm}.

Alt physique-chimie corrigé sujet zéro 2021

1.2.\bold{1.2.} Soit P \overrightarrow {P\ } le poids d’un proton. Sa valeur est donnée par :

P=mpg=1,67×1027×9,81=1,64×1026 N\begin{aligned} P &= m_pg \ &= 1,67\times 10^{-27}\times 9,81 \ &= 1,64\times 10^{-26}\ \text{N} \end{aligned}

Soit Fe\overrightarrow{F_\text{e}} la force électrique qui s’exerce sur le proton. Sa valeur est donnée par :

Fe=eE=(1,6×1019)×(2,00×107)=3,2×1012 N\begin{aligned} F_\text{e} &= eE \ &= (1,6\times 10^{-19})\times (2,00\times 10^7) \ &=3,2\times 10^{-12}\ \text{N} \end{aligned}

Le rapport s’exprime donc par :

FeP=3,2×10121,64×1026=2,0×1014\begin{aligned} \dfrac {F_\text{e}}P&= \dfrac {3,2\times 10^{-12}}{1,64\times 10^{-26}} \ &=\boxed{2,0\times 10^{14}} \end{aligned}

  • Ainsi, Fep>>103\frac {F_\text{e}}p > > 10^3, donc on peut considérer que le poids est négligeable devant la force électrique.
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Rappel

Pour comparer deux grandeurs, il faut faire le rapport de la plus grande valeur sur la plus petite. Une grandeur est négligeable devant l’autre lorsque le rapport donne un ordre de grandeur supérieur à 10310^3.

1.3.\bold{1.3.} On étudie le système « proton » dans le référentiel du laboratoire, que l’on suppose galiléen.
On effectue le bilan des forces : le proton est soumis uniquement à la force électrique Fe\overrightarrow {F_e}, car on a vu dans la question précédente qu’on pouvait négliger le poids P \overrightarrow {P\ }.
On applique la deuxième loi de Newton :

ΣFext=mpaSoit : Fe=mpa\begin{aligned} \Sigma \overrightarrow{F\text{ext}}&=mp\cdot \vec a \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \overrightarrow {F\text{e}}&=mp\cdot \vec a \end{aligned}

On a donc :

eE =mpaSoit : a=empE \begin{aligned} e\cdot \overrightarrow{E\ } &= mp \cdot \vec a \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \vec a&=\dfrac{e}{mp}\cdot \overrightarrow{E\ } \end{aligned}

  • L’accélération du proton est donc constante, car ee, mpm_p et EE sont constants.

1.4.\bold{1.4.} On applique le théorème de l’énergie cinétique entre les points O\text{O} et S\text{S} :

Ec(S)Ec(O)=WOS(ΣFext)=WOS(Fe)=OS Fe=OS (eE )=eOS E \begin{aligned} E\text{c}(\text{S}) - E\text{c}(\text{O})&= W{\text{OS}}(\Sigma \overrightarrow {F\text{ext}}) \ &=W\text{OS} (\overrightarrow {F\text{e}}) \ &= \overrightarrow{\text{OS}\ }\cdot \overrightarrow{F_\text{e}} \ &=\overrightarrow{\text{OS}\ }\cdot (e\cdot \overrightarrow{E\ }) \ &=e\cdot \overrightarrow{\text{OS}\ }\cdot \overrightarrow{E\ } \end{aligned}

Or, OS \overrightarrow{\text{OS}\ } et E \overrightarrow{E\ } sont colinéaires et de même sens, on a donc :

Ec(S)Ec(O)=e×OS ×E =e×d×Ud=eU\begin{aligned} E\text{c}(\text{S}) - E\text{c}(\text{O})&= e\times \Vert \overrightarrow{\text{OS}\ }\Vert \times \Vert\overrightarrow{E\ }\Vert \ &= e\times d\times \dfrac U d \ &=eU \end{aligned}

  • On a bien : Ec(S)Ec(O)=eU\boxed{E\text{c}(\text{S}) - E\text{c}(\text{O})=eU}.

1.5.\bold{1.5.} On utilise la formule précédente : Ec(S)Ec(O)=eUE\text{c}(\text{S}) - E\text{c}(\text{O})=eU, avec :

  • E\text{c}(\text{S})=\frac 12mp v_{\tiny \text{S}}^2 ;
  • Ec(O)=12mpvO2=0E\text{c}(\text{O})= \frac 12 mp v_{\tiny \text{O}}^2=0, car, d’après l’énoncé, le proton entre dans le condensateur en OO avec une vitesse nulle.
  • On a donc :

12mvS2=eUSoit : vS2=2eUmpet : vS=2eUmp=2×1,6×1019×2,00×1061,67×1027=2,0×107 ms1\begin{aligned} \dfrac 12 m v{\tiny \text{S}}^2&= eU \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} v{\tiny \text{S}}^2&=\dfrac {2eU}{mp} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} v{\tiny \text{S}}&=\sqrt{\dfrac {2eU}{m_p}} \ &= \sqrt{\dfrac {2\times 1,6\times 10^{-19}\times 2,00 \times 10^6}{1,67\times 10^{-27}}} \ &=\boxed{2,0\times 10^7\ \text m\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}

La vitesse du proton au point S\text{S} est de 2,0×107 ms12,0\times 10^7\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}, qui est plus de dix fois inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide : c=3,0×108 ms1c=3,0\times 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}.

  • Le proton n’atteint pas des vitesses relativistes, l’étude est légitime.

Principe du « Linac2 » – accélérateur linéaire

2.1.\bold{2.1.} Au temps t=T4=404=10 nst=\frac T4=\frac{40}4=10\ \text{ns}, on voit sur la figure 4 que la tension vaut Ua=2 MVUa=2\ \text{MV}. Cette tension est positive, donc VA>VBV\text{A} > V_\text{B}.
Or, le champ électrique E \overrightarrow{E\ } est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.

  • E \overrightarrow{E\ } est dirigé de A\text{A} vers B\text{B} dans les deux intervalles :

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2.2.\bold{2.2.} Au temps t=3T4=3×404=30 nst=\frac {3T}4=\frac{3\times 40}4=30\ \text{ns}, on voit sur la figure 4 que la tension vaut Ua=2 MVUa=-2\ \text{MV}. Cette tension est négative, donc VA<VBV\text{A} < V_\text{B}.
Or, le champ électrique E \overrightarrow{E\ } est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.

  • E \overrightarrow{E\ } est dirigé de B\text{B} vers A\text{A} dans les deux intervalles :

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2.3.\bold{2.3.} Pour que le proton soit accéléré de manière optimale, il faut que le champ électrique soit dans le sens de l’axe OxOx.
En outre, l’énoncé nous dit qu’il suffit d’augmenter la valeur de EE, et donc de UU, pour augmenter l’énergie cinétique des protons. Or, d’après le graphique de Ua(t)U_a(t), on voit que, pour t=T4t=\frac T4 et t=3T4t=\frac{3T}4, la tension UU est maximale en valeur absolue.

Récapitulons.

  • D’après la question 2.1., si le proton arrive dans l’intervalle 1 à l’instant t=T4t=\frac T4, le proton est accéléré dans le sens de l’axe OxOx, et la tension est maximale en valeur absolue.
  • D’après la question 2.2, si le proton arrive dans l’intervalle au temps t=3T4t=\frac{3T}4, il est accéléré dans le sens OxOx, et la tension est maximale en valeur absolue.
  • Ainsi, pour une accélération optimale, le temps mis par le proton pour passer de l’intervalle 1 à l’intervalle 2 doit être de :

t=3T4T4=T2\boxed{t=\dfrac {3T}4 -\dfrac T4 =\dfrac T2}

En conclusion, pour être accélérés de manière optimale dans chaque intervalle, les protons doivent mettre une durée Δt=T2\Delta t=\frac T2 pour traverser chaque tube

2.3.\bold{2.3.} Le proton accélère à chaque passage dans un intervalle, donc plus le tube comporte d’intervalles, plus sa vitesse augmente.
Or, pour être accéléré de manière optimale, il doit mettre le même temps pour passer d’un intervalle à l’autre.

  • Les tubes du « Linac2 » doivent donc être de plus en plus longs.

Exercice C – Observer les cratères lunaires Messier (5 points)

Étude de la lunette astronomique

1.1.\bold{1.1.} Dans la fiche technique de la lunette astronomique, on peut lire que la distance focale de l’objectif est de 300 mm300\ \text{mm} et le diamètre de l’objectif est de 70 mm70\ \text{mm}. Ce sont les caractéristiques les plus importantes de la lunette.

  • C’est pour cette raison que la lunette est dite « 70/300 ».

1.2.\bold{1.2.} Un rayon qui passe par le centre optique d’une lentille n’est pas dévié. L’image intermédiaire A1B1\text{A}1\text{B}1 est sur le plan focal objet de l’oculaire et les rayons sortent de l’oculaire parallèles entre eux.

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Astuce

En optique géométrique, il faut toujours tracer les rayons qui passent par les centres optiques des lentilles car ils ne sont pas déviés.
Il faut aussi garder en tête qu’une image (ou un objet) à l’infini est représentée par des rayons parallèles.

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1.3.\bold{1.3.} Une lunette afocale correspond à l’association de deux lentilles convergentes dont le plan focal image de la première lentille (objectif) correspond au plan focal objet de la deuxième lentille (oculaire).
L’intérêt est qu’un objet à l’infini forme à travers une lunette afocale une image à l’infini.

  • Ainsi, l’œil observe l’image sans accommoder.

1.4.\bold{1.4.} Le grossissement de la lunette s’exprime par G=θθG=\frac {\theta^{\prime}}\theta.

Dans le triangle B1A1O2\text{B}1\text{A}1 \text{O}2 rectangle en A1\text{A}1, on a :

tan(θ)=A1B1A1O2\tan{(\theta^{\prime})}=\dfrac {\text{A}\text{1}B1}{\text{A}1 \text{O}2}

Or, avec l’approximation des petits angles : tan(θ)=θ\tan{(\theta^{\prime})}=\theta^{\prime}, on a donc :

θA1B1A1O2 \theta^{\prime}\approx \dfrac{\text{A}1 \text{B}1}{\text{A}1 \text{O}2}

De la même façon, dans le triangle B1A1O1\text{B}1\text{A}1 \text{O}1 rectangle en A1\text{A}1, on a, avec l’approximation des petits angles :

θtan(θ)A1B1A1O1\begin{aligned} \theta&\approx \tan{(\theta)} \ &\approx \dfrac{\text{A}1 \text{B}1}{\text{A}1 \text{O}1} \end{aligned}

On obtient ainsi :

G=θθ=A1B1A1O2A1B1A1O1=A1O1A1O2\begin{aligned} G&=\dfrac{\theta^{\prime}}{\theta} \ &=\dfrac{\frac{\text{A}1 \text{B}1}{\text{A}1 \text{O}2}}{\frac{\text{A}1 \text{B}1}{\text{A}1 \text{O}1}} \ &=\dfrac{\text{A}1 \text{O}1}{\text{A}1 \text{O}2} \end{aligned}

Or, A1O1=fobj\text{A}1 \text{O}1= f^{\prime}\text{obj} et A1O2=focu\text{A}1 \text{O}2= f^{\prime}\text{ocu}.

  • Ce qui donne :

G=fobjfocu\boxed{G=\dfrac{f^{\prime}\text{obj}}{f^{\prime}\text{ocu}}}

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Astuce

Pour les calculs de grossissement, il est très utile d’appliquer les relations de trigonométrie dans des triangles rectangles.

Remarquons que, pour une lentille convergente, la distance focale (image) est positive. Nous pouvons donc la ramener à une longueur.

Observation du cratère lunaire Messier

2.1.\bold{2.1.} On se sert du schéma fourni par l’énoncé, qu’on suppose correspondre à la situation :

  • l’objet à observer est le cratère, de largeur : AB=dAB=d ;
  • la distance entre l’objet à observer et l’œil de l’observateur est la distance Terre-Lune : DD.

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On peut appliquer dans ce triangle rectangle en A\text{A} la relation : tan(θ)=dD\tan{(\theta)}=\frac dD et, avec l’approximation des petits angles :

θ=dD=11,0×1033,84×108=2,86×105 rad\begin{aligned} \theta&=\dfrac dD \ &=\dfrac {11,0\times 10^3}{3,84\times 10^8} \ &=\boxed{2,86\times 10^{-5}\ \text{rad}} \end{aligned}

2.2.\bold{2.2.} D’après l’énoncé, l’angle minimal sous lequel deux points distincts peuvent être vus est de 3,0×104 rad3,0\times 10^{-4}\ \text{rad}. Or, θ<3,0×104 rad\theta < 3,0\times 10^{-4}\ \text{rad}.

  • L’observation de ce cratère n’est donc pas possible à l’œil nu.

2.3.\bold{2.3.} Dans le schéma de l’annexe de la question 1.2, on s’intéresse au triangle B1A1O1\text{B}1 \text{A}1 \text{O}_1 :

tan(θ)=A1B1fobjSoit : A1B1=tan(θ)×fobj=tan(2,86×105)×300×103=8,6×106 m\begin{aligned} \tan {(\theta)} &= \dfrac {\text{A}1 \text{B}1}{f^{\prime}\text{obj}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \text{A}1 \text{B}1&= \tan{(\theta)} \times f^{\prime}\text{obj} \ &= \tan{(2,86\times 10^{-5})}\times 300\times 10^{-3} \ &=8,6 \times 10^{-6}\ \text{m} \end{aligned}

2.4.\bold{2.4.}L’angle minimal sous lequel le cratère peut être vu doit être supérieur à : ε=3,0×104 rad\varepsilon=3,0 × 10 ^{-4}\ \text{rad}.
Nous cherchons donc l’angle θ>ε\theta^{\prime} > \varepsilon. Calculons la distance focale de l’oculaire qui permet de satisfaire cette condition. On sait que :

G=θθ=fobjfocuD’ouˋ : θ=fobjfocu×θ>ε\begin{aligned} G&=\dfrac {\theta^{\prime}}\theta = \dfrac{f^{\prime}\text{obj}}{f^{\prime}\text{ocu}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}\theta^{\prime}&=\frac{f^{\prime}\text{obj}}{f^{\prime}\text{ocu}}\times \theta > \varepsilon \end{aligned}

Nous résolvons donc l’inéquation, avec focuf^{\prime}_\text{ocu} l’inconnue :

fobjfocu×θ>εfocu<fobj×θε\frac{f^{\prime}\text{obj}}{f^{\prime}\text{ocu}}\times \theta > \varepsilon \Leftrightarrow f^{\prime}\text{ocu} < \dfrac{f^{\prime}\text{obj}\times \theta}{\varepsilon}

Nous obtenons ainsi :

\begin{aligned} f^{\prime}\text{ocu} &< \dfrac{3,00\times 10^{-1} \times 2,86\times 10^{-5}}{3,0 × 10 ^{-4}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit :\ }} f^{\prime}\text{ocu} &< 2,9\times 10^{-2}\ \text{m}=\boxed{28\ \text{mm}} \end{aligned}

  • On choisit donc l’oculaire de distance focale 10 mm10\ \text{mm} ou celui de distance focale 20 mm20\ \text{mm} parmi ceux fournis.