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Additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres rationnels

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Introduction :

Nous allons commencer par étudier dans ce cours la division d’un nombre en écriture fractionnaire, puis nous nous intéresserons successivement à l’addition et la soustraction de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, à leur multiplication et enfin à leur division.

Rappels

Quotient, division et écriture fractionnaire

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Définition

Quotient :

aa et bb sont deux nombres (avec b0b\neq 0).
Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa.
Ce quotient se note a÷ba\div b (division) ou ab\dfrac{a}{b} (écriture fractionnaire).

Dans a÷ba\div b, aa s’appelle le dividende et bb s’appelle le diviseur.

Dans ab\dfrac{a}{b}, aa s’appelle le numérateur et bb s’appelle le dénominateur.

Fraction

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Définition

Fraction :

Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers s’appelle une fraction.

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Attention

Il est important de distinguer dans ce cours l’écriture fractionnaire (c’est-à-dire lorsque le numérateur et/ou le dénominateur sont des nombres décimaux) de la fraction (c’est-à-dire lorsque le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers).

Les différents types de quotients

186=3\dfrac{18}{6}=3

  • Le quotient est un nombre entier.

12=0,5\dfrac12=0,5

  • Le quotient est un nombre décimal.

53\dfrac53

Addition et soustraction de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes

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À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

  • on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ;
  • on garde le dénominateur commun.

Si aa, bb et cc désignent des nombres relatifs avec c0 c\neq0, alors :

ac+bc=a+bc\dfrac{ a}{ c}+\dfrac{ b}{ c}=\dfrac{ a+ b}{ c}

et

acbc=abc\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{ a- b}{ c}

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Exemple

65+25=6+25=45\dfrac{-6}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{-6+2}{5}=\dfrac{-4}{5}

23+73=2+(7)3=53\dfrac23+\dfrac{-7}{3}=\dfrac{2+(-7)}{3}=\dfrac{-5}{3}

1,5138,513=1,58,513=713\dfrac{1,5}{13}-\dfrac{8,5}{13}=\dfrac{1,5-8,5}{13}=\dfrac{-7}{13}

79119=7(11)9=7+119=49\dfrac{-7}{9}-\dfrac{-11}{9}=\dfrac{-7-(-11)}{9}=\dfrac{-7+11}{9}=\dfrac49

Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre

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À retenir

Pour additionner (ou pour soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire lorsque le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre :

  • on écrit les deux nombres avec le même dénominateur ;
  • on applique la règle d’addition et de soustraction.

On dit que l’on réduit au même dénominateur les deux nombres en écriture fractionnaire.

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Exemple

514+37\dfrac{-5}{14}+\dfrac37

1414 est un multiple de 77 car 14=7×214=7\times2

Le dénominateur commun est donc 1414.

514+37=514+3×27×2=514+614=5+614=114\begin{aligned}\dfrac{-5}{14}+\dfrac37&=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{3\times2}{7\times2}\ &=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{6}{14}\ &=\dfrac{-5+6}{14}\ &=\dfrac{1}{14}\end{aligned}

5,4151,25\dfrac{5,4}{15}-\dfrac{1,2}{5}

1515 est un multiple de 55 car 15=5×315=5\times3

Le dénominateur commun est donc 1515.

5,4151,25=5,4151,2×35×3=5,4153,615=5,43,615=1,815\begin{aligned}\dfrac{5,4}{15}-\dfrac{1,2}{5}&=\dfrac{5,4}{15}-\dfrac{1,2\times 3}{5\times 3}\ &=\dfrac{5,4}{15}-\frac{3,6}{15}\ &=\dfrac{5,4-3,6}{15}\ &=\dfrac{1,8}{15}\end{aligned}

2+45-2+\dfrac45

Utilisons le fait que 2=21-2=\dfrac{-2}{1}

55 est multiple de 11 car 5=1×55=1\times5

Le dénominateur commun est 55.

2+45=21+45=2×51×5+45=105+45=10+45=65\begin{aligned}-2+\dfrac{4}{5}&=\dfrac{-2}{1}+\dfrac{4}{5}\ &=\dfrac{-2\times 5}{1\times 5}+\dfrac{4}{5}\ &=\dfrac{-10}{5}+\frac{4}{5}\ &=\dfrac{-10+4}{5}\ &=\dfrac{-6}{5}\end{aligned}

Recherche d’un multiple commun à deux dénominateurs différents

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Exemple

71229\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres 1212 et 99.

On remarque que 12×3=3612\times3=36 et 9×4=369\times 4=36

71229=7×312×32×49×4=2136836=21(8)36=21+836=2936\begin{aligned}\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\ &=\dfrac{21+8}{36}\ &=\dfrac{29}{36}\end{aligned}

9537\dfrac95-\dfrac37

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres 55 et 77 est 3535 puisque 5×7=355\times 7=35

9537=9×75×73×57×5=63351535=631535=4835\begin{aligned}\dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\ &=\dfrac{63-15}{35}\ &=\dfrac{48}{35}\end{aligned}

Multiplication de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire

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À retenir

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :

  • on multiplie les numérateurs entre eux ;
  • on multiplie les dénominateurs entre eux.

Autrement dit, si aa, bb, cc et dd désignent des nombres relatifs avec b0 b\neq0 et d0 d\neq0, alors :

ab×c d=a×cb×d\dfrac{ a}{ b}\times\dfrac{ c}{\ d}=\dfrac{ a\times c}{ b\times d}

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Exemple

53×27\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}

On mulitiple les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

53×27=5×(2)3×7=1021\begin{aligned}\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-2}{7}&=\dfrac{\blue{5\times (-2)}}{\red{3\times 7}}\ &=\dfrac{\blue{-10}}{\red{21}}\end{aligned}

1556×710\dfrac{15}{-56}\times \dfrac{-7}{10}

On remarque qu’il est utile de simplifier les calculs avant des les effectuer en décomposant certains facteurs.

On décompose  :

1556×710=15×(7)(56)×10=(5×3)×7(7×8)×(5×2)=5×3×77×8×5×2\begin{aligned}\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}&=\dfrac{15\times(-7)}{(-56)\times10}\ &=\dfrac{-(5\times3)\times7}{-(7\times8)\times(5\times2)}\ &=\dfrac{\orange{5}\times3\times\green{7}}{\green{7}\times8\times\orange{5}\times2}\end{aligned}

Simplifions maintenant les calculs par 5\orange5 et 7\green7 : 1556×710=38×2=316\dfrac{15}{-56}\times\dfrac{-7}{10}=\dfrac{3}{8\times2}=\dfrac{3}{16}

  • Cas particulier

3×411-3\times\dfrac{-4}{11}

On sait que 3=31-3=\dfrac{-3}{1}

Donc :

3×411=3×(4)1×11=1211\begin{aligned}-3\times\dfrac{-4}{11}&=\dfrac{-3\times(-4)}{1\times 11}\ &=\dfrac{12}{11}\end{aligned}

Division d’un nombre relatif en écriture fractionnaire par un nombre relatif en écriture fractionnaire (non nul)

Inverse d’un nombre (non nul)

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Définition

Nombres inverses :

Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 11.

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Astuce

  • 00 n’a pas d’inverse.
  • Deux nombres inverses ont le même signe.
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Exemple

2×0,5=12\times0,5=1

  • 22 et 0,50,5 sont donc des nombres inverses.

100×0,01=1100\times0,01=1

  • 100100 et 0,010,01 sont donc des nombres inverses.

5×15=1-5\times\dfrac{1}{-5}=1

  • 5-5 et 15\dfrac{1}{-5} sont donc des nombres inverses.
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Attention

Il ne faut pas confondre nombres opposés et nombres inverses.

Propriétés

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Propriété

Nombre inverse d’un relatif non nul

  • L’inverse du nombre relatif non nul aa est 1a\dfrac{1}{\text a}
  • aa et bb étant deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de ab\dfrac{ a}{ b} est ba\dfrac{ b}{ a}

Division

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À retenir

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. Soient aa, bb, cc et dd étant des nombres relatifs avec b  0b \neq 0, c  0c \neq 0, d  0d \neq 0.

ab=a÷b=a×1b\dfrac{a}{ b}= a \div b= a \times\dfrac{1}{b}

abcd=ab÷cd=ab×dc\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{ a}{ b}\div \dfrac{c}{ d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}

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Exemple

7÷(6)=7×16=76=76-7\div(-6)=-7\times\dfrac{1}{-6}=\dfrac{-7}{-6}=\dfrac76

5÷(34)=51×43=5×41×3=203=2035 \div\left(\dfrac{-3}{4}\right)=\dfrac{5}{1}\times\dfrac{4}{-3}=\dfrac{5\times4}{1\times -3}=\dfrac{20}{-3}=-\dfrac{20}{3}

47÷(8)=47×18=4×17×(4×2)=4×17×4×2=17×2=114\dfrac47\div (-8)=\dfrac47\times\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{4\times1}{7\times(4\times2)}=-\dfrac{\green{4}\times1}{7\times \green{4}\times 2}=-\dfrac{1}{7\times 2}=-\dfrac{1}{14}

72÷59=72×95=7×92×5=6310=6310\dfrac{-7}{2}÷\dfrac59=\dfrac{-7}{2}\times\dfrac95=\dfrac{-7\times9}{2\times5}=\dfrac{-63}{10}=-\dfrac{63}{10}

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Astuce

Les règles de calcul (priorités et parenthèses) s’appliquent également pour les nombres relatifs en écriture fractionnaire.