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Programme Collège 5eCours MathématiquesCours : Aire d'un disque, volumes de solides et conversionsCours Aire d'un disque, volumes de solides et conversions
Introduction :
L’objectif de ce cours est de connaître les formules de volumes et de savoir effectuer des conversions de volumes et contenances.
Dans un premier temps, nous allons voir la définition du volume d’un solide et nous donnerons les formules du volume d’un cube, d’un pavé droit et d’un prisme droit. Dans un deuxième temps, nous allons voir la formule du volume d’un cylindre, après avoir vu une formule dont on a besoin, celle de l’aire d’un disque. Enfin, dans un troisième temps, nous effectuerons des conversions entre les unités de volumes et de contenances, avec une application concrète à un calcul de volume à convertir en contenance.
Volume d’un cube, d’un pavé droit et d’un prisme droit
Définition du volume d’un solide
Définition
Volume d’un solide :
Le volume d’un solide est l’espace qu’occupe l’intérieur de ce solide.
En prenant comme unité un « cube unité », le volume du solide est le nombre de fois que l’on trouve ce « cube unité » à l’intérieur du solide.
À retenir
Le volume peut être exprimé en nombre de « cube unité » ou plus généralement à partir des unités de longueur habituelles (${\mathrm{cm}}^3$, ${\mathrm{m}}^3$) ou encore, s’il s’agit d’une contenance, à partir des litres ($\text L$).
Exemple
Le cube unité est présent $4\times 5 = 20$ fois sur une épaisseur et le solide a $2$ épaisseurs.
Le volume de ce parallélépipède rectangle est donc de $20\times 2 = 40$ cubes unités.
Volume d’un pavé droit et d’un cube
Le volume du pavé droit représenté ci-dessous en perspective cavalière est le produit de ses dimensions exprimées dans la même unité : $$V = a\times b \times c$$
À retenir
Quand toutes les faces du pavé droit sont des carrés, le pavé droit est un cube. Les longueurs $a$, $b$ et $c$ sont égales, donc le volume de ce cube de côté $a$ est : $$V = a\times a\times a = a^3$$
Exemple
- Le volume d’un pavé droit de dimensions $2\text{ cm}$, $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$ est :
$$V = 2\times 3 \times 4 = 24~{\mathrm{cm}}^3$$
- Le volume d’un cube de côté $2\text{ m}$ est :
$$V = 2\times 2 \times 2 = 8~{\mathrm{m}}^3$$
Attention
L’unité de volume obtenue est l’unité de longueur commune à toutes les dimensions et exprimée « au cube » : des centimètres ($\text{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^3$, des mètres ($\text m$) des ${\mathrm{m}}^3$, etc.
Volume d’un prisme droit
Définition
Prisme droit :
Un prisme droit est un solide dont :
- deux des faces, appelées bases, sont des polygones superposables et parallèles ;
- les autres faces, dites latérales, sont des rectangles.
Propriété
Le volume $\mathcal V_\text{prisme}$ d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :
$$\mathcal V_\text{prisme}= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$
Ainsi, si nous connaissons (ou pouvons déterminer) sa hauteur, il suffit que nous sachions calculer l’aire de sa base.
- Nous savons le faire pour plusieurs polygones.
Propriété
On considère des prismes droits tous de hauteur $\red{h_\text{prisme}}$.
- Prisme droit à base triangulaire
La base du prisme droit est un triangle de base $\textcolor{#FF00FF}{b_\text{tri}}$ et de hauteur $\textcolor{#0000FF}{h_\text{tri}}$ :
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{b_\text{tri}}\times \textcolor{#0000FF}{h_\text{tri}}}2 \times \red{h_\text{prisme}}$$
- Prisme droit dont la base est un parallélogramme
La base du prisme droit est un parallélogramme de base $\textcolor{#FF00FF}{b_\text{par}}$ et de hauteur $\textcolor{#0000FF}{h_\text{par}}$ :
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\textcolor{#FF00FF}{b_\text{par}}\times \textcolor{#0000FF}{h_\text{par}} \times \red{h_\text{prisme}}$$
- Prisme à base rectangulaire
La base du prisme droit est un rectangle de largeur $\textcolor{#FF00FF}{l}$ et de longueur $\textcolor{#0000FF}{L}$ :
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\textcolor{#FF00FF}{l}\times \textcolor{#0000FF}{L} \times \red{h_\text{prisme}}$$
Le prisme à base rectangulaire est tout simplement un parallélépipède rectangle (ou pavé droit).
- Nous retrouvons bien la formule que nous avons apprise en 6e.
Attention
Pour les prismes droits dont la base est un triangle ou un parallélogramme, il faudra veiller à ne pas confondre la hauteur du solide et la hauteur du triangle ou du parallélogramme qui constitue la base.
Exemple
On considère un prisme droit de hauteur $h_\text{prisme}=13\ \text{cm}$ et dont la base est un triangle :
- de base $b_\text{tri}=4\ \text{cm}$ ;
- de hauteur $h_\text{tri}=5\ \text{cm}$.
On le représente en perspective cavalière, avec les bases du prisme comme faces « avant » et « arrière », représentées en vraie grandeur :
- Le volume de ce prisme droit vaut :
$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{prisme}&=\dfrac{b_\text{tri}\times h_\text{tri}}2\times h_\text{prisme} \\ &=\dfrac{4\times 5}2\times 13 \\ &=10\times 13 \\ &=130\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$
Aire d’un disque et volume d’un cylindre de révolution
Aire d’un disque
Définition
Aire :
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Une fois une unité d’aire donnée, l’aire de cette figure est le nombre de fois que l’on trouve cette unité d’aire à l’intérieur de la figure.
L’aire peut être exprimée en nombre de carreaux (carré, rectangle ou triangle) ou plus généralement à partir des unités d’aire habituelles (${\mathrm{cm}}^2$, ${\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{km}}^2$, …).
À retenir
L’aire d’un disque de rayon $r$ est :
$A = \pi r^2$ (avec $\pi \approx 3,14$)
Exemple
Dans les exemples suivants, on arrondira $\pi$ à $3,14$.
- Une pizzeria fabrique deux pizzas rondes de rayons $13~{\mathrm{cm}}$ et $17~{\mathrm{cm}}$. L’aire de chacune de ces deux pizzas est :
$$A_1 = \pi \times 13^2 = 169\pi \approx 530,66~{\mathrm{cm}}^2$$
$$A_2 = \pi \times 17^2 = 289\pi \approx 907,46 ~{\mathrm{cm}}^2$$
- Une piscine ronde de rayon $2,5~{\mathrm{m}}$ a pour aire (au sol) :
$$A = \pi \times 2,5^2 = 6,25\pi \approx 19,625 ~{\mathrm{m}}^2$$
Volume d’un cylindre de révolution
Définition
Cylindre de révolution :
Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.
- « Révolution » signifie ici rotation autour d’un axe.
Propriété
Le volume $\mathcal V_\text{cyl}$ d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :
$$\mathcal V_\text{cyl}= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$
La base d’un cylindre de révolution est un disque, dont nous avons appris à calculer l’aire dans la partie a.
Propriété
On considère un cylindre de révolution de hauteur $h$ et dont les bases ont pour rayon $r$.
Le volume du cylindre vaut alors : $$\mathcal V_\text{cyl}=\pi\times r^2\times h$$
Exemple
Calculons le volume du cylindre de révolution ci-dessous :
Il est de hauteur $h=5\ \text{cm}$ et ses bases ont pour rayon $2\ \text{cm}$.
- En prenant $\pi \approx 3,14$, son volume vaut donc :
$$\begin{aligned}\mathcal V_\text{cyl}&=\pi \times r^2\times h \\ &=\pi\times 2^2\times 5 \\ &=20\pi \\ &\approx62,8\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$
Conversions de volumes et de contenances
Unités de volume et de contenance
Les unités de volume les plus courantes sont le kilomètre cube (${\mathrm{km}}^3$), le mètre cube (${\mathrm{m}}^3$) et le centimètre cube (${\mathrm{cm}}^3$).
La principale unité de contenance est le litre ($\text L$).
Elle est liée aux autres unités de volume par la relation $1\text{ L} = 1~{\mathrm{dm}}^3$.
À retenir
$1~{\mathrm{m}}^3$ correspond au volume d’un cube de $1\text{ m}$ de côté.
Pour convertir un volume d’une unité de volume à la suivante, il faut multiplier ou diviser la valeur numérique par $1\ 000$.
Conversion de volumes et de contenances
Pour convertir des volumes ou contenances d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion. Convertissons les volumes $1~500~{\mathrm{m}}^3$ et $49,9~{\mathrm{cm}}^3$, et la contenance $2,8\text{ L}$ dans d’autres unités, en commençant par placer ces volumes ou contenances dans un tableau.
On peut rajouter des zéros puis placer la virgule dans la colonne de l’unité dans laquelle on souhaite effectuer la conversion.
On obtient par exemple :
- $1~500~{\mathrm{m}}^3 = 1~500~000~{\mathrm{dm}}^3 = 1,5~{\mathrm{dam}}^3$ ;
- $49,9~{\mathrm{cm}}^3 = 0,0499~{\mathrm{dm}}^3$ ;
- $49,9~{\mathrm{cm}}^3 = 0,0499\text{ L} = 4,99\text{ cL}$ car 1 ${\mathrm{dm}}^3 = 1\text{ L}$ ;
- $2,8\text{ L} = 28\text{ dL} = 0,028\text{ hL}= 2\ 800\text{ mL}$ ;
- $2,8\text{ L} = 2,8~{\mathrm{dm}}^3= 0,0028~{\mathrm{m}}^3$ car $1\text{ L} = 1 {\mathrm{dm}}^3$.
Exemple de calcul de volume avec une conversion
Exemple
Une cuve de récupération d’eau de pluie a la forme d’un pavé droit dont les dimensions sont indiquées ci-dessous. Calculons le volume de cette cuve en litres.
Le volume de cette cuve est celui d’un pavé droit de dimensions $50\text{ cm}$, $60\text{ cm}$ et $1\text{ m} = 100\text{ cm}$ :
$$V = 50\times 60 \times 100 = 300\,000~{\mathrm{cm}}^3 = 300~{\mathrm{dm}}^3 = 300~\text{L}$$
car $1~000~{\mathrm{cm}}^3 = 1~{\mathrm{dm}}^3$ et $1~{\mathrm{dm}}^3 = 1\text{ L}$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons établi un formulaire de calculs de volume de solides : celui d’un pavé droit et d’un cube, celui d’un prisme droit et celui d’un cylindre de révolution, après avoir appris à calculer l’aire d’un disque, puisque les bases du cylindre sont des disques. Enfin, nous avons appris à convertir des volumes et des contenances, et avons donné un exemple de calcul de volume concret avec une conversion.
