Fiche de révision Aire d'un disque, volumes de solides et conversions

Volume d'un cube, d'un pavé droit et d'un prisme droit

Définition du volume d'un solide

• Le volume d'un solide est l'espace qu'occupe l'intérieur de ce solide.
• En prenant un « cube unité », le volume est le nombre de fois qu'on le retrouve dans le solide.
• Le volume s'exprime en unités de longueur au cube (cm$^3$, m$^3$…) ou en litres (L) pour une contenance.

Volume d'un pavé droit et d'un cube

• Volume d'un pavé droit de dimensions $a$, $b$, $c$ : $V=a\times b\times c$.
• Volume d'un cube de côté $a$ : $V=a\times a\times a=a^3$.
• Attention : l'unité de volume est l'unité de longueur commune « au cube » : cm → cm$^3$, m → m$^3$.

Volume d'un prisme droit

• Un prisme droit a 2 bases (polygones superposables et parallèles) et des faces latérales rectangulaires.
• Formule générale : $\mathcal V_\text{prisme}=\text{aire(base)}\times\text{hauteur}$.
• Base triangulaire : $\mathcal V_\text{prisme}=\dfrac{b_\text{tri}\times h_\text{tri}}{2}\times h_\text{prisme}$.
• Base parallélogramme : $\mathcal V_\text{prisme}=b_\text{par}\times h_\text{par}\times h_\text{prisme}$.
• Base rectangulaire : $\mathcal V_\text{prisme}=l\times L\times h_\text{prisme}$ (= pavé droit).
• Attention : ne pas confondre la hauteur du solide et la hauteur de la base (triangle ou parallélogramme).

Aire d'un disque et volume d'un cylindre de révolution

Aire d'un disque

• L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, exprimée en unités d'aire (cm$^2$, m$^2$…).
• Aire d'un disque de rayon $r$ : $A=\pi r^2$ (avec $\pi\approx3,14$).

Volume d'un cylindre de révolution

• Un cylindre de révolution est obtenu par rotation d'un rectangle autour de l'un de ses côtés.
• Formule générale : $\mathcal V_\text{cyl}=\text{aire(base)}\times\text{hauteur}$.
• La base est un disque, donc : $\mathcal V_\text{cyl}=\pi\times r^2\times h$.

Conversions de volumes et de contenances

Unités de volume et de contenance

• Unités de volume courantes : km$^3$, m$^3$, cm$^3$, etc.
• Unité de contenance principale : le litre (L), avec la relation $1\text{ L}=1\text{ dm}^3$.
• Pour passer d'une unité de volume à la suivante : multiplier ou diviser par 1000.

Conversion de volumes et de contenances

• Utiliser un tableau de conversion : rajouter des zéros si besoin, puis placer la virgule dans la colonne de l'unité voulue.
• Exemples :
• $1\,500\text{ m}^3=1,5\text{ dam}^3$ ;
• $49,9\text{ cm}^3=0,0499\text{ dm}^3=4,99\text{ cL}$ ;
• $2,8\text{ L}=2,8\text{ dm}^3=0,0028\text{ m}^3$.

Exemple de calcul de volume avec une conversion

• Méthode : calculer le volume dans une unité (souvent cm$^3$), puis convertir en dm$^3$ ou L si nécessaire.
• Exemple : pavé droit de $50\times60\times100\text{ cm}$ : $V=300\,000\text{ cm}^3=300\text{ dm}^3=300\text{ L}$ (car $1\,000\text{ cm}^3=1\text{ dm}^3=1\text{ L}$).