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Calcul matriciel

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Les matrices

  • Une matrice de taille ou dimension (m,n)(m,\, n), notée aussi m×nm\times n (mm et nn deux entiers naturels non nuls), est un tableau rectangulaire de nombres réels comportant mm lignes et nn colonnes.
  • Ces nombres sont appelés les coefficients, ou les termes, de la matrice.
  • Le coefficient de la ligne ii et de la colonne jj d’une matrice AA est noté ai,ja{i,j} ou (A)i,j(A){i,j}.

(a1,1a1,2a1,na2,1a2,2a2,nam,1am,2am,n)\begin{pmatrix} a{1,1} & a{1,2} & … & a{1,n} \ a{2,1} & a{2,2} & … & a{2,n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m,1} & a{m,2} & … & a_{m,n}\end{pmatrix}

  • Les matrices lignes n’ont qu’une seule ligne. Leur taille est de la forme 1×n1\times n.
  • Les matrices colonnes n’ont qu’une seule colonne. Leur taille est de la forme m×1m\times 1.
  • Les matrices carrées ont le même nombre de lignes et de colonnes. Leur taille est de la forme n×nn\times n.
  • Les matrices nulles ont tous leurs coefficients nuls.
  • Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même taille m×nm\times n et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.
  • Si la matrice A=(ai,j)A=(a{i, j}) et la matrice B=(bi,j)B=(b{i, j}) sont égales, alors pour tout 1im1\leq i \leq m et tout 1jn1\leq j \leq n, on a ai,j=bi,ja{i, j}=b{i, j}.
  • La matrice transposée d’une matrice A=(ai,j)1im1jnA=(a{i,j}){1\leq i\leq m \atop1\leq j\leq n} de taille m×nm\times n (mm et nn deux entiers naturels non nuls) est la matrice de taille n×mn\times m, notée ATA^\text {T}, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A\text A :

AT=(aj,i)1jn1imA^\text{T}=(a{j,i}){1\leq j\leq n \atop1\leq i\leq m}

  • On appelle somme de deux matrices de même taille la matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients de même emplacement dans les deux matrices.
  • Si A=(ai,j)A=(a{i, j}) et B=(bi,j)B=(b{i, j}), alors A+B=(ai,j+bi,j)A+B=(a{i, j}+b{i, j}).

AA, BB et CC des matrices de même taille
A+B=B+AA+B = B+A
A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+CA+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C
A+O=O+A=AA+O = O+A = A

avec O la matrice nulle de meˆme taille\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{avec $O$ la matrice nulle de même taille}}}</span

  • On appelle produit d’une matrice par un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.
  • Si A=(ai,j)A=(a{i,j}), alors kA=(kai,j)kA=(k a{i,j}).

AA et BB deux matrices de taille m×nm\times n

α\alpha et β\beta deux nombres réels

0×A=O0\times A=O

avec O la matrice nulle de taille (m×n)\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{avec $O$ la matrice nulle de taille $(m\times n)$}}}</span

1×A=A1\times A=A
(α+β)A=αA+βA(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A
α(A+B)=αA+αB\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B
  • Soit AA et BB deux matrices de même taille. On appelle matrice opposée de la matrice AA la matrice (1)×A(-1)\times \text A, notée A-A.
  • On définit ainsi la matrice BAB-A, qui est égale à la matrice B+(A)B+(-A).
  • A-A est obtenue en remplaçant, pour chaque emplacement, le coefficient de AA par son opposé. Si A=(ai,j)A=(a{i,j}), alors A=(ai,j)-A=(-a{i, j}).
  • Soit une matrice ligne A=(a1a2an)A=\begin{pmatrix} a1 & a2 & … & an\end{pmatrix} (nn entier naturel non nul).
    Soit une matrice colonne B=(b1b2bn)B=\begin{pmatrix} b
    1 \ b2 \ \vdots \ bn \end{pmatrix}.
  • Le produit de la matrice AA par la matrice BB est égal au nombre :

A×B=a1b1+a2b2++anbnA\times B=a1b1+a2b2+…+anbn

  • Soit une matrice AA de taille m×n\red m\times \blue n (mm et nn entiers naturels non nuls) : A=(ai,j)1im1jnA=(a{i,j}){1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}.
    Soit une matrice BB de taille n×p\blue n\times \green p (pp entier naturel non nul) : B=(bi,j)1in1jpB=(b{i,j}){1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq p}
  • La matrice CC, produit de AA par BB, sera de taille m×p\red m\times \green p :

C=(ci,j)1im1jpC=(c{i,j}){1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq p}

  • Pour tout ii compris entre 11 et mm et pour tout jj compris entre 11 et pp, le coefficient ci,jc_{i,j} est égal au produit de la matrice ligne correspondant à la ligne ii de AA par la matrice colonne correspondant à la colonne jj de BB :

ci,j=k=1nai,kbk,jc{i,j}=\sum{k=1}^{n} a{i,k}b{k,j}

  • Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice.
  • Il n’est pas commutatif : même si les deux produits sont possibles, nous avons en général : A×BB×AA\times B \neq B\times A.

AA, BB et CC des matrices

dont les tailles autorisent les calculs indiqués

A×(B×C)=(A×B)×C=A×B×CA\times(B\times C) = (A\times B)\times C=A\times B\times C
A×(B+C)=A×B+A×CA\times(B + C) = A\times B + A\times C
(A+B)×C=A×C+B×C(A+B)\times C = A\times C + B\times C
(kA)×B=A×(kB)=k(A×B)(kA)\times B=\text A\times (kB)=k(A\times B)

Les matrices carrées

  • On appelle matrice carrée d’ordre nn (nNn\in \mathbb N^*) toute matrice de taille n×nn\times n.
  • On appelle matrice unité d’ordre nn la matrice InI_n, carrée d’ordre nn, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 11.
  • Pour toute matrice A\text A carrée d’ordre nn : In×A=A×In=AIn\times A = A\times In = A.
  • Pout toute matrice colonne CC de taille n×1n\times 1 : In×C=CI_n \times C = C.
  • Pour toute matrice ligne LL de taille 1×n1\times n : L×In=LL \times I_n = L.
  • pp est un entier naturel non nul et AA est une matrice carrée d’ordre nn.
  • La p-ieˋmep\text{-ième} puissance de la matrice A\text A, notée Ap\text A^p, est la matrice définie par :

Ap=A×A××Ap foisA^p=\underbrace{A\times A\times … \times A}_{p\text{ fois}}

  • A0=InA^0=I_n.
  • Pour une matrice diagonale DD de taille nn (une matrice carrée dont les seuls coefficients non nuls sont situés sur la diagonale principale), DpD^p sera une matrice diagonale et, pour tout 1in1\leq i\leq n : (Dp)i,i=((D)i,i)p(D^p){i,i}=\big( (D){i,i}\big)^p.
  • AA est une matrice carrée d’ordre nn.
    S’il existe une matrice BB, carrée d’ordre nn, telle que A×B=B×A=InA\times B=B\times A=I_n, alors :
  • la matrice AA est une matrice inversible ;
  • la matrice BB est la matrice inverse de AA.
  • Cette matrice inverse de AA est unique et est notée A1A^{-1}.
  • A=(abcd)A =\begin{pmatrix} a & b\c & d \end{pmatrix} est une matrice carrée d’ordre 22.
  • AA est inversible si et seulement si adbc0ad-bc\neq 0 et :

A1=1adbc×(dbca)A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a\end{pmatrix}

Écriture matricielle de systèmes linéaires

  • Un système de deux équations linéaires à deux inconnues xx et yy est de la forme, avec aa, bb, cc, dd, ee et ff des réels :

{ax+by=ecx+dy=f \begin{cases} ax+by=e \ cx+dy=f \end{cases}

  • Le système peut s’écrire sous la forme matricielle A×X=BA\times X = B, avec :

A=(abcd)X=(xy)B=(ef)\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \ X&=\begin{pmatrix}x \ y \end{pmatrix} \ B&=\begin{pmatrix}e\f\end{pmatrix} \end{aligned}

  • Si AA est une matrice carrée inversible, de taille nn, et BB une matrice colonne de nn lignes, alors le système linéaire écrit sous la forme A×X=BA\times X=B admet une unique solution définie par la matrice : A1×BA^{-1} \times B.
  • Cette solution sera une matrice colonne de nn lignes, qui nous donnera le n-upletn\text{-uplet} solution.
  • Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors :
  • soit l’ensemble solution est vide,
  • soit il contient une infinité de solutions.