Exercices Calcul matriciel : suites et convergence

On considère la suite de nombres réels $(u_n)$ définie par :
$\begin{cases} u_{n+1}= \dfrac 1 4 u_n-3 & \ avec \ n \in \mathbb N^\star \\ u_0=2 \end {cases}$

Quelle est la nature de cette suite $(u_n)?$

Résoudre l’équation du point fixe de la suite $(u_n).$

On considère la suite $(U_n)$ de matrices colonnes de format $(2 ; 1)$, définie par :
$U_0=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end {pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n \ge 1, \ U_{n+1}=A U_n+B$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & -6\\ 0 & 4 \end {pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 9\\ 6 \end {pmatrix}$.

On veut déterminer une formule explicite de $U_n$ en fonction de $n$.

Résoudre l’équation matricielle $C=A C+B$

Un livreur fait des tournées entre Albi, Cahors et Brive-la-Gaillarde. À chaque fois qu’il arrive dans une ville, son employeur le prévient de sa prochaine destination.
Le livreur a constaté :

• qu’à chaque fois qu’il est à Albi, il doit ensuite rouler jusqu’à Cahors,
• qu’arrivé à Cahors, il a la même probabilité de devoir aller à Albi qu’à Brive-la-Gaillarde
• et que lorsqu’il livre à Brive-la-Gaillarde, son patron l’envoie une fois sur trois à Albi, et deux fois sur trois à Castres.

Il ne fait jamais deux livraisons consécutives dans la même ville.

Représenter l’évolution de cette marche aléatoire par un graphe probabiliste, et déterminer sa matrice de transition $T$.