Exercices Calcul matriciel : suites et convergence
Entrainement
On considère la suite de nombres réels $(u_n)$ définie par :
$\begin{cases}
u_{n+1}= \dfrac 1 4 u_n-3 & \ avec \ n \in \mathbb N^\star \\
u_0=2
\end {cases}$
Quelle est la nature de cette suite $(u_n)?$
Résoudre l’équation du point fixe de la suite $(u_n).$
On considère la suite $(U_n)$ de matrices colonnes de format $(2 ; 1)$, définie par :
$U_0=\begin{pmatrix}
3 \\
-1
\end {pmatrix}$
et pour tout entier naturel $n \ge 1, \ U_{n+1}=A U_n+B$ avec $A=\begin{pmatrix}
2 & -6\\
0 & 4
\end {pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
9\\
6
\end {pmatrix}$.
On veut déterminer une formule explicite de $U_n$ en fonction de $n$.
Résoudre l’équation matricielle $C=A C+B$
Évaluation
- qu’à chaque fois qu’il est à Albi, il doit ensuite rouler jusqu’à Cahors,
- qu’arrivé à Cahors, il a la même probabilité de devoir aller à Albi qu’à Brive-la-Gaillarde
- et que lorsqu’il livre à Brive-la-Gaillarde, son patron l’envoie une fois sur trois à Albi, et deux fois sur trois à Castres.
Un livreur fait des tournées entre Albi, Cahors et Brive-la-Gaillarde. À chaque fois qu’il arrive dans une ville, son employeur le prévient de sa prochaine destination.
Le livreur a constaté :
Il ne fait jamais deux livraisons consécutives dans la même ville.
Représenter l’évolution de cette marche aléatoire par un graphe probabiliste, et déterminer sa matrice de transition $T$.