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Calcul matriciel

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Introduction :

Une matrice est un tableau de nombres qui permet de traiter globalement un ensemble de calculs identiques. Le calcul matriciel s’inspire de la géométrie vectorielle et analytique. Cette notion est importante d’autant plus que l’on retrouve les matrices dans des situations très variées autres qu’en géométrie. Les probabilités, les statistiques, la théorie des graphes, la mécanique ou encore l’économie utilisent cette notion. Tout ça pour dire qu’il y a de fortes chances que tu retrouves les matrices dans les études supérieures !

Nous verrons dans un premier temps comment s’écrit une matrice, le vocabulaire associé ainsi que les calculs de base sur les matrices. Nous verrons ensuite le cas particulier des matrices carrées pour finir avec la traduction de systèmes linéaires à l’aide de matrices.

Les matrices

Vocabulaire

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Définition

Matrice :

Une matrice de format ou dimension (n ;p)(n\ ; p) est un tableau rectangulaire de nombres comportant nn lignes et pp colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients ou les termes de la matrice.

Le coefficient de la ligne ii et de la colonne jj est noté aija_{ij}.

Le premier indice est toujours le numéro de la ligne et le deuxième celui de la colonne.

Par exemple, la matrice A=(150231)\text A=\begin{pmatrix} 1 &-5 &0\ 2& 3& -1 \end{pmatrix} est une matrice de format (2 ;3)(2\ ; 3) avec a13=0a{13}=0 et a22=3a{22}=3

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À retenir

Matrices particulières :

  • Les matrices lignes n’ont qu’une seule ligne

(57)\begin{pmatrix} 5& -7\end{pmatrix} est une matrice de format (1 ;2)(1\ ; 2)

  • Les matrices colonnes n’ont qu’une seule colonne

(6042)\begin{pmatrix}6\0\4\ -2\end{pmatrix} est une matrice de format (4 ;1)(4\ ; 1)

  • Les matrices carrées ont le même nombre de ligne et de colonne

(470689574)\begin{pmatrix} 4&-7&0\ -6&8&9\ 5&7&4 \end{pmatrix} est une matrice de format (3 ;3)(3\ ;3)

  • Les matrices nulles ont tous leurs coefficients nuls

(000000)\begin{pmatrix} 0&0\ 0&0\ 0&0 \end{pmatrix} est une matrice de format (3 ;2)(3\ ;2)

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Définition

Égalité de matrice :

Deux matrices sont considérées égales si elles ont le même format et si elles ont les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.

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Définition

Matrice transposée :

La matrice transposée d’une matrice A\text A de format (n ;p)(n\ ; p) est la matrice de format (p ;n)(p\ ; n), notée AT\text {A}^\text {T}, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A\text A.

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Exemple

Si A=(234567)\text A= \begin{pmatrix} 2&3\ 4&5\ 6&7\end{pmatrix}, alors AT=(246357)\text A^\text T=\begin{pmatrix}2&4&6\3&5&7\end{pmatrix}

Opérations sur les matrices

  • L’addition

Il est possible d’additionner deux matrices à condition qu’elles aient le même format.

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Propriété

On appelle somme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement.

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Exemple

(125301)+(456132)\begin{pmatrix}1&2\ -5&3\0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&5\ -6&-1\3&2\end{pmatrix}

=(5711231)=\begin{pmatrix}5&7\ -11&2\3&1 \end{pmatrix}

Il faut savoir qu’il n’y a pas d’ordre dans l’addition, donc

A+B=B+AA+B = B+A et A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+CA+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C

De plus la matrice nulle O\text O est l’élément neutre de l’addition : A+O = O+A = A\text{A+O = O+A = A}

  • La multiplication par un réel

Il est possible de multiplier une matrice par un réel.

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Propriété

On appelle produit d’une matrice par un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.

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Exemple

2×(125301)-2 \times \begin{pmatrix}1&2\ -5&3\0&-1\end{pmatrix} =(2410602)=\begin{pmatrix}-2&-4\10&-6\0&2\end{pmatrix}

Les règles de calculs sont identiques à celles sur les nombres.

Multiplication de matrices par un réel, règles de calcul :

  • 0×M=00×\text M=\text 0 avec 0\text 0 la matrice nulle
  • 1×M=M1×\text M=\text M
  • Si M\text M et M\text M' sont deux matrices de même forme et et ββ sont deux nombres alors :

(+β)M=M+βM(∝+β)\text M=∝\text M+β\text M et (M+M)=M+M∝(\text M+\text M')=∝\text M+∝\text M'

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Définition

Matrice opposée :

On appelle opposé de M\text M la matrice (1)M(-1)\text M, notée M-\text M, et on note AB\text A-\text B la matrice A+(B)\text A+(-\text B).

  • La multiplication de deux matrices
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Attention

La multiplication de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonne de la première matrice est égale au nombre de ligne de la deuxième matrice.

En schématisant que si les matrices sont de la forme (n ;p)×(p ;q)(n\ ;p)×(p\ ;q)

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Définition

Produit de la matrice 1 :

Le produit de la matrice ligne A=(a1a2ap)\text A=\begin{pmatrix}a1&a2& …& a_p\end{pmatrix} par la matrice colonne

B=(b1b2bp)\text B=\begin{pmatrix}b1\b2\⋮\bp \end{pmatrix} est le nombre AB=a1b1+a2b2++apbp\text{AB}=a1b1+a2b2+…+apb_p

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Définition

Produit de la matrice 2 :

Le produit d’une matrice A=(aij)\text A=(a{ij}) de format (n ; p)(n\ ;\ p) par une matrice B=(bij)\text B=(b{ij}) de format (p ; q)(p\ ;\ q) est la matrice, notée AB\text {AB}, de format (n ; q)(n\ ;\ q) dont le coefficient cijc_{ij} est le produit de la matrice ligne ii de A\text A par la matrice colonne jj de B\text B :

cij=ai1b1j+ai2b2j++aipbpjc{ij}=a{i1}b{1j}+a{i2}b{2j}+…+a{ip}b_{pj}

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Exemple

Soit les matrices A=(246357)\text A=\begin{pmatrix}2&4&6\3&5&7\end{pmatrix} et B=(125301)\text B =\begin{pmatrix}1&2\ -5&3\0&-1\end{pmatrix}

Le format de la matrice A\text A est (2 ;3)(2\ ;3)

Le format de la matrice B\text B est (3 ;2)(3\ ;2)

Donc on peut faire la multiplication A×B\text A\times \text B qui donnera une matrice de format (2 ;2)(2\ ;2).

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Astuce

On note que la matrice B×A\text B\times \text A sera différente de la matrice A×B\text A\times \text B notamment parce qu’elle sera de format (3 ;3)(3\ ;3).

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Attention

Si le nombre de colonnes de la pemière matrice ne correspond pas au nombre de ligne de la seconde, leur multiplication est impossible.

A(246357)×B(125301)=AB(18102214)\text A\begin{pmatrix}2&4&6\3&5&7\end{pmatrix} \times\text B \begin{pmatrix}1&2\ -5&3\0&-1\end{pmatrix}=\text{AB}\begin{pmatrix}-18&10\ -22&14\end{pmatrix}

18=1×2+(5)×4+0×610=2×2+4×3+6×(1)22=3×1+5×(5)+7×014=2×3+3×5+(1)×7\begin{aligned} -18&=1×2+(-5)×4+0×6\ 10&=2×2+4×3+6×(-1)\ -22&=3×1+5×(-5)+7×0\ 14&=2×3+3×5+(-1)×7 \end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Formules de calculs de multiplications de deux matrices :

A, B et C\text {A, B et C} sont des matrices dont les formats autorisent les calculs indiqués.

A(BC)=(AB)C=ABC\text A(\text {BC}) = (\text {AB})\text C = \text{ABC}

A(B+C)=AB+AC\text A(\text B+\text C) = \text {AB}+\text {AC}

(A+B)C=AC+BC(\text A+\text B)\text C = \text {AC}+\text {BC}

(kA)B=k(AB)=A(kB) avec k un nombre(k\text A)\text B=k(\text {AB})=\text A(k\text B)\text{ avec }k\text{ un nombre}

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Attention

En calcul matriciel, on remarque que le plus souvent, AB BA\text{AB} ≠\text{ BA}.

Les matrices carrées

Définitions et théorèmes

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Définition

Matrice carrée :

D\text D est un entier naturel non nul.

On appelle matrice carrée d’ordre dd toute matrice de format (d ;d)(d\ ;d).

On appelle matrice unité d’ordre dd la matrice I\text I, carrée d’ordre dd, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 11.

La matrice unité d’ordre 33 est I=(100010001)\text I =\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}

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Théorème

Matrice unité :

  • Pour toute matrice M\text M carrée d’ordre dd, IM=MI=M\text{IM} = \text{MI} =\text M
  • Pout toute matrice colonne C\text C de format (d ;1)(d\ ; 1), IC=C\text{IC} =\text C
  • Pour toute matrice ligne L\text L de format (1 ;d)(1\ ;d), LI=L\text{LI} =\text L

Opérations sur les matrices carrées

  • Puissance d’une matrice carrée

Si la matrice est carrée, il est possible de calculer la puissance n-ième de cette matrice…

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Propriété

nn est un entier naturel non nul et A\text A est une matrice carrée. La nn-ième puissance de la matrice A\text A, notée An\text An, est la matrice définie par An=A AAn fois\text A^n=\underbrace{\text A\ \text A…\text A}{n\text{ fois}}. Par convention, A0=IA^0=\text I.

Il y a quand même une particularité pour les matrices diagonales ; une matrice diagonale est une matrice carrée dont les seuls coefficients non nuls (s’ils existent) sont situés sur la diagonale principale.

Le théorème suivant se généralise à toute matrice diagonale.

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Théorème

Pour tout entier naturel nn non nul et pour tous nombres aa et bb, (a00b)n=(an00bn)\begin{pmatrix}a&0\0&b\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}a^n&0\0&b^n\end{pmatrix}

  • Inverse d’une matrice carrée

Si la matrice est carrée, il est aussi possible de calculer son inverse.

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Propriété

Inverse d’une matrice carrée :

  • A\text A est une matrice carrée d’ordre dd. On dit qu’une matrice B\text B, carrée d’ordre dd, est inverse de A\text A si elle vérifie AB=I\text{AB} =\text I et BA= I\text{BA} =\text{ I}.
  • Si la matrice carrée A\text A admet une matrice inverse, celle-ci est unique. On la note A1\text A^{-1}
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Propriété

Trouver une matrice inverse :

A=(abcd)\text A =\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} est une matrice carrée d’ordre 22.

Si adbc0ad - bc \neq 0, A\text A admet une inverse A1=1adbc×(dbca)\text A^{-1}= \dfrac{1}{ad-bc} \times \begin{pmatrix}d&-b\ -c&a\end{pmatrix}

Si adbc=0ad - bc =0, A\text A n’a pas d’inverse.​

Écriture matricielle de systèmes linéaires

Le travail sur les matrices permet trouver la solution d’un système. Il est en effet possible de traduire un système linéaire par une matrice afin de déterminer les solutions de ce système.

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues xx et yy est de la forme :

S{ax+by=ecx+dy=f}\mathscr S \bigg\lbrace\begin{aligned} ax+by&=e\cx+dy&=f \end{aligned}\bigg\rbracea, b, c, d, e et fa,\ b,\ c,\ d,\ e\text{ et }f sont des nombres.

Les solutions de ce système sont les couples (x ; y)(x\ ;\ y) vérifiant simultanément ces deux équations.

En considérant les matrices A=(abcd)\text A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, X=(xy)X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} et B=(ef)\text B=\begin{pmatrix}e\f\end{pmatrix}, le système S\mathscr S s’écrit AX=B\text AX =\text B.

Dans cette écriture matricielle, A\text A est la matrice associée au système S\mathscr S.

Les deux équations linéaires se sont transformées en une seule équation matricielle, d’inconnue XX.

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Théorème

Si A\text A est inversible, alors S\mathscr S admet un unique couple solution défini par X=A1BX =\text A^{-1}\text B.

Démonstration : Si AX=B\text AX =\text B et si A\text A est inversible, alors :

A1(AX)=A1B(A1A)X=A1B Donc IX=A1B c’est-aˋ-dire X=A1B\begin{array}{lr} &\text A^{-1}(\text AX)=\text A^{-1}\text B\ &(\text A^{-1}\text A)X=\text A^{-1}\text B\\ \text{Donc }\text IX=\text A^{-1}\text B\text{ c'est-à-dire }&X=\text A^{-1}\text B \end{array}

Ce théorème se généralise aux cas des systèmes de nn équations linéaires à nn inconnues, pour tout entier naturel n2n ≥2.

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Propriété

Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors soit l’ensemble des solutions est vide, soit il contient une infinité de solutions.

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Exemple

On considère le système S{x+4y=93x+2y=1}\mathscr S \bigg \lbrace \begin{aligned} -x+4y&=9\ 3x+2y&=1 \end{aligned} \bigg \rbrace , dont l’écriture matricielle est AX=B\text AX =\text B avec A=(1432)\text A=\begin{pmatrix}-1&4\3&2\end{pmatrix}, X=(xy)X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} et B=(91)\text B=\begin{pmatrix}9\1\end{pmatrix}.

Le déterminant de A\text A, 1×24×3=140-1×2-4×3=-14≠0, donc la matrice A\text A est inversible.

Il existe donc un unique couple solution défini par X=A1BX =\text A^{-1}\text B.

Soit (xy)=114(1432)(91)\begin{pmatrix}x\y \end{pmatrix}=\dfrac{1}{-14}\begin{pmatrix}-1&4\3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}9\1\end{pmatrix}. Ainsi (xy)=(12)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\2\end{pmatrix} c’est-à-dire {x=1y=2\bigg \lbrace \begin{aligned} x&=-1\ y&=2 \end{aligned}