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Introduction :
Une matrice est un tableau de nombres qui permet de traiter globalement un ensemble de calculs identiques. Le calcul matriciel s’inspire de la géométrie vectorielle et analytique. Cette notion est importante d’autant plus que l’on retrouve les matrices dans des situations très variées autres qu’en géométrie. Les probabilités, les statistiques, la théorie des graphes, la mécanique ou encore l’économie utilisent cette notion. Tout ça pour dire qu’il y a de fortes chances que tu retrouves les matrices dans les études supérieures !
Nous verrons dans un premier temps comment s’écrit une matrice, le vocabulaire associé ainsi que les calculs de base sur les matrices. Nous verrons ensuite le cas particulier des matrices carrées pour finir avec la traduction de systèmes linéaires à l’aide de matrices.
Les matrices
Vocabulaire
Matrice :
Une matrice de format ou dimension est un tableau rectangulaire de nombres comportant lignes et colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients ou les termes de la matrice.
Le coefficient de la ligne et de la colonne est noté .
Le premier indice est toujours le numéro de la ligne et le deuxième celui de la colonne.
Par exemple, la matrice est une matrice de format avec et
Matrices particulières :
est une matrice de format
est une matrice de format
est une matrice de format
est une matrice de format
Égalité de matrice :
Deux matrices sont considérées égales si elles ont le même format et si elles ont les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.
Matrice transposée :
La matrice transposée d’une matrice de format est la matrice de format , notée , obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .
Si , alors
Opérations sur les matrices
Il est possible d’additionner deux matrices à condition qu’elles aient le même format.
On appelle somme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement.
Il faut savoir qu’il n’y a pas d’ordre dans l’addition, donc
et
De plus la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition :
Il est possible de multiplier une matrice par un réel.
On appelle produit d’une matrice par un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.
Les règles de calculs sont identiques à celles sur les nombres.
Multiplication de matrices par un réel, règles de calcul :
et
Matrice opposée :
On appelle opposé de la matrice , notée , et on note la matrice .
La multiplication de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonne de la première matrice est égale au nombre de ligne de la deuxième matrice.
En schématisant que si les matrices sont de la forme
Produit de la matrice 1 :
Le produit de la matrice ligne par la matrice colonne
est le nombre
Produit de la matrice 2 :
Le produit d’une matrice de format par une matrice de format est la matrice, notée , de format dont le coefficient est le produit de la matrice ligne de par la matrice colonne de :
Soit les matrices et
Le format de la matrice est
Le format de la matrice est
Donc on peut faire la multiplication qui donnera une matrice de format .
On note que la matrice sera différente de la matrice notamment parce qu’elle sera de format .
Si le nombre de colonnes de la pemière matrice ne correspond pas au nombre de ligne de la seconde, leur multiplication est impossible.
Formules de calculs de multiplications de deux matrices :
sont des matrices dont les formats autorisent les calculs indiqués.
En calcul matriciel, on remarque que le plus souvent, .
Les matrices carrées
Définitions et théorèmes
Matrice carrée :
est un entier naturel non nul.
On appelle matrice carrée d’ordre toute matrice de format .
On appelle matrice unité d’ordre la matrice , carrée d’ordre , dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à .
La matrice unité d’ordre est
Matrice unité :
Opérations sur les matrices carrées
Si la matrice est carrée, il est possible de calculer la puissance n-ième de cette matrice…
est un entier naturel non nul et est une matrice carrée. La -ième puissance de la matrice , notée , est la matrice définie par . Par convention, .
Il y a quand même une particularité pour les matrices diagonales ; une matrice diagonale est une matrice carrée dont les seuls coefficients non nuls (s’ils existent) sont situés sur la diagonale principale.
Le théorème suivant se généralise à toute matrice diagonale.
Pour tout entier naturel non nul et pour tous nombres et ,
Si la matrice est carrée, il est aussi possible de calculer son inverse.
Inverse d’une matrice carrée :
Trouver une matrice inverse :
est une matrice carrée d’ordre .
Si , admet une inverse
Si , n’a pas d’inverse.
Écriture matricielle de systèmes linéaires
Le travail sur les matrices permet trouver la solution d’un système. Il est en effet possible de traduire un système linéaire par une matrice afin de déterminer les solutions de ce système.
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues et est de la forme :
où sont des nombres.
Les solutions de ce système sont les couples vérifiant simultanément ces deux équations.
En considérant les matrices , et , le système s’écrit .
Dans cette écriture matricielle, est la matrice associée au système .
Les deux équations linéaires se sont transformées en une seule équation matricielle, d’inconnue .
Si est inversible, alors admet un unique couple solution défini par .
Démonstration : Si et si est inversible, alors :
Ce théorème se généralise aux cas des systèmes de équations linéaires à inconnues, pour tout entier naturel .
Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors soit l’ensemble des solutions est vide, soit il contient une infinité de solutions.
Considérons le système suivant :
Posons, comme nous l’avons vu précédemment :
Nous voyons que .
Cela nous donne :
Nous en déduisons donc :