Calculer des durées
Introduction
Calculer des durées pour pouvoir gérer notre temps, cela peut nous être utile tous les jours.
Ce cours te permettra de :
- comparer et mesurer des durées entre deux instants (en heures, minutes, secondes) ;
- calculer et convertir une durée.
Prérequis : Lire l'heure avec des heures, minutes et secondes
Conversion des unités de temps
Pour pouvoir faire des calculs de durées, il est important de bien connaître le vocabulaire utilisé, et d’être à l'aise avec la conversion des durées.
Définition
Durée :
La durée est le temps qui s'écoule entre le début et la fin d'un phénomène.
À retenir
- $1\text{ millénaire} = 1\,000\text{ ans}$
- $1\text{ siècle} = 100\text{ ans}$
- $1\text{ an} = 12\text{ mois}$
- $1\text{ semaine} = 7\text{ jours}$
- $1\text{ jour} = 24\text{ heures}$
- $1\text{ heure} = 60\text{ minutes}$
- $1\text{ minute} = 60\text{ secondes}$
Attention
Certaines conversions sont plus compliquées et ne donnent donc pas un résultat précis :
- $1\text{ an}$, c'est $365$ ou $366$ jours.
- $1\text{ mois}$, c'est entre $28$ et $31$ jours…
Exemple
- Convertissons 2 min 40 s en secondes :
$$\begin{aligned} 2\text{ min } 40\text{ s} &= 60\text{ s} + 60\text{ s} + 40\text{ s} \\ &= \mathbf{160\text{ s}} \end{aligned}$$
- Convertissons 9 h 55 min en minutes :
$$\begin{aligned} 9\text{ h } 55\text{ min} &= (9 \times 60\text{ min}) + 55\text{ min} \\ &= 540\text{ min} + 55\text{ min} \\ &= \mathbf{595\text{ min}} \end{aligned}$$
- Convertissons 2 j 17 h en heures :
$$\begin{aligned} 2\text{ j } 17\text{ h} &= (2 \times 24\text{ h}) + 17\text{ h} \\ &= 48\text{ h} + 17\text{ h} \\ &= \mathbf{65\text{ h}} \end{aligned}$$
Calcul d'une heure de fin à partir d'une durée donnée et d'une heure de départ
Dans la vie courante, il est très utile de pouvoir déterminer quand un événement aura lieu : pour savoir quand son train arrivera, quand la sonnerie retentira, ou encore quand un film se terminera.
Exemple
Un film débute à $20\text{ h }55$ et dure $1\text{ h }40$. À quelle heure se terminera ce film ?
- Il faut d'abord compter les minutes qui séparent l'heure de départ de l'heure pile suivante.
- De $20\text{ h }55$ à $21\text{ h }00$, il y a 5 minutes.
- Ensuite, il faut enlever les minutes trouvées de la durée totale.
- Ici, la durée totale est $1\text{ h }40$ et on enlève $5$ minutes. Il est donc 21 h 00 et il reste $1\text{ h }35$ de film.
- Puis, il faut utiliser les heures qu'il reste (sans les minutes) pour arriver de nouveau à une heure pile.
- Il reste $1\text{ h }35$ : j'utilise donc $1\text{ h}$. $$21\text{ h }00 + 1\text{ h }00 = 22\text{ h }00$$
- Il est 22 h 00 et il reste 35 minutes de film.
- Enfin, on trouve l'heure de fin.
$$22\text{ h }00 + 35\text{ min} = 22\text{ h }35$$
- Le film se terminera à 22 h 35.
Une autre méthode consiste à d'abord ajouter les heures pleines à l'heure de départ. Puis, à partir de cette nouvelle heure, on ajoute toutes les minutes.
Exemple
L'heure de début d'un spectacle est $15\text{ h }48$ et il dure $2\text{ h }20$.
À quelle heure termine-t-il ?
- On additionne les heures pleines à l'heure de départ.
$$15\text{ h }48 + 2\text{ h }00 = 17\text{ h }48$$
- On additionne la nouvelle heure calculée en y ajoutant les minutes restantes.
$$17\text{ h }48 + 20\text{ min} = 17\text{ h }68$$
- Le nombre de minutes dépasse $59$, il faut alors convertir les minutes en heures et en minutes.
$$\begin{aligned} 68\text{ min} &= 60\text{ min} + 8\text{ min} \\ &= 1\text{ h }08 \end{aligned}$$
$$17\text{ h }00 + 60\text{ min} + 8\text{ min} = 17\text{ h }00 + 1\text{ h }08 = 18\text{ h }08$$
Le spectacle se terminera à $18\text{ h }08$.
On peut aussi faire les calculs pour des durées plus longues.
Exemple
On veut connaître la fin d'une période de 4 ans et 5 jours, qui a commencé le 12 juillet 2011.
- On ajoute d'abord les années :
12 juillet 2011 + 4 ans = 12 juillet 2015
- Ensuite, on ajoute les jours restants à la date calculée :
12 juillet 2015 + 5 jours = 17 juillet 2015
Cette période s'est terminée le 17 juillet 2015.
Calcul d'une heure de début à partir d'une durée donnée et d'une heure de fin
Dans ce type de situation, on part de l'heure de fin, puis on enlève les heures et les minutes de la durée donnée. Ainsi, on retrouve l'heure de départ.
Exemple
Une course de vélo a duré 3 h 20, et s'est terminée à 17 h 25.
À quelle heure la course a-t-elle débuté ?
On enlève d'abord les $3$ heures à l'heure de fin :
$$17\text{ h }25 - 3\text{ h }00 = 14\text{ h }25$$
Puis, on enlève les minutes à l'heure calculée :
$$14\text{ h }25 - 20\text{ min} = 14\text{ h }05$$
La course de vélo a commencé à $14\text{ h }05$.
Calculer une durée entre deux moments précis
Il arrive parfois de n'avoir que la date (ou bien l’heure) de début et de fin d'un événement. Il est donc important de pouvoir déterminer le temps écoulé.
Exemple
Une nageuse utilise l'horloge de la piscine pour mesurer son temps sur $200\text{ m}$ en nage libre. Quand elle démarre, l'horloge indique $10\text{ h }22\text{ min }12\text{ s}$. À l'arrivée, l'horloge indique $10\text{ h }25\text{ min }07\text{ s}$. Combien de temps a-t-elle mis ?
Méthode 1 :
Ici, on va avancer petit à petit, et additionner les durées que nous avons trouvées.
Légende
- De $10\text{ h }22\text{ min }12\text{ s}$ à $10\text{ h }07$, il y a $48$ secondes.
- De $10\text{ h }23$ à $10\text{ h }25$, il y a $2$ minutes.
- De $10\text{ h }25$ à $10\text{ h }25\text{ min }07\text{ s}$, il y a $07$ secondes.
Il ne reste plus qu’à additionner ces durées : $$2\text{ min}+ 48\text{ s} + 07\text{ s} = 2\text{ min }55\text{ s}$$
- La nageuse a donc mis 2 minutes et 55 secondes sur son $200$ mètres nage libre.
Méthode 2 :
Ici, on va chercher la différence entre l'heure d'arrivée et l'heure de départ. Pour cela, on peut poser la soustraction suivante, en alignant bien les heures, les minutes et les secondes :
$$10\text{ h }25\text{ min }07\text{ s} - 10\text{ h }22\text{ min }12\text{ s}$$
- On commence par les secondes. Ici, on ne peut pas faire $7\text{ s} - 12\text{ s}$.
- On prend donc $1$ minute aux $25$ minutes et on la transforme en $60$ secondes.
Ainsi :
- $25\text{ min}$ devient $24\text{ min }60\text{ s}$ ;
- On regroupe les secondes en additionnant ces $60$ secondes avec nos $7\text{ s}$ :
$$ 60\text{ s} +7\text{ s} = 67\text{ s}$$ On peut maintenant soustraire les $12\text{ s}$ :
$$\begin{aligned} 67\text{ s} - 12\text{ s} &= 55\text{ s} \\ 24\text{ min} - 22\text{ min} &= 2\text{ min} \\ 10\text{ h} - 10\text{ h} &= 0\text{ h} \end{aligned}$$
La nageuse a donc mis $2\text{ min }55\text{ s}$ pour parcourir son $200\text{ m}$ nage libre.
