Cours Calculs et opérations
Introduction
Dans ce cours, nous apprendrons à effectuer des enchaînements d’opérations en respectant les priorités opératoires. Nous verrons également comment traduire un programme de calcul par une expression numérique.
Nous utiliserons ensuite la distributivité pour simplifier certains calculs numériques, puis nous apprendrons à effectuer une division par un nombre décimal.
Rappel
Dans les classes précédentes, nous avons travaillé sur les opérations élémentaires.
- L’addition
$$3+4=7$$
$7$ est la somme des termes $3$ et $4$.
- La soustraction
$$15-13=2$$
$2$ est la différence entre les termes $15$ et $13$.
- La multiplication
$$4,5 \times 4 =18$$
$18$ est le produit des facteurs $4,5$ et $4$.
- La division
$$100 \div 5 =20$$ où :
- $100$ est le dividende.
- $5$ est le diviseur.
- $20$ est le quotient.
Définition
Une expression numérique est une suite de nombres et d’opérations.
La résolution d’un problème peut nécessiter d’effectuer plusieurs opérations successives. Il est alors possible de traduire cet enchaînement d’opérations par une seule expression numérique.
Effectuer un enchaînement d’opérations
Effectuer un enchaînement d’opérations
Effectuer un calcul sans parenthèses
Effectuer un calcul sans parenthèses
- Une suite d’additions et de soustractions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des additions et des soustractions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
$$\begin{aligned}A&= 5,2+4-7,7\\ A&=9,2-7,7\\ A&=1,5\end{aligned}$$
Exemple
Léa souhaite pratiquer le tennis de table.
Voici ses achats :
- une raquette à $11,90$ € ;
- une boîte de balles à $3,95$ €.
Quelle somme lui rend le commerçant si elle présente un billet de $20$ € ?
On nomme cette somme $B$.
$$\begin{aligned}B&=20-11,90-3,95\\ B&=8,10-3,95\\ B&=4,15\end{aligned}$$
- Le commerçant rend $4,15$ € à Léa.
Vérifions que ce résultat est vraisemblable.
$11,90$ € est proche de $12$ € et $3,95$ € est proche de $4$ €. Le résultat doit donc être proche de :
$$ 20-12-4=4 $$
Le résultat obtenu, $4,15$ €, est bien proche de $4$ €. Il est donc vraisemblable.
- Une suite de multiplications et de divisions
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses et qui comporte uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les opérations les unes après les autres, de gauche à droite.
$$\begin{aligned}C&=12,6 \div 3\times 5\\ C&=4,2\times 5\\ C&=21\end{aligned}$$
Exemple
Combien vaut le septième du double de $21$ ?
Nommons ce résultat $D$.
$$\begin{aligned}D&= 21\times2 \div 7\\ D&=42 \div 7\\ D&=6\end{aligned}$$
- Le septième du double de $21$ vaut $6$.
Astuce
Dans le cas où il n’y a que des additions (ou que des multiplications), on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre.
- Une suite d’opérations différentes
À retenir
Dans une expression numérique sans parenthèses :
- les multiplications et les divisions sont effectuées en priorité ;
- les additions et les soustractions sont ensuite effectuées de gauche à droite.
Les multiplications et les divisions ont la même priorité entre elles.
Les additions et les soustractions ont également la même priorité entre elles.
Exemple
Calculons l’expression suivante :
$$ E=25-3,5\times5+1,6\div2 $$
- On effectue d’abord la multiplication et la division :
$$\begin{aligned} E&= 25-3,5\times 5+1,6 \div 2\\ E&=25-17,5+0,8\end{aligned}$$
- Puis on calcule de gauche à droite :
$$\begin{aligned} E&=25-17,5+0,8\\ E&=7,5 + 0,8\\ E&=8,3\end{aligned}$$
Exemple
Combien y a-t-il de secondes dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes ?
On nomme ce nombre de secondes $F$.
On sait que, dans $1$ heure, il y a $60$ minutes et que, dans une minute, il y a $60$ secondes.
On peut donc calculer le nombre de secondes dans $1$ heure :
$$\begin{aligned}1\text{ heure }&=60\times60\text{ secondes}\\ 1\text{ heure }&=3\,600\text{ secondes}\end{aligned}$$
Donc :
$$\begin{aligned}F&=3\times 3\,600+27\times 60+47\; \footnotesize\longleftarrow \text{on effectue d’abord les multiplications}\\ F&=10\,800+1\,620+47\\ F&=12\,420+47\\ F&=12\,467\end{aligned}$$
- Dans $3$ heures $27$ minutes et $47$ secondes, il y a donc $12\,467$ secondes.
Vérifions que ce résultat est vraisemblable.
On peut utiliser les approximations suivantes :
$$ 3\,600\approx3\,500,\qquad27\approx30\qquad\text{et}\qquad47\approx50 $$
On obtient alors l’ordre de grandeur suivant :
$$ \begin{aligned} 3\times3\,500+30\times60+50 &=10\,500+1\,800+50\\ &=12\,350 \end{aligned} $$
Le résultat obtenu, $12\,467$, est bien proche de $12\,350$. Il est donc vraisemblable.
Effectuer un calcul avec des parenthèses
Effectuer un calcul avec des parenthèses
À retenir
Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
S’il y a plusieurs « couples » de parenthèses, on commence par celles qui sont les plus intérieures.
Exemple
Calculons l’expression suivante :
$$ G=9-2\times(7-3) $$
On effectue d’abord le calcul entre parenthèses :
$$ \begin{aligned} G&=9-2\times(7-3)\\ G&=9-2\times4 \end{aligned} $$
On effectue ensuite la multiplication :
$$ \begin{aligned} G&=9-8\\ G&=1 \end{aligned} $$
Exemple
Calculons l’expression suivante :
$$ H=17,2-\big(55\div(6+5)\big) $$
On commence par les parenthèses les plus intérieures :
$$ \begin{aligned} H&=17,2-\big(55\div(6+5)\big)\\ H&=17,2-(55\div11)\\ H&=17,2-5\\ H&=12,2 \end{aligned} $$
Traduire un programme de calcul
Traduire un programme de calcul
Un programme de calcul décrit une succession d’opérations. Les parenthèses permettent d’indiquer dans quel ordre ces opérations doivent être effectuées.
Exemple
Voici un programme de calcul :
- je choisis un nombre ;
- je lui ajoute $7$ ;
- je multiplie le résultat par $3$ ;
- je soustrais $8$ à ce nouveau résultat ;
- je divise par $4$ ce dernier résultat.
Effectuer ce programme de calcul avec $9$ comme nombre de départ.
On nomme le résultat $J$.
$$\begin{aligned}J&=\big((9+7)\times 3-8\big) \div 4\;\footnotesize \longleftarrow \text{on commence par les parenthèses intérieures}\\ J&= (16 \times 3-8) \div 4\;\footnotesize \longleftarrow \text{dans les parenthèses, la multiplication est prioritaire}\\ J&= (48 - 8) \div 4\\ J&= 40 \div 4\\ J&=10\end{aligned}$$
Cherchons maintenant à traduire ce programme de calcul par un script Scratch.
Le nombre choisi par l’utilisateur est stocké dans la variable variable. Chaque résultat intermédiaire est ensuite stocké dans la variable résultat.
(© CC BY-SA 2.0)
- On ajoute d’abord $7$ au nombre choisi :
(© CC BY-SA 2.0)
- On multiplie ensuite le résultat obtenu par $3$ :
(© CC BY-SA 2.0)
- On soustrait $8$ au nouveau résultat :
(© CC BY-SA 2.0)
- Enfin, on divise le dernier résultat par $4$ :
(© CC BY-SA 2.0)
On obtient ainsi le script complet suivant :
(© CC BY-SA 2.0)
Ce script effectue successivement les mêmes opérations que l’expression :
$$ \big((\text{nombre choisi}+7)\times3-8\big)\div4 $$
Utiliser la distributivité simple
Utiliser la distributivité simple
La distributivité permet notamment de transformer un produit en une somme ou en une différence. Elle peut être utilisée pour faciliter certains calculs numériques.
Propriété
Pour $k$, $a$ et $b$ trois nombres relatifs quelconques, on a : $$\overbrace{\red k(\purple a+ \orange b)=\red k \purple a+ \red k \orange b}^{\textstyle \text {produit}\rightarrow\text{somme}}$$ $$\underbrace{\red k(\purple a- \orange b)=\red k \purple a- \red k \orange b}_{\textstyle \ \quad \text {produit}\rightarrow\text{différence}}$$
Décomposer un nombre pour faciliter un calcul
Décomposer un nombre pour faciliter un calcul
Exemple
Calculons mentalement :
$$ 12\times17 $$
On peut décomposer $12$ en $10+2$.
$$ \begin{aligned} 12\times17 &=(10+2)\times17\\ &=10\times17+2\times17\\ &=170+34\\ &=204 \end{aligned} $$
Exemple
Calculons mentalement :
$$ 19\times24 $$
On peut écrire $19=20-1$.
$$ \begin{aligned} 19\times24 &=(20-1)\times24\\ &=20\times24-1\times24\\ &=480-24\\ &=456 \end{aligned} $$
Exemple
Calculons mentalement :
$$ 27\times99 $$
On peut écrire $99=100-1$.
$$ \begin{aligned} 27\times99 &=27\times(100-1)\\ &=27\times100-27\times1\\ &=2\,700-27\\ &=2\,673 \end{aligned} $$
Repérer un facteur commun
Repérer un facteur commun
Les égalités de distributivité peuvent également être utilisées dans l’autre sens.
Exemple
Calculons l’expression suivante :
$$ 1,5\times0,7+1,5\times0,3 $$
Le facteur $1,5$ est commun aux deux produits.
$$ \begin{aligned} 1,5\times0,7+1,5\times0,3 &=1,5\times(0,7+0,3)\\ &=1,5\times1\\ &=1,5 \end{aligned} $$
Astuce
Pour faciliter un calcul, on peut chercher à faire apparaître des nombres simples comme $10$, $100$, $1$, $0,5$ ou $0,1$.
Diviser par un nombre décimal
Diviser par un nombre décimal
Transformer le diviseur en un nombre entier
Transformer le diviseur en un nombre entier
Rappel
Diviser un nombre par un autre revient à chercher le nombre qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende.
Par exemple :
$$ 28\div4=7 $$
car :
$$ 4\times7=28 $$
À retenir
Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre afin de rendre le diviseur entier.
On multiplie généralement les deux nombres par $10$, $100$, $1\,000$, etc.
Le quotient ne change pas lorsque le dividende et le diviseur sont multipliés par un même nombre non nul.
Exemple
Calculons :
$$ 1,5\div0,3 $$
Le diviseur $0,3$ comporte un chiffre après la virgule. On multiplie donc le dividende et le diviseur par $10$.
$$ \begin{aligned} 1,5\div0,3 &=15\div3\\ &=5 \end{aligned} $$
Vérifions le résultat :
$$ 0,3\times5=1,5 $$
Le quotient obtenu est donc correct.
Exemple
Calculons :
$$ 6\div2,5 $$
Le diviseur $2,5$ comporte un chiffre après la virgule. On multiplie donc le dividende et le diviseur par $10$.
$$ \begin{aligned} 6\div2,5 &=60\div25\\ &=2,4 \end{aligned} $$
Vérifions le résultat :
$$ 2,5\times2,4=6 $$
Le quotient obtenu est donc correct.
Choisir le nombre par lequel multiplier
Choisir le nombre par lequel multiplier
Pour rendre le diviseur entier :
- s’il comporte un chiffre après la virgule, on peut multiplier le dividende et le diviseur par $10$ ;
- s’il comporte deux chiffres après la virgule, on peut multiplier le dividende et le diviseur par $100$ ;
- s’il comporte trois chiffres après la virgule, on peut multiplier le dividende et le diviseur par $1\,000$.
Exemple
Calculons :
$$ 7,2\div0,06 $$
Le diviseur $0,06$ comporte deux chiffres après la virgule. On multiplie donc le dividende et le diviseur par $100$.
$$ \begin{aligned} 7,2\div0,06 &=720\div6\\ &=120 \end{aligned} $$
Vérifions le résultat :
$$ 0,06\times120=7,2 $$
Le quotient obtenu est donc correct.
Exemple
Une personne achète $2,5$ kg d’oranges et paye $6$ €.
Quel est le prix d’un kilogramme d’oranges ?
Le prix d’un kilogramme est donné par le calcul suivant :
$$ 6\div2,5 $$
On multiplie le dividende et le diviseur par $10$.
$$ \begin{aligned} 6\div2,5 &=60\div25\\ &=2,4 \end{aligned} $$
Un kilogramme d’oranges coûte donc $2,40$ €.((fleche))
Vérifions que ce résultat est vraisemblable.
Deux kilogrammes et demi coûtent $6$ €. Un kilogramme doit donc coûter moins de $3$ €.
Le résultat obtenu, $2,40$ €, est bien inférieur à $3$ €. Il est donc vraisemblable.
Rappel
Une fois le diviseur rendu entier, on effectue une division par un nombre entier.
La méthode de la division décimale par un nombre entier a été étudiée en 6e.
À retenir
Une division peut donner :
- un quotient exact ;
- ou un quotient dont on utilise une valeur approchée.
La calculatrice peut être utilisée pour effectuer ou vérifier le calcul.
Conclusion
Dans cette leçon, nous avons appris à effectuer des enchaînements d’opérations en respectant les priorités opératoires.
Dans l’ordre, on effectue :
- les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures ;
- les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Nous avons également appris à traduire un programme de calcul par une expression numérique et à contrôler la vraisemblance d’un résultat. La distributivité simple permet de faciliter certains calculs :
- $$k\times (\purple a+ \orange b)=\red k \times \purple a+ \red k \times \orange b$$
- $$k\times (\purple a- \orange b)=\red k \times \purple a- \red k \times \orange b$$. Enfin, pour diviser par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre afin de rendre le diviseur entier. On effectue ensuite la division obtenue.
