Fiche de révision Calculs et opérations

Effectuer un enchaînement d’opérations

Une expression numérique est une suite de nombres et d'opérations, permettant de traduire un enchaînement d'opérations.
Sans parenthèses :
suite d'additions/soustractions ou suite de multiplications/divisions : on calcule de gauche à droite.
suite d'opérations différentes : les multiplications et divisions sont prioritaires (même priorité entre elles), puis on effectue les additions et soustractions de gauche à droite (même priorité entre elles).
Astuce : s'il n'y a que des additions (ou que des multiplications), l'ordre des calculs n'a pas d'importance.
Avec parenthèses : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures s'il y en a plusieurs.
Traduire un programme de calcul : les parenthèses permettent de transcrire l'ordre des étapes d'un programme de calcul en une seule expression numérique (ou en un script).
Pour contrôler un résultat, on peut vérifier sa vraisemblance à l'aide d'un ordre de grandeur (arrondis des valeurs utilisées).

Pour $k$, $a$ et $b$ trois nombres relatifs quelconques : $$k(a+b)=k\times a+k\times b \qquad\qquad k(a-b)=k\times a-k\times b$$
Décomposer un nombre pour faciliter un calcul : on transforme un produit en somme ou en différence en décomposant l'un des facteurs.
Exemple : $12\times17=(10+2)\times17=170+34=204$
Repérer un facteur commun : on peut utiliser la distributivité « à l'envers » lorsqu'un facteur est commun à deux produits.
Exemple : $1,5\times0,7+1,5\times0,3=1,5\times(0,7+0,3)=1,5$
Astuce : chercher à faire apparaître des nombres simples comme $10$, $100$, $1$, $0,5$ ou $0,1$.

Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre afin de rendre le diviseur entier.
Le quotient ne change pas lorsque le dividende et le diviseur sont multipliés par un même nombre non nul.
On choisit le nombre par lequel multiplier selon le rang du dernier chiffre du diviseur :
diviseur avec $1$ chiffre après la virgule → on multiplie par $10$ ;
diviseur avec $2$ chiffres après la virgule → on multiplie par $100$ ;
diviseur avec $3$ chiffres après la virgule → on multiplie par $1\,000$ ;
etc.
Une fois le diviseur rendu entier, on effectue une division décimale classique (méthode vue en 6e).
Une division peut donner un quotient exact ou nécessiter une valeur approchée.
On peut vérifier un résultat de division en multipliant le quotient obtenu par le diviseur : on doit retrouver le dividende de départ.
La calculatrice peut être utilisée pour effectuer ou vérifier un calcul.

Une expression numérique est une suite de nombres et d'opérations, permettant de traduire un enchaînement d'opérations.
Sans parenthèses :
suite d'additions/soustractions ou suite de multiplications/divisions : on calcule de gauche à droite.
suite d'opérations différentes : les multiplications et divisions sont prioritaires (même priorité entre elles), puis on effectue les additions et soustractions de gauche à droite (même priorité entre elles).
Astuce : s'il n'y a que des additions (ou que des multiplications), l'ordre des calculs n'a pas d'importance.
Avec parenthèses : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures s'il y en a plusieurs.
Traduire un programme de calcul : les parenthèses permettent de transcrire l'ordre des étapes d'un programme de calcul en une seule expression numérique (ou en un script).
Pour contrôler un résultat, on peut vérifier sa vraisemblance à l'aide d'un ordre de grandeur (arrondis des valeurs utilisées).

Pour $k$, $a$ et $b$ trois nombres relatifs quelconques : $$k(a+b)=k\times a+k\times b \qquad\qquad k(a-b)=k\times a-k\times b$$
Décomposer un nombre pour faciliter un calcul : on transforme un produit en somme ou en différence en décomposant l'un des facteurs.
Exemple : $12\times17=(10+2)\times17=170+34=204$
Repérer un facteur commun : on peut utiliser la distributivité « à l'envers » lorsqu'un facteur est commun à deux produits.
Exemple : $1,5\times0,7+1,5\times0,3=1,5\times(0,7+0,3)=1,5$
Astuce : chercher à faire apparaître des nombres simples comme $10$, $100$, $1$, $0,5$ ou $0,1$.

Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre afin de rendre le diviseur entier.
Le quotient ne change pas lorsque le dividende et le diviseur sont multipliés par un même nombre non nul.
On choisit le nombre par lequel multiplier selon le rang du dernier chiffre du diviseur :
diviseur avec $1$ chiffre après la virgule → on multiplie par $10$ ;
diviseur avec $2$ chiffres après la virgule → on multiplie par $100$ ;
diviseur avec $3$ chiffres après la virgule → on multiplie par $1\,000$ ;
etc.
Une fois le diviseur rendu entier, on effectue une division décimale classique (méthode vue en 6e).
Une division peut donner un quotient exact ou nécessiter une valeur approchée.
On peut vérifier un résultat de division en multipliant le quotient obtenu par le diviseur : on doit retrouver le dividende de départ.
La calculatrice peut être utilisée pour effectuer ou vérifier un calcul.