Cours Angles
Introduction :
Au cycle 3, Nous avons défini un angle comme étant une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
Nous avons vu que deux droites parallèles non confondues se définissent comme deux droites non sécantes, c’est-à-dire qui n’ont aucun point commun.
Nous avons appris à nommer un angle, à le mesurer avec l’unité de mesure qui est le degré noté « $\degree$ » à l’aide d’un rapporteur et à le construire.
Dans ce cours, nous allons apprendre à caractériser le parallélisme avec les angles.
Pour cela, nous verrons dans un premier temps comment utiliser le vocabulaire relatif aux angles. Dans un second temps, nous apprendrons à connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux droites parallèles et une sécante, ainsi que leurs réciproques.
Vocabulaire des angles
Vocabulaire des angles
Angles complémentaires
Angles complémentaires
Définition
Angles complémentaires :
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $90\degree$.
Exemple
Les angles $\widehat{ACB}=37\degree$ et $\widehat{DFE}=53\degree$ sont complémentaires car $37\degree+53\degree=90\degree$.
Angles supplémentaires
Angles supplémentaires
Définition
Angles supplémentaires :
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $180\degree$.
Exemple
Les angles $\widehat{DFE}=53\degree$ et $\widehat{GIH}=127\degree$ sont supplémentaires car $53\degree+127\degree=180\degree$.
Angles adjacents
Angles adjacents
Définition
Angles adjacents :
Deux angles adjacents sont des angles qui :
- ont le même sommet ;
- ont un côté commun ;
- sont situés d’un côté et de l’autre de ce côté commun.
Exemple
Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents car :
- ils ont le même sommet $O$ ;
- ils ont un côté commun $[OB)$ ;
- sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Contre-exemples
- Les angles $\widehat {ACB}$ et $\widehat{BEF}$ ne sont pas adjacents car ils n’ont pas le même sommet.
- Les angles $\widehat {XGY}$ et $\widehat {ZGT}$ ne sont pas adjacents car ils n’ont pas de côté commun.
- Les angles $\widehat {KAP}$ et $\widehat {MAP}$ ne sont pas adjacents car, bien qu’ils aient en commun le côté $[AP)$, ils ne sont pas situés de part et d’autre de ce côté commun.
Angles opposés par le sommet
Angles opposés par le sommet
Définition
Angles opposés par le sommet :
On dit que deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement les uns des autres.
Propriété
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
Exemple
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sécantes en $O$ déterminent deux paires d’angles opposés par le sommet.
- Les angles $\widehat {AOD}$ et $\widehat {COB}$ sont opposés par le sommet.
- Les angles $\widehat {AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet.
- $\widehat {AOD}=\widehat {COB}$ et $\widehat {AOC}=\widehat {BOD}$
Angles alternes-internes
Angles alternes-internes
Définition
Angles alternes-internes :
Deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coupées par une droite sécante $(\Delta)$ aux points $A$ et $B$.
Deux angles formés par ces trois droites sont alternes-internes si :
- ils n’ont pas le même sommet ;
- ils sont de part et d’autre de la sécante ;
- ils sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites $(d)$ et $(d^\prime)$.
Exemple
Les angles rouge et vert, formés par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$, sont alternes-internes.
Angles correspondants
Angles correspondants
Définition
Angles correspondants :
Deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coupées par une droite sécante $(\Delta)$ aux points $A$ et $B$.
Deux angles formés par ces trois droites sont correspondants si :
- ils n’ont pas le même sommet ;
- ils sont du même côté de la sécante ;
- l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ et l’autre à l’extérieur.
Exemple
Les angles rouge et vert, formés par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$, sont correspondants.
Angles, parallèles et sécantes
Angles, parallèles et sécantes
Propriété 1
Propriété 1
Propriété
Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.
Réciproque de la propriété 1
Réciproque de la propriété 1
Propriété
Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Propriété 2
Propriété 2
Propriété
Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.
Réciproque de la propriété 2
Réciproque de la propriété 2
Propriété
Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Astuce
- Les propriétés 1 et 2 permettent de déterminer des mesures d’angles.
- Les réciproques des propriétés 1 et 2 permettent de prouver que deux droites sont parallèles.
Cas particuliers : les angles correspondants sont des angles droits
Cas particuliers : les angles correspondants sont des angles droits
Propriété
Propriété
En reprenant la propriété du 2. C) avec des angles droits, nous obtenons la propriété suivante :
Propriété
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Exemple
Dans l’image ci-dessous :
$\text{Si } (d_1)\parallel(d_2) \text{ et } (d_1)\perp(d_3), \text{ alors } (d_2)\perp(d_3)$.
Réciproque de la propriété
Réciproque de la propriété
En reprenant la propriété du 2. D) avec des angles droits, nous obtenons la propriété suivante :
Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entres elles.
Exemple
Dans l’image ci-dessous :
$\text{Si } (d_1)\perp(d_3) \text{ et } (d_2)\perp(d_3), \text{ alors } (d_1)\parallel(d_2)$.
Applications
Applications
Considérons la figure suivante qui est codée.
Montrons que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
D’après le codage de la figure :
- Les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires ;
- Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Or, d’après la propriété que nous avons vue et sa réciproque, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entres elles.
Nous en déduisons que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu du vocabulaire lié aux angles : angles complémentaires, supplémentaires, adjacents, opposés par le sommet, alternes-internes et correspondants.
Ensuite, nous avons appris à caractériser le parallélisme de deux droites coupées par une sécante, avec des angles.
Enfin, nous avons vu le cas particulier de cette caractérisation lorsque les angles sont droits et avons obtenu les propriétés suivantes :
- si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
- si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entres elles.
