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Angles et parallélisme

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Introduction :

Au cycle 3, on a défini un angle comme étant une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
On a vu que deux droites parallèles se définissent comme deux droites non-sécantes, c'est-à-dire qui n'ont aucun point commun.
On a appris à nommer un angle, à le mesurer avec l'unité de mesure qui est le degré noté « °\degree » à l'aide d'un rapporteur et à le construire.

Dans ce cours nous allons apprendre à caractériser le parallélisme avec les angles.

Pour cela, nous verrons dans un premier temps comment utiliser le vocabulaire relatif aux angles. Dans un second temps, nous apprendrons à connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux droites parallèles et une sécante ainsi que leurs réciproques.

Vocabulaire des angles

Angles complémentaires

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Définition

Angles complémentaires :

Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°90\degree.

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Exemple

Les angles ACB^=37°\widehat{ACB}=37\degree et DFE^=53°\widehat{DFE}=53\degree sont complémentaires car 37°+53°=90°37\degree+53\degree=90\degree

Angles supplémentaires

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Définition

Angles supplémentaires :

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°180\degree.

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Exemple

Les angles DFE^=53°\widehat{DFE}=53\degree et GIH^=127°\widehat{GIH}=127\degree sont supplémentaires car 53°+127°=180°53\degree+127\degree=180\degree

Angles adjacents

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Définition

Angles adjacents :

Deux angles adjacents sont des angles qui :

  • ont le même sommet ;
  • ont un côté commun ;
  • sont situés d'un côté et de l'autre de ce côté commun.
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Exemple

angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Les angles AOB^\widehat{AOB} et BOC^\widehat{BOC} sont adjacents car :

  • ils ont le même sommet OO ;
  • ils ont un côté commun [OB)[OB) ;
  • ils sont situés de part et d'autre de [OB)[OB).

Contre-exemples

angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

  • Les angles ACB^\widehat {ACB} et BEF^\widehat{BEF} ne sont pas adjacents car ils n'ont pas le même sommet.

angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

  • Les angles XGY^\widehat {XGY} et ZGT^\widehat {ZGT} ne sont pas adjacents car ils n'ont pas de côté commun.

angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

  • Les angles KAP^\widehat {KAP} et MAP^\widehat {MAP} ne sont pas adjacents car, bien qu'ils aient en commun le côté [AP)[AP), ils ne sont pas situés de part et d'autre de ce côté commun.

Angles opposés par le sommet

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Définition

Angles opposés par le sommet :

On dit que deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement les uns des autres.

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Propriété

Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.

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Exemple

Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sécantes en OO déterminent deux paires d'angles opposés par le sommet.

angles opposés par le sommet Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

  • Les angles AOD^\widehat {AOD} et COB^\widehat {COB} sont opposés par le sommet.
  • Les angles AOC^\widehat {AOC} et BOD^\widehat{BOD} sont opposés par le sommet.
  • AOD^=COB^\widehat {AOD}=\widehat {COB} et AOC^=BOD^\widehat {AOC}=\widehat {BOD}

Angles alternes-internes

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Définition

Angles alternes-internes :

Deux droites (d)(d) et (d)(d') sont coupées par une droite sécante (Δ)(\Delta) aux points AA et BB.

Deux angles formés par ces trois droites sont alternes-internes si :

  • ils n'ont pas le même sommet ;
  • ils sont de part et d'autre de la sécante ;
  • ils sont à l'intérieur de la bande délimitée par les droites (d)(d) et (d)(d').
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Exemple

angles alternes-internes Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Les angles rouge et vert, formés par les droites (d)(d) et (d)(d') coupées par la sécante (Δ)(\Delta) en AA et BB sont alternes-internes.

Angles correspondants

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Définition

Angles correspondants :

Deux droites (d)(d) et (d)(d') sont coupées par une droite sécante (Δ)(\Delta) aux points AA et BB.

Deux angles formés par ces trois droites sont correspondants si :

  • ils n'ont pas le même sommet ;
  • ils sont du même côté de la sécante ;
  • l'un est à l'intérieur de la bande délimitée par les droites (d)(d) et (d)(d') et l'autre à l'extérieur.
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Exemple

angles correspondants Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Les angles rouge et vert, formés par les droites (d)(d) et (d)(d') coupées par la sécante (Δ)(\Delta) en AA et BB, sont correspondants.

Angles, parallèles et sécantes

Propriété 1

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Propriété

Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.

Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Réciproque de la propriété 1

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Propriété

Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Propriété 2

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Propriété

Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.

Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

Réciproque de la propriété 2

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Propriété

Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques

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Astuce

  • Les propriétés 1 et 2 permettent de déterminer des mesures d'angles.
  • Les réciproques des propriétés 1 et 2 permettent de prouver que deux droites sont parallèles.