Cours : Angles et parallélisme

Angles et parallélisme

Introduction :

Au cycle 3, on a défini un angle comme étant une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
On a vu que deux droites parallèles se définissent comme deux droites non sécantes, c’est-à-dire qui n’ont aucun point commun.
On a appris à nommer un angle, à le mesurer avec l’unité de mesure qui est le degré noté « $\degree$ » à l’aide d’un rapporteur et à le construire.

Dans ce cours nous allons apprendre à caractériser le parallélisme avec les angles.
Pour cela, nous verrons dans un premier temps comment utiliser le vocabulaire relatif aux angles. Dans un second temps, nous apprendrons à connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux droites parallèles et une sécante, ainsi que leurs réciproques.

Vocabulaire des angles

Angles complémentaires

Définition

Angles complémentaires :

Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $90\degree$.

Exemple

Les angles $\widehat{ACB}=37\degree$ et $\widehat{DFE}=53\degree$ sont complémentaires car $37\degree+53\degree=90\degree$.

Angles supplémentaires

Définition

Angles supplémentaires :

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $180\degree$.

Exemple

Les angles $\widehat{DFE}=53\degree$ et $\widehat{GIH}=127\degree$ sont supplémentaires car $53\degree+127\degree=180\degree$.

Angles adjacents

Définition

Angles adjacents :

Deux angles adjacents sont des angles qui :

ont le même sommet ;
ont un côté commun ;
sont situés d’un côté et de l’autre de ce côté commun.

Exemple

$angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents car :

ils ont le même sommet $O$ ;
ils ont un côté commun $[OB)$ ;
ils sont situés de part et d’autre de $[OB)$.

Contre-exemples

$angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles $\widehat {ACB}$ et $\widehat{BEF}$ ne sont pas adjacents car ils n’ont pas le même sommet.

$angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles $\widehat {XGY}$ et $\widehat {ZGT}$ ne sont pas adjacents car ils n’ont pas de côté commun.

$angles adjacents Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles $\widehat {KAP}$ et $\widehat {MAP}$ ne sont pas adjacents car, bien qu’ils aient en commun le côté $[AP)$, ils ne sont pas situés de part et d’autre de ce côté commun.

Angles opposés par le sommet

Définition

Angles opposés par le sommet :

On dit que deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils ont le même sommet et que leurs côtés sont dans le prolongement les uns des autres.

Propriété

Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.

Exemple

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sécantes en $O$ déterminent deux paires d’angles opposés par le sommet.

$angles opposés par le sommet Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles $\widehat {AOD}$ et $\widehat {COB}$ sont opposés par le sommet.
Les angles $\widehat {AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet.
$\widehat {AOD}=\widehat {COB}$ et $\widehat {AOC}=\widehat {BOD}$

Angles alternes-internes

Définition

Angles alternes-internes :

Deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coupées par une droite sécante $(\Delta)$ aux points $A$ et $B$.

Deux angles formés par ces trois droites sont alternes-internes si :

ils n’ont pas le même sommet ;
ils sont de part et d’autre de la sécante ;
ils sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites $(d)$ et $(d^\prime)$.

Exemple

$angles alternes-internes Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles rouge et vert, formés par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$, sont alternes-internes.

Angles correspondants

Définition

Angles correspondants :

Deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coupées par une droite sécante $(\Delta)$ aux points $A$ et $B$.

Deux angles formés par ces trois droites sont correspondants si :

ils n’ont pas le même sommet ;
ils sont du même côté de la sécante ;
l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ et l’autre à l’extérieur.

Exemple

$angles correspondants Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Les angles rouge et vert, formés par les droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$, sont correspondants.

Angles, parallèles et sécantes

Propriété 1

Propriété

Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.

$Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Réciproque de la propriété 1

Propriété

Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

$Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Propriété 2

Propriété

Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante, alors ces deux angles ont la même mesure.

$Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Réciproque de la propriété 2

Propriété

Si deux droites coupées par une droite sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

$Caractériser le parallélisme avec les angles cinquième mathématiques$

Astuce

Les propriétés 1 et 2 permettent de déterminer des mesures d’angles.
Les réciproques des propriétés 1 et 2 permettent de prouver que deux droites sont parallèles.