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Champs et forces

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Introduction :

Ce cours abordera les notions de champs et de forces.

Dans un premier temps, nous introduirons la notion de champs, puis aux champs les plus utilisés, comme le champ magnétique. Nous passerons ensuite à l’étude du champ électrostatique avant de conclure par les champs gravitationnels.

La notion de champs

Champs scalaire et vectoriel

La notion de champs a été proposée pour la première fois par le scientifique Faraday au XIXe siècle alors qu’il étudiait les aimants et donc les champs magnétiques. Par la suite le terme « champs » a été appliqué à d’autres domaines ; par exemple, dans les expressions champ de gravitation, champ de pesanteur ou champ électrostatique. Reste à définir ce qu’est exactement un champ en physique.

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Définition

Champ :

Un champ est une zone qui regroupe des mesures d’une grandeur physique donnée pour une région de l’espace précise.

Il existe deux types de champs :

  • les champs scalaires qui associent à chaque point de l’espace une valeur numérique ;
  • les champs vectoriels qui associent à chaque point de l’espace, un vecteur (et donc un sens, une direction et une intensité).
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Exemple

La carte de températures associe des chiffres à différentes régions de France, autrement dit, des champs scalaires à des régions géographiques.

La carte des vents quant à elle présente des directions et des valeurs de vent, autrement dit il s’agit de champs vectoriels.

Carte des températures en France Carte des températures en France

Carte des vents en France Carte des vents en France

Lignes de champs

Lorsque plusieurs valeurs de champs sont identiques, on peut les regrouper en lignes de champs, on distingue :

  • les lignes de champs scalaires ;
  • des lignes de champs vectorielles.

Les lignes de champ d’un champ scalaire sont des lignes reliant chaque point de l’espace qui ont la même valeur numérique.

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Exemple

Par exemple, les lignes de champs de pression à la météo.

Carte des lignes de champs de pression en France Carte des lignes de champs de pression en France

Les lignes de champ d’un champ vectoriel sont les lignes tangentes au vecteur du champ en chacun de ses points à un instant donné.

Lignes de champ Lignes de champ

On se sert des lignes de champs vectoriels pour représenter des vitesses à un instant tt. Cela sert par exemple, à modéliser les forces aérodynamiques exercées par l’air sur une aile d’avion

Lignes de champs vectoriels Lignes de champs vectoriels

Champ uniforme

Un champ est dit uniforme si sa valeur, sa direction et son sens sont stables pour tous les points d’une région de l’espace.

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Exemple

Par exemple, le champ gravitationnel terrestre est uniforme dans une petite région de l’espace.

Il existe différents types de champs, le premier d’entre eux est le champ magnétique.

Le champ magnétique

Propriétés

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Définition

Champ magnétique :

Un champ magnétique est un champ vectoriel qui peut être généré par un aimant mais aussi par un courant ou un champ électrique. Il est symbolisé par B\overrightarrow{\text{B}}.

Un champ magnétique a la particularité d’agir sur les charges électriques.

L’unité de mesure d’un champ magnétique est le Tesla (TT) ; il peut être mesuré par un teslamètre.

Telsamètre Teslamètre

C’est Nikola Tesla, un scientifique de la première moitié du XXe siècle qui a donné son nom à l’unité de mesure.

Nikola Tesla Nikola Tesla - Domaine public - CC-PD-Mark

De plus, si plusieurs points de l’espace sont soumis à un champ magnétique, créé par exemple par un aimant droit, alors des aiguilles aimantées mobiles placées en ces points prennent des directions bien déterminées.

Expérience champ magnétique Expérience champ magnétique

Grâce à ces aiguilles aimantées, il est possible de déterminer les vecteurs champs magnétiques en chaque point, ils correspondent à la direction et au sens dans lequel pointe l’aiguille aimantée.

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Exemple

Par exemple, en mettant un aimant sur une feuille blanche et en ajoutant de la poudre de fer dessus on observe que la poudre s’organise selon les lignes de champs qui correspondent au champ magnétique.

Ainsi, on peut déterminer les lignes de champs magnétiques de l’aimant droit :

Lignes de champs magnétiques de l'aimant droit Lignes de champs magnétiques de l'aimant droit

Il est également possible de générer un champ magnétique uniforme entre les deux pôles d’un aimant en U ; comme le montre cet exemple, les lignes de champs entre les branches de l’aimant sont parallèles :

Champ magnétique aux pôles d'un aimant en U Champ magnétique aux pôles d'un aimant en U

Les champs magnétiques sont très utiles aux hommes, c’est par exemple sur eux qu’est basée la technologie des machines à imagerie par résonnance magnétique, autrement dit les IRM.

Le champ magnétique terrestre

Le plus grand champ magnétique observable de près est le champ magnétique terrestre. Le noyau de la Terre est constitué en majorité de fer en fusion, les mouvements de ce fluide engendrent un champ magnétique. C’est ainsi qu’il est possible de définir des lignes de champs, des pôles magnétiques et une valeur de champ :

Lignes de champs aux pôles de la Terre Lignes de champs aux pôles de la Terre

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Attention

Les deux pôles magnétiques ne sont pas à l’emplacement des deux pôles géographiques. Autrement dit, l’axe qui relie les deux pôles du champ magnétique terrestre n’est pas superposé à l’axe de rotation terrestre (celui qui relie les deux pôles géographiques). Ces deux axes forment un angle qui varie très peu, il est actuellement de 11° environ.

De plus, le pôle nord géographique est en réalité le pôle sud magnétique, cela pourra influer sur certains exercices.

La valeur B\overrightarrow{\text{B}} du champ magnétique terrestre est très faible : elle est de l’ordre de 47 microteslas (µT) à Paris. Ce champ est cependant suffisant pour orienter l’aiguille d’une boussole en direction du pôle sud magnétique et donc du pôle nord géographique.

Le champ électrostatique

Le champ électrostatique peut être créé par un condensateur plan ou par une charge électrique.

Champ électrostatique créé par un condensateur plan

Un condensateur plan est composé de deux plaques conductrices espacées d’une distance dd et parallèles l’une à l’autre.

Lorsqu’on applique une tension électrique U à un condensateur plan, on engendre un champ électrostatique uniforme entre les deux plaques (noté E\overrightarrow{\text{E}}). Ce champ est perpendiculaire aux plaques et il est orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

Champ sur un condensateur plan Champ sur un condensateur plan

Paraphrase Formule Unités
La valeur du champ électrostatique entre les deux plaques d’un condensateur plan est égale au rapport entre la tension appliquée et la distance des bornes du condensateur. E=Ud\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel=\frac{\text{U}}{\text{d}} Le champ électrostatique (donc la norme du vecteur E\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel) est en volt par mètre (V m1\text{V}\cdot\ {\text{m}}^{-1})

La tension (U{\text{U}}) est en volt (V\text{V})

La distance (d{\text{d}}) est en mètre (m\text{m})

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Exemple

Par exemple si l’on applique une tension de 10 V dans un condensateur dont les armatures (ou plaques) sont distantes de 10 cm, un champ électrique E\overrightarrow{\text{E}} est généré de valeur : E=100,1=100Vm1\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel=\frac{10}{0,1}=100 V\cdot \text{m}^{-1}.

Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle Q\text{Q} placée dans l’espace, crée autour d’elle un champ électrostatique que l’on représente à l’aide d’un champ vectoriel E\overrightarrow{\text{E}} :

  • sa direction est une droite passant par la charge ponctuelle ;
  • son sens dépend de la charge :
  • le champ est centrifuge (il s’éloigne de la charge) si celle-ci est positive,

Champ magnétique centrifuge Champ magnétique centrifuge

  • le champ est centripète (il est dirigé vers la charge) si celle-ci est négative.

Champ magnétique centripète Champ magnétique centripète

Paraphrase Formule Unités
La valeur du champ électrostatique d’une charge ponctuelle est égale à la valeur de cette charge multipliée par la constante de Coulomb et divisée par la distance à la charge au carré. E=KlQlr2\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel=\frac{K lQl}{r^2} Le champ électrostatique E\parallel\overrightarrow{E}\parallel est en volt par mètre (Vm1\text{V}\cdot \text{m}^{-1})

La charge Q\text{Q} est en Coulomb (C\text C), on prend sa valeur absolue car elle peut être négative.

rr est en mètres, c’est la distance à laquelle on se place par rapport à la charge.

kk est la constante de Coulomb

k=9×109Nm2c2k=9\times10^9N\cdot \text{m}^2\cdot c^{-2}

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Exemple

Par exemple, un proton de charge 1,6.10-19C exerce à 1 m un champ électrostatique :

E=9.109×1,6.101912=1,44.109Vm1\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel=\frac{9.10^9\times1,6.10^{-19}}{1^2}=1,44.10^{-9}\text{V}\cdot \text{m}^{-1}

Force subie par une particule chargée dans un champ électrostatique

Paraphrase Formule Unités
Une particule de charge q placée dans un champ électrostatique E\overrightarrow{\text{E}} subit une force électrostatique F\overrightarrow{\text{F}}. La norme du vecteur F\text{F} est égale à la charge multipliée par la norme du vecteur représentant le champ électrostatique. F=q×E\overrightarrow{\text{F}}=q\times \overrightarrow{\text{E}} La force électrostatique F\overrightarrow{\text{F}} est en newtons (N\text N)

La charge q\text{q} est en Coulomb (C\text C)

E\overrightarrow{\text{E}} est le champs électrostatique en volt par mètre (V m1\text{V}\cdot\ \text{m}^{-1})

On a aussi :
E=Fq\overrightarrow{\text{E}}=\dfrac{\overrightarrow{\text{F}}}{\text{q}}
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Astuce

Cette force peut être répulsive ou attractive selon la charge de la particule voilà pourquoi on ne prend pas la valeur absolue de qq dans cette formule.

En effet, dans un condensateur plan, une particule chargée négativement se déplace vers la plaque positive, donc dans le sens opposé à celui du champ électrostatique. Au contraire, une particule chargée positivement se déplace vers la plaque négative, donc dans le même sens que celui du champ électrostatique.

Condensateur plan 2 Condensateur plan avec particule chargée négativement

Condendateur plan Condensateur plan avec particule chargée positivement

À l’aide des deux formules que nous venons d’étudier, on peut en déduire une troisième :

  • le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle est : E=KQr2\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel=\frac{\text{K} |Q|}{r^2}
  • la force exercée est : F=q×E\overrightarrow{\text{F}}=q\times \overrightarrow{E}
  • Donc on a F=kq×Qr2\overrightarrow{\text{F}}=k\cdot \frac{q\times |Q|}{r^2}

On retrouve ainsi la formule de la force de l’interaction électrostatique qui agit entre deux corps portant des charges électriques :

Paraphrase Formule Unités
L’interaction forte entre deux corps portant des charges électriques est égale à la constante de Coulomb, multipliée par la valeur absolue de leur produit et divisée par leur distance au carré. FAB=FBA=k×lQA×QBld2\small \overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{A}}{\text{B}}}=\overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{B}}{\text{A}}}=k\times \dfrac{l\text{Q}\text{A}\times \text{Q}\text{B}l}{\text{d}^2} Le champ électrostatique E\parallel\overrightarrow{\text{E}}\parallel est en volt par mètre (Vm1\text{V}\cdot \text{m}^{-1})

La force F\overrightarrow{\text{F}} est en newton (N\text{N})

Les charges des particules q\text{q} sont en coulomb (C\text{C})

La distance (d\text{d}) est en mètre

La constante de Coulomb k vaut k=9,0.109Nm2C2k=9,0.10^9\text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}

Les champs gravitationnels

Champ de gravitation (rappel)

Voici un rappel sur l’attraction gravitationnelle entre deux corps :

Paraphrase Formule Unités
L’interaction gravitationnelle entre deux objets est égale à la constante de pesanteur, multipliée par le produit de leurs masses et divisé par le carré de leur distance. FAB=FBA=GmA×mBd2\overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{A}}{\text{B}}}=\overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{B}}{A}}=G\cdot \frac{m\text{A}\times m\text{B}}{d^2} L’interaction gravitationnelle F\overrightarrow{\text{F}} est en newtons (N\text N)

La masse des objets (m) est en kilogramme (kg\text {kg})

La distance entre les objets est en mètre (m\text m)

La constante de gravitation universelle vaut G=6,67×1011Nm2kg2G=6,67\times 10^{-11}N\cdot m^2\cdot kg^{-2}

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Exemple

Par exemple :

  • Masse de la Terre : MT=5,98×1024 kg\text{MT} = 5,98\times 10^{24}\ \text{kg}
  • Masse de la Lune : ML=7,36×1022 kg\text{ML} = 7,36\times 10^{22}\ \text{kg}
  • Distance Terre-Lune : DTL=3,8×108\text{D}_{\frac{\text{T}}{\text{L}}}=3,8\times 10^8

FTL=FLT=6,67×1011×5,98×1024×7,36×10223,8×10822,03×1020N\overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{T}}{\text{L}}}=\overrightarrow{{\text{F}}\frac{\text{L}}{\text{T}}}=6,67\times 10^{-11}\times \frac{5,98\times 10^{24}\times7,36\times 10^{22}}{3,8\times 10^8{^2}}\approx2,03\times 10^{20} \text{N}

Champ de pesanteur local et intensité de pesanteur

Au voisinage d’un astre, il y a un champ de pesanteur local (noté g\overrightarrow{g}).

Pour simplifier, on l’assimile au champ de gravitation dont il partage les caractéristiques :

  • il est dirigé vers le centre de l’astre;
  • et localement, il est considéré comme vertical au sol.

Champ de pesanteur Champ de pesanteur

La norme du vecteur g\overrightarrow{g} est appelée l’intensité de pesanteur.

bannière à retenir

À retenir

Le champs de pesanteur local varie en fonction de l’altitude : plus on s’éloigne de l’astre, moins il est fort.

Paraphrase Formule Unités
Le champ de pesanteur local ou intensité de pesanteur, est égal(e) au rapport du poids de l’objet sur sa masse. g=Pm\overrightarrow{\text{g}}=\frac{\overrightarrow{\text{P}}}{\text{m}} g\overrightarrow{\text{g}} l’intensité de pesanteur est en newton par kilogramme (N kg1\text{N}\cdot\ \text{kg}^{-1})

P\overrightarrow{\text{P}} le poids est en newton (N\text N)

La masse m\text m est en kilogramme

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Attention

La masse et le poids ne sont pas la même notion, la masse est propre à un corps et le poids dépend de l’astre sur lequel on se trouve ! Par exemple, le poids d’un sumo d’une masse de 150 kg est de 150×9,81=1471,5 N150\times 9,81=1471,5\ \text{N}.

Accélération de pesanteur et poids d’un corps

Paraphrase Formule
Pour rappel on voit en seconde une autre forme de cette formule. Le poids d’un objet est égal à sa masse multipliée par l’accélération normale de pesanteur terrestre. P=m×g0\overrightarrow{\text{P}}=\text{m}\times \text{g}_0

La constante de pesanteur terrestre est une constante. Elle est donnée en seconde mais on peut la retrouver très facilement.

bannière à retenir

À retenir

On note g0g0 l’accélération normale de pesanteur à une altitude zéro sur Terre. Pour déterminer la valeur de g0g0 on utilise la formule générale de l’attraction gravitationnelle :

g0=G×MTRT2g0=G\times \dfrac{MT}{R_T{^2}}T2MT donc g06,671011×5,98×10246375×10329,81 m×s2g_0\approx 6,67\cdot 10^{-11}\times\frac{5,98\times 10^{24}}{6375\times 10^3{^2}}\approx9,81\ \text{m}\times \text{s}^{-2}

L’expression de l’accélération normale de pesanteur g0g_0 est exprimée en mètre seconde par seconde (ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2}). L’intensité de pesanteur g\overrightarrow{g} vue précédemment est quant à elle en newton par kilogramme. Pour passer d’une unité à l’autre il suffit de savoir que :

1 N=1kgms21\ \text{N} = 1 \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2} et donc que 1 Nkg1=1kgms2kg1=1 ms21\ \text{N}\cdot \text{kg}^{-1}= 1 \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{kg}^{-1}=1\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}

Toutefois, la formule du poids a une variante plus générale. En effet, on parle de poids sur Terre mais cette force est à l’œuvre pour n’importe quel objet de l’espace. Aussi, lorsqu’un objet est placé dans un champ gravitationnel G\overrightarrow{\text{G}} il subit une force gravitationnelle proportionnelle à sa masse et multipliée par la force du champs local.

F:m×G\overrightarrow{\text{F}}:m\times \overrightarrow{\text{G}}

Cette force attire l’objet vers le centre de l’astre, donc vers la surface de celui-ci, et elle est spécifique à chaque astre. Par exemple sur la Lune, la force attirant un corps est six fois moins grande que sur Terre.

Conclusion :

Cette leçon sur les champs et forces est maintenant terminée ; nous savons qu’un champ est associé à une grandeur physique qu’il va donner à chaque point de l’espace où il règne.

Les trois principaux champs étudiés ici sont des champs vectoriels :

  • le champ magnétique créé par un aimant ;
  • le champ électrostatique créé par un condensateur plan ou une charge ;
  • le champ gravitationnel créé par une masse.