Convertir des unités de grandeurs composées
Introduction :
Pour pouvoir comparer des grandeurs de même nature entre elles, les additionner, les soustraire ou tout simplement donner un résultat dans une unité de mesure spécifique, il faut très souvent changer d’unités.
Nous maîtrisons désormais les techniques de conversions des grandeurs simples. Nous aborderons donc dans ce cours la conversion des grandeurs composées en commençant par l’aire et le volume, puis en donnant une méthodologie valable pour l’ensemble des grandeurs composées.
Cas particuliers de l’aire et du volume
Cas particuliers de l’aire et du volume
Parce que l’aire et le volume sont les deux grandeurs produits de deux grandeurs de même nature (longueur), des tableaux de conversions ont pu être établis sur le modèle utilisé pour les longueurs mais en y apportant une notion de dimensions à savoir $2$ pour l’aire et $3$ pour le volume. C’est ce que nous allons voir maintenant.
Aire
Aire
Par rapport au tableau de conversions des longueurs, celui des aires possède $2$ colonnes par unité.
| $\text{km}^2$ | $\text{hm}^2$ | $\text{dam}^2$ | $\text{m}^2$ | $\text{dm}^2$ | $\text{cm}^2$ | $\text{mm}^2$ | |||||||
MÉTHODOLOGIE
- On écrit le nombre de départ dans le tableau de conversion ci-dessus en veillant à bien inscrire le chiffre des unités de ce nombre dans la colonne de droite de l’unité de départ.
- Le nombre d’arrivée est le nombre obtenu en positionnant la virgule sur le bord droit de la colonne de droite de l’unité d’arrivée.
Astuce
Si besoin, les colonnes vides peuvent être remplies d’un $0$.
Exemple
On souhaite convertir $125,439\text{ dam}^2$ en $\text{m}^2$.
On écrit $125439$ en positionnant le $\blue 5$ dans la colonne de droite des $\blue{\text{dam}^2}$.
| $\text{km}^2$ | $\text{hm}^2$ | $\blue{\text{dam}^2}$ | $\text{m}^2$ | $\text{dm}^2$ | $\text{cm}^2$ | $\text{mm}^2$ | |||||||
| $1$ | $2$ | $\blue 5$ | $4$ | $3$ | $9$ | ||||||||
Pour obtenir la conversion en $\text{m}^2$, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des $\red{\text{m}^2}$.
| $\text{km}^2$ | $\text{hm}^2$ | $\text{dam}^2$ | $\red{\text{m}^2}$ | $\text{dm}^2$ | $\text{cm}^2$ | $\text{mm}^2$ | |||||||
| $1$ | $2$ | $5$ | $4$ | $3\ \large{\red{,}}$ | $9$ | ||||||||
- On obtient $12\ 543\red{,}9\text{ m}^2$ donc $125,439\text{ dam}^2=12\ 543,9\text{ m}^2$.
De la même façon, on pourrait convertir en $\purple{\text{km}^2}$ ou en $\green{\text{cm}^2}$.
| $\purple{\text{km}^2}$ | $\text{hm}^2$ | $\text{dam}^2$ | $\text{m}^2$ | $\text{dm}^2$ | $\green{\text{cm}^2}$ | $\text{mm}^2$ | |||||||
| $\purple{0\ \large{,}}$ | $\purple 0$ | $1$ | $2$ | $5$ | $4$ | $3$ | $9$ | ||||||
| $1$ | $2$ | $5$ | $4$ | $3$ | $9$ | $\green 0$ | $\green 0$ | $\green{0\ \large{,}}$ | |||||
- On obtiendrait $125,439\text{ dam}^2 = \purple{0,0}125439\text{ km}^2 = 125439\green{000}\text{ cm}^2$.
Volume
Volume
Par rapport au tableau de conversion des longueurs, celui des volumes possède $3$ colonnes par unité. Si nécessaire, on peut rajouter des titres de colonnes aux niveaux des $\text{dm}^3$ et des $\text{cm}^3$ correspondant aux unités de contenance (rappel : $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$).
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
La méthodologie est identique à celle mise en place pour les aires, excepté pour les mesures données ou demandées en unités de contenance pour lesquelles le tableau fonctionne comme un tableau de conversions de grandeurs simples.
Exemple
On souhaite convertir $48,5\text{ m}^3$ en $\text{cm}^3$ puis en $\text{daL}$.
On écrit $485$ en positionnant le $\blue 8$ dans la colonne de droite des $\blue{\text{m}^3}$.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\blue{\text{m}^3}$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
| $4$ | $\blue 8$ | $5$ | ||||||||||||||||||
Pour obtenir la conversion en $\text{cm}^3$, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des $\red{\text{cm}^3}$.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\red{\text{cm}^3}$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
| $4$ | $8$ | $5$ | $\red 0$ | $\red 0$ | $\red 0$ | $\red 0$ | $\red{0\ \large{,}}$ | |||||||||||||
- On obtient $48\ 5\red{00}\ \red{000}\text{ cm}^3$.
Pour obtenir la conversion en $\text{daL}$, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne des $\purple{\text{daL}}$.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\purple{\text{daL}}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
| $4$ | $8$ | $5$ | $\purple{0\ \large{,}}$ | |||||||||||||||||
- On obtient $4\ 85\purple{0}\text{ daL}$.
De la même façon, pour obtenir la conversion en $\text{dam}^3$, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des $\green{\text{dam}^3}$.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\green{\text{dam}^3}$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ | ||||||||||||||
| $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$ | |||||||||||||||
| $\green{0\ \large{,}}$ | $\green 0$ | $4$ | $8$ | $5$ | ||||||||||||||||
- On obtient $\green{0,0}485\text{ dam}^3$.
Cas général
Cas général
À retenir
Pour convertir une grandeur composée, on convertit chacune des grandeurs simples qui la composent puis on en effectue le produit ou le quotient.
Cette méthode a le mérite de fonctionner avec toutes les grandeurs composées, y compris aires et volumes. Par contre, il faut parfaitement maîtriser la conversion des grandeurs simples.
Exemple
- Convertir les grandeurs produits suivantes.
- $125,439\text{ dam}^2$ en $\text{m}^2$.
$125,439\text{ dam}^2 = 125,439\text{ dam} \times 1\text{ dam}$
Or $125,439\text{ dam} = 1254,39\text{ m}$ et $1\text{ dam} =10\text{ m}$
Donc :
$125,439\text{ dam}^2 = 1254,39\text{ m} \times 10\text{ m} = 12543,9\text{ m}^2$
- $48,5\text{ m}^3$ en $\text{cm}^3$ puis en $\text{daL}$.
$48,5\text{ m}^3=48,5\text{ m} \times 1\text{ m} \times 1\text{ m}$
Or $48,5\text{ m} = 4\ 850\text{ cm}$ et $1\text{ m} = 100\text{ cm}$
Donc :
$48,5\text{ m}^3 = 4\ 850\text{ cm} \times 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} = 48\ 500\ 000\text{ cm}^3$
Pour convertir en $\text{daL}$, passons d’abord par les $\text{L}$ (soit les $\text{dm}^3$).
On a $48,5\text{ m} = 485\text{ dm}$ et $1\text{ m} = 10\text{ dm}$
Donc :
$\begin{aligned}48,5\text{ m}^3 &= 485\text{ dm} \times 10\text{ dm} \times 10\text{ dm} \\&= 48\ 500\text{ dm}^3 \\&= 48\ 500\text{ L} \\&= 4\ 850 \text{ daL}\end{aligned}$
- $1\ 600\text{ Wmin}$ en $\text{Ws}$ puis en $\text{kWh}$.
$1\ 600\text{ Wmin} = 1\ 600\text{ W} \times 1\text{ min}$
Or $1\text{ min} = 60\text{ s}$
Donc :
$1\ 600\text{ Wmin} = 1\ 600\text{ W} \times 60\text{ s} = 96\ 000\text{ Ws}$
On a aussi $1\ 600\text{ W} = 1,6\text{ kW}$ et $1\text{ min} = \frac{1}{60}\text{ h}$
Donc :
$1\ 600\text{ Wmin} = 1,6\text{ kW} \times \frac{1}{60}\text{ h} \approx 0,027\text{ kWh}$
- Convertir les grandeurs quotients suivantes.
- $80\text{ km/h}$ en $\text{m/s}$.
$80\text{ km/h} = \frac{80\text{ km}}{1\text{ h}}$
Or $80\text{ km} = 80\ 000\text{ m}$ et $1\text{ h} = 3\ 600\text{ s}$
Donc :
$80\text{ km/h} = \frac{80\ 000\text{ m}}{3\ 600\text{ s}} \approx 22,22\text{ m/s}$
- $10,2\text{ m/s}$ en $\text{km/h}$.
$10,2\text{ m/s} =\frac{10,2\text{ m}}{1\text{ s}}$
Or $10,2\text{ m} = 0,0102\text{ km}$ et $1\text{ s} = \frac{1}{3\ 600}\text{ h}$
Donc :
$10,2\text{ m/s} = \frac{0,0102\text{ km}}{\frac{1}{3\ 600}\text{ h}} = 36,72\text{ km/h}$
- $11\ 350\text{ kg/m}^3$ (masse volumique du plomb) en $\text{g/cm}^3$.
$11\ 350\text{ kg/m}^3 = \frac{11\ 350\text{ kg}}{1\text{ m}^3}$
Or $11\ 350\text{kg}= 11\ 350\ 000\text{ g}$ et $1\text{ m}^3=1\text{ m} \times 1\text{ m} \times 1 \text{ m} = 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} \times 100\text{ cm}=1\ 000\ 000\text{ cm}^3$
Donc :
$11\ 350\text{ kg/m}^3 = \frac{11\ 350\ 000\text{ g}}{1\ 000\ 000\text{ cm}^3} = 11,35\text{ g/cm}^3$
- $1\ 500\text{ mL/min}$ en $\text{m}^3\text{/h}$.
$1\ 500\text{ mL/min} = \frac{1\ 500\text{ mL}}{1\text{ min}}$
Or :
$\begin{aligned}1\ 500\text{ mL} &= 1,5\text{ L} \\&= 1,5\text{ dm}^3 \\&= 1,5\text{ dm} \times 1\text{ dm} \times 1\text{ dm}\\ &= 0,15\text{ m} \times 0,1\text{ m} \times 0,1\text{ m} \\ &= 0,0015\text{ m}^3\end{aligned}$
Et $1\text{ min} = \frac{1}{60}\text{ h}$
Donc :
$1\ 500\text{ mL/min} = \frac{0,0015\text{ m}^3}{\frac{1}{60}\text{ h}} = 0,09\text{ m}^3\text{/h}$
Conclusion :
Ce cours est évidemment très important car on utilise très fréquemment la conversion d’unités pour ajouter, soustraire ou comparer des grandeurs de même nature entre elles. Il faut donc maintenant parfaitement maîtriser la conversion des grandeurs simples comme celle des grandeurs composées.