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Changements d'unités : convertir des grandeurs composées

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Introduction :

Pour pouvoir comparer des grandeurs de même nature entre elles, les additionner, les soustraire ou tout simplement donner un résultat dans une unité de mesure spécifique, il faut très souvent changer d’unités.

Nous maîtrisons désormais les techniques de conversions des grandeurs simples. Nous aborderons donc dans ce cours la conversion des grandeurs composées en commençant par l’aire et le volume, puis en donnant une méthodologie valable pour l’ensemble des grandeurs composées.

Cas particuliers de l’aire et du volume

Parce que l’aire et le volume sont les deux grandeurs produits de deux grandeurs de même nature (longueur), des tableaux de conversions ont pu être établis sur le modèle utilisé pour les longueurs mais en y apportant une notion de dimensions à savoir 22 pour l’aire et 33 pour le volume. C’est ce que nous allons voir maintenant.

Aire

Par rapport au tableau de conversions des longueurs, celui des aires possède 22 colonnes par unité.

km2\text{km}^2 hm2\text{hm}^2 dam2\text{dam}^2 m2\text{m}^2 dm2\text{dm}^2 cm2\text{cm}^2 mm2\text{mm}^2

MÉTHODOLOGIE

  • On écrit le nombre de départ dans le tableau de conversion ci-dessus en veillant à bien inscrire le chiffre des unités de ce nombre dans la colonne de droite de l’unité de départ.
  • Le nombre d’arrivée est le nombre obtenu en positionnant la virgule sur le bord droit de la colonne de droite de l’unité d’arrivée.
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Astuce

Si besoin, les colonnes vides peuvent être remplies d’un 00.

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Exemple

On souhaite convertir 125,439 dam2125,439\text{ dam}^2 en m2\text{m}^2.

On écrit 125439125439 en positionnant le 5\blue 5 dans la colonne de droite des dam2\blue{\text{dam}^2}.

km2\text{km}^2 hm2\text{hm}^2 dam2\blue{\text{dam}^2} m2\text{m}^2 dm2\text{dm}^2 cm2\text{cm}^2 mm2\text{mm}^2
11 22 5\blue 5 44 33 99

Pour obtenir la conversion en m2\text{m}^2, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des m2\red{\text{m}^2}.

km2\text{km}^2 hm2\text{hm}^2 dam2\text{dam}^2 m2\red{\text{m}^2} dm2\text{dm}^2 cm2\text{cm}^2 mm2\text{mm}^2
11 22 55 44 3 ,3\ \large{\red{,}} 99
  • On obtient 12 543,9 m212\ 543\red{,}9\text{ m}^2 donc 125,439 dam2=12 543,9 m2125,439\text{ dam}^2=12\ 543,9\text{ m}^2.

De la même façon, on pourrait convertir en km2\purple{\text{km}^2} ou en cm2\green{\text{cm}^2}.

km2\purple{\text{km}^2} hm2\text{hm}^2 dam2\text{dam}^2 m2\text{m}^2 dm2\text{dm}^2 cm2\green{\text{cm}^2} mm2\text{mm}^2
0 ,\purple{0\ \large{,}} 0\purple 0 11 22 55 44 33 99
11 22 55 44 33 99 0\green 0 0\green 0 0 ,\green{0\ \large{,}}
  • On obtiendrait 125,439 dam2=0,0125439 km2=125439000 cm2125,439\text{ dam}^2 = \purple{0,0}125439\text{ km}^2 = 125439\green{000}\text{ cm}^2.

Volume

Par rapport au tableau de conversion des longueurs, celui des volumes possède 33 colonnes par unité. Si nécessaire, on peut rajouter des titres de colonnes aux niveaux des dm3\text{dm}^3 et des cm3\text{cm}^3 correspondant aux unités de contenance (rappel : 1 L=1 dm31\text{ L} = 1\text{ dm}^3).

km3\text{km}^3 hm3\text{hm}^3 dam3\text{dam}^3 m3\text{m}^3 dm3\text{dm}^3 cm3\text{cm}^3 mm3\text{mm}^3
hL\text{hL} daL\text{daL} L\text{L} dL\text{dL} cL\text{cL} mL\text{mL}

La méthodologie est identique à celle mise en place pour les aires, excepté pour les mesures données ou demandées en unités de contenance pour lesquelles le tableau fonctionne comme un tableau de conversions de grandeurs simples.

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Exemple

On souhaite convertir 48,5 m348,5\text{ m}^3 en cm3\text{cm}^3 puis en daL\text{daL}.

On écrit 485485 en positionnant le 8\blue 8 dans la colonne de droite des m3\blue{\text{m}^3}.

km3\text{km}^3 hm3\text{hm}^3 dam3\text{dam}^3 m3\blue{\text{m}^3} dm3\text{dm}^3 cm3\text{cm}^3 mm3\text{mm}^3
hL\text{hL} daL\text{daL} L\text{L} dL\text{dL} cL\text{cL} mL\text{mL}
44 8\blue 8 55

Pour obtenir la conversion en cm3\text{cm}^3, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des cm3\red{\text{cm}^3}.

km3\text{km}^3 hm3\text{hm}^3 dam3\text{dam}^3 m3\text{m}^3 dm3\text{dm}^3 cm3\red{\text{cm}^3} mm3\text{mm}^3
hL\text{hL} daL\text{daL} L\text{L} dL\text{dL} cL\text{cL} mL\text{mL}
44 88 55 0\red 0 0\red 0 0\red 0 0\red 0 0 ,\red{0\ \large{,}}
  • On obtient 48 500 000 cm348\ 5\red{00}\ \red{000}\text{ cm}^3.

Pour obtenir la conversion en daL\text{daL}, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne des daL\purple{\text{daL}}.

km3\text{km}^3 hm3\text{hm}^3 dam3\text{dam}^3 m3\text{m}^3 dm3\text{dm}^3 cm3\text{cm}^3 mm3\text{mm}^3
hL\text{hL} daL\purple{\text{daL}} L\text{L} dL\text{dL} cL\text{cL} mL\text{mL}
44 88 55 0 ,\purple{0\ \large{,}}
  • On obtient 4 850 daL4\ 85\purple{0}\text{ daL}.

De la même façon, pour obtenir la conversion en dam3\text{dam}^3, on positionne la virgule sur le bord droit de la colonne de droite des dam3\green{\text{dam}^3}.

km3\text{km}^3 hm3\text{hm}^3 dam3\green{\text{dam}^3} m3\text{m}^3 dm3\text{dm}^3 cm3\text{cm}^3 mm3\text{mm}^3
hL\text{hL} daL\text{daL} L\text{L} dL\text{dL} cL\text{cL} mL\text{mL}
0 ,\green{0\ \large{,}} 0\green 0 44 88 55
  • On obtient 0,0485 dam3\green{0,0}485\text{ dam}^3.

Cas général

bannière à retenir

À retenir

Pour convertir une grandeur composée, on convertit chacune des grandeurs simples qui la composent puis on en effectue le produit ou le quotient.

Cette méthode a le mérite de fonctionner avec toutes les grandeurs composées, y compris aires et volumes. Par contre, il faut parfaitement maîtriser la conversion des grandeurs simples.

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Exemple

  • Convertir les grandeurs produits suivantes.
  • 125,439 dam2125,439\text{ dam}^2 en m2\text{m}^2.

125,439 dam2=125,439 dam×1 dam125,439\text{ dam}^2 = 125,439\text{ dam} \times 1\text{ dam}
Or 125,439 dam=1254,39 m125,439\text{ dam} = 1254,39\text{ m} et 1 dam=10 m1\text{ dam} =10\text{ m}
Donc :
125,439 dam2=1254,39 m×10 m=12543,9 m2125,439\text{ dam}^2 = 1254,39\text{ m} \times 10\text{ m} = 12543,9\text{ m}^2

  • 48,5 m348,5\text{ m}^3 en cm3\text{cm}^3 puis en daL\text{daL}.

48,5 m3=48,5 m×1 m×1 m48,5\text{ m}^3=48,5\text{ m} \times 1\text{ m} \times 1\text{ m}
Or 48,5 m=4 850 cm48,5\text{ m} = 4\ 850\text{ cm} et 1 m=100 cm1\text{ m} = 100\text{ cm}
Donc :
48,5 m3=4 850 cm×100 cm×100 cm=48 500 000 cm348,5\text{ m}^3 = 4\ 850\text{ cm} \times 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} = 48\ 500\ 000\text{ cm}^3

Pour convertir en daL\text{daL}, passons d’abord par les L\text{L} (soit les dm3\text{dm}^3).
On a 48,5 m=485 dm48,5\text{ m} = 485\text{ dm} et 1 m=10 dm1\text{ m} = 10\text{ dm}
Donc :
48,5 m3=485 dm×10 dm×10 dm=48 500 dm3=48 500 L=4 850 daL\begin{aligned}48,5\text{ m}^3 &= 485\text{ dm} \times 10\text{ dm} \times 10\text{ dm} \&= 48\ 500\text{ dm}^3 \&= 48\ 500\text{ L} \&= 4\ 850 \text{ daL}\end{aligned}

  • 1 600 Wmin1\ 600\text{ Wmin} en Ws\text{Ws} puis en kWh\text{kWh}.

1 600 Wmin=1 600 W×1 min1\ 600\text{ Wmin} = 1\ 600\text{ W} \times 1\text{ min}
Or 1 min=60 s1\text{ min} = 60\text{ s}
Donc :
1 600 Wmin=1 600 W×60 s=96 000 Ws1\ 600\text{ Wmin} = 1\ 600\text{ W} \times 60\text{ s} = 96\ 000\text{ Ws}
On a aussi 1 600 W=1,6 kW1\ 600\text{ W} = 1,6\text{ kW} et 1 min=160 h1\text{ min} = \frac{1}{60}\text{ h}
Donc :
1 600 Wmin=1,6 kW×160 h0,027 kWh1\ 600\text{ Wmin} = 1,6\text{ kW} \times \frac{1}{60}\text{ h} \approx 0,027\text{ kWh}

  • Convertir les grandeurs quotients suivantes.
  • 80 km/h80\text{ km/h} en m/s\text{m/s}.

80 km/h=80 km1 h80\text{ km/h} = \frac{80\text{ km}}{1\text{ h}}
Or 80 km=80 000 m80\text{ km} = 80\ 000\text{ m} et 1 h=3 600 s1\text{ h} = 3\ 600\text{ s}
Donc :
80 km/h=80 000 m3 600 s22,22 m/s80\text{ km/h} = \frac{80\ 000\text{ m}}{3\ 600\text{ s}} \approx 22,22\text{ m/s}

  • 10,2 m/s10,2\text{ m/s} en km/h\text{km/h}.

10,2 m/s=10,2 m1 s10,2\text{ m/s} =\frac{10,2\text{ m}}{1\text{ s}}
Or 10,2 m=0,0102 km10,2\text{ m} = 0,0102\text{ km} et 1 s=13 600 h1\text{ s} = \frac{1}{3\ 600}\text{ h}
Donc :
10,2 m/s=0,0102 km13 600 h=36,72 km/h10,2\text{ m/s} = \frac{0,0102\text{ km}}{\frac{1}{3\ 600}\text{ h}} = 36,72\text{ km/h}

  • 11 350 kg/m311\ 350\text{ kg/m}^3 (masse volumique du plomb) en g/cm3\text{g/cm}^3.

11 350 kg/m3=11 350 kg1 m311\ 350\text{ kg/m}^3 = \frac{11\ 350\text{ kg}}{1\text{ m}^3}
Or 11 350kg=11 350 000 g11\ 350\text{kg}= 11\ 350\ 000\text{ g} et 1 m3=1 m×1 m×1 m=100 cm×100 cm×100 cm=1 000 000 cm31\text{ m}^3=1\text{ m} \times 1\text{ m} \times 1 \text{ m} = 100\text{ cm} \times 100\text{ cm} \times 100\text{ cm}=1\ 000\ 000\text{ cm}^3
Donc :
11 350 kg/m3=11 350 000 g1 000 000 cm3=11,35 g/cm311\ 350\text{ kg/m}^3 = \frac{11\ 350\ 000\text{ g}}{1\ 000\ 000\text{ cm}^3} = 11,35\text{ g/cm}^3

  • 1 500 mL/min1\ 500\text{ mL/min} en m3/h\text{m}^3\text{/h}.

1 500 mL/min=1 500 mL1 min1\ 500\text{ mL/min} = \frac{1\ 500\text{ mL}}{1\text{ min}}
Or :
1 500 mL=1,5 L=1,5 dm3=1,5 dm×1 dm×1 dm=0,15 m×0,1 m×0,1 m=0,0015 m3\begin{aligned}1\ 500\text{ mL} &= 1,5\text{ L} \&= 1,5\text{ dm}^3 \&= 1,5\text{ dm} \times 1\text{ dm} \times 1\text{ dm}\ &= 0,15\text{ m} \times 0,1\text{ m} \times 0,1\text{ m} \ &= 0,0015\text{ m}^3\end{aligned}
Et 1 min=160 h1\text{ min} = \frac{1}{60}\text{ h}
Donc :
1 500 mL/min=0,0015 m3160 h=0,09 m3/h1\ 500\text{ mL/min} = \frac{0,0015\text{ m}^3}{\frac{1}{60}\text{ h}} = 0,09\text{ m}^3\text{/h}

Conclusion :

Ce cours est évidemment très important car on utilise très fréquemment la conversion d’unités pour ajouter, soustraire ou comparer des grandeurs de même nature entre elles. Il faut donc maintenant parfaitement maîtriser la conversion des grandeurs simples comme celle des grandeurs composées.