Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison

Définitions

On appelle cardinal de $E$, ensemble fini, le nombre de ses éléments.
On le note : $\text{Card}( E)$, et c’est un entier naturel.
Soit $p\in \mathbb N^*$ et $A_1,\,A_2,\,…,\,A_p$ des sous-ensembles non vides d’un ensemble fini $E$.
$\mathcal P=\lbrace A_1,\,A_2,\,…,\,A_p\rbrace$ est une partition de $E$ si et seulement si :

$$\begin{cases} A_1\cup A_2 \cup…∪A_p=E \\ A_1,\,A_2,\,…,\,A_p \text{ sont disjoints $2$ à $2$} \end{cases}$$

Si $A$ est une partie de $E$, non vide et non égale à $E$, $A$ et $\bar A$ forment une partition de $E$.
Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est noté $E\times F$.
Il est défini par : $E\times F=\lbrace(x,\,y) \text{ avec $x\in E$ et $y \in F$}\rbrace$.
Il s’agit de l’ensemble des couples dont le premier élément est un élément de $E$ et le second un élément de $F$.
Le produit cartésien de $n$ ensembles est :

$$\begin{aligned} E_1\times E_2\times … \times E_n=&\big\lbrace(x_1,\,x_2,\,…,\,x_n) \\ &\text{ avec, pour tout $i\in\lbrace1,\,2,\,…,\,n\rbrace$ : $x_i\in E_i$}\big\rbrace \end{aligned}$$

Les éléments d’un produit cartésien de $k$ ensembles sont appelés des $k\text{-listes}$ ou des $k\text{-uplets}$.
Un $k \text{-uplets}$ d’un ensemble fini $E$ de $n$ éléments est une liste de $k$ éléments choisis parmi les $n$ éléments de $E$.
On appelle permutation d’un ensemble $E$ de $n$ éléments tout $n \text{-uplet}$ d’éléments distincts.
Le nombre $n!$ se lit : « factorielle n ».
$n!=n\times(n-1)\times…\times2\times1$.
$0!=1$ et $(n+1)!=(n+1)\times n!$
Soit $E$ un ensemble fini de $n$ éléments et $k$ un entier tel que $0\leq k\leq n$.
On appelle combinaison de $k$ éléments de $E$ toute partie de $E$ ayant $k$ éléments.
Une combinaison est un sous-ensemble.
Le coefficient binomial correspond au nombre de combinaisons.

Formules et propriétés

Principe additif	$\begin{aligned}\small {\text{Card}(A\cup B)=\ }&\small{\text{Card}(A)+\text{Card}(B)} \\ &\small {-\ \text{Card}(A\cap B)}\end{aligned}$	$A$ et $B$ ensembles finis
Partition	$\begin{aligned} \small \text{Card}(E)=\ &\small \text{Card}(A_1)+\text{Card}(A_2 ) \\ &\small+…+\text{Card}(A_p)\end{aligned}$	$\small \lbrace A_1,\,A_2,\,…,\,A_p \rbrace$ partition de $\small E$, ensemble fini $\small (p>1)$
Produit cartésien	$\begin{aligned}\small\text{Card}( E_1\times … \times E_n)=\ &\small\text{Card}(E_1 )\times … \\ &\small \times \text{Card}(E_n)\end{aligned}$	$\small E_1,\,…,\,E_n$ ensembles finis $\small (n\geq 1)$
Nombre $N$ de parties	$\small N=2^n$	$E$ ensemble à $n$ éléments
Nombre $N$ de $k \text{-uplets}$	$\small N=n^k$	$E$ ensemble à $n$ éléments $\small (n\geq 1)$
Nombre $N$ de $k \text{-uplets}$ distincts	$\begin{aligned}\small N&\small= n\times (n-1)\times … \times (n-k+1) \\ &\small=\dfrac{n!}{(n-k)!} \end{aligned}$	$E$ ensemble à $n$ éléments $\small (n\geq 1$ et $\small 1\leq k\leq n)$
Nombre $N$ de permutations	$\small N=n!$	$E$ ensemble à $n$ éléments $\small (n\geq 1)$
Nombre $N$ de combinaisons	$\begin{aligned} \small N&\small=\footnotesize {\binom nk}\small =\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &\small= \dfrac{n\times(n-1)\times…\times(n-k+1)}{k!} \end{aligned}$	$E$ ensemble à $n$ éléments $\small (1\leq k\leq n)$
Propriétés du coefficient binomial	$\begin{aligned} \footnotesize {\binom n1}&\small=n \\ \footnotesize {\binom n0}&\small=\footnotesize{\binom nn}=1 \\ \footnotesize {\sum_{k=0}^n \binom nk}&\small= 2^n \end{aligned}$	$\small n\geq 0$
Symétrie du coefficient binomial	$\footnotesize{\displaystyle \binom nk} \small= \footnotesize{\displaystyle\binom n{n-k}}$	$\small 0\leq k\leq n$
Formule de Pascal	$\footnotesize{\displaystyle\binom nk} \small = \footnotesize{\displaystyle\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1}}$	$\small n\geq 2$ et $\small1\leq k\leq n-1$

Triangle de Pascal

Nous plaçons dans un premier temps les coefficients suivants (selon les propriétés vues plus haut) :
$\binom n0=1$ ;
$\binom nn=1$ ;
$\binom n1=n$.
Nous faisons la somme du coefficient juste au-dessus et de celui à gauche de ce dernier.
Nous pouvons également utiliser la propriété de symétrie.
Triangle de Pascal, jusqu’à $n=9$ :

$^{k\,\rightarrow}_{n\,\downarrow}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$
$7$	$1$	$7$	$21$	$35$	$35$	$21$	$7$	$1$
$8$	$1$	$8$	$28$	$56$	$70$	$56$	$28$	$8$	$1$
$9$	$1$	$9$	$36$	$84$	$126$	$126$	$84$	$36$	$9$	$1$

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