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Comparaison, ordre et opérations

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Introduction :

L'objectif de ce cours est d'apprendre à comparer des nombres relatifs et de comprendre les effets des différentes opérations sur le rangement des nombres.

Après un rappel sur le vocabulaire et les symboles de la comparaison, nous rappellerons les règles qui permettent de comparer deux nombres relatifs. Nous énoncerons ensuite les propriétés qui régissent les effets des quatre opérations sur l'ordre des nombres. Enfin, nous aborderons les notions d'encadrement et de valeurs approchées.

Comparaison de nombres relatifs

Vocabulaire et symboles

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Rappel

La comparaison de deux nombres se traduit par une inégalité qui s'exprime par l'un des symboles suivants : <<, >>, \leq ou \geq.

Soient aa et bb deux nombres quelconques :

  • a<ba < b signifie que aa est strictement inférieur à bb.
  • a>ba > b signifie que aa est strictement supérieur à bb.
  • aba \leq b signifie que aa est inférieur ou égal à bb.
  • aba \geq b signifie que aa est supérieur ou égal à bb.
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Rappel

Lorsqu’on dit que aa est strictement inférieur à bb (noté a<ba), cela signifie que aba-b est négatif.

Au contraire, lorsqu’on dit que aa est strictement supérieur à bb (noté a>ba>b), cela signifie que aba-b est positif.

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Exemple

On peut évidemment écrire 7>57 > 5.
a<9a < 9 signifie que aa est un nombre strictement inférieur à 99.
b2b \geq -2 signifie que bb est un nombre supérieur ou égal à 2-2.

Le signe d'un nombre relatif peut être exprimé par sa comparaison à 00 :

  • a<0a < 0 signifie que aa est strictement inférieur à 00 donc que aa est strictement négatif.
  • a>0a > 0 signifie que aa est strictement supérieur à 00 donc que aa est strictement positif.
  • a0a \leq 0 signifie que aa est inférieur ou égal à 00 donc que aa est négatif ou nul.
  • a0a \geq 0 signifie que aa est supérieur ou égal à 00 donc que aa est positif ou nul.

Règles de rangement

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Rappel

  • Entre deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
    On a par exemple 14,8<2714,8 < 27 (ou 27>14,827 > 14,8).

distance à zéro comparaison nombres positifs mathématiques quatrième

  • Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
    Sur le même exemple, on a 27<14,8-27 < -14,8 (ou 14,8>27-14,8 > -27)

distance à zéro comparaison nombres négatifs mathématiques quatrième

  • Entre deux nombres de signes différents, le plus petit est toujours le nombre négatif.
    On a donc 14,8<27-14,8 < 27 (ou 27>14,827 > -14,8).
    On a aussi 27<14,8-27 < 14,8 (ou 14,8>2714,8 > - 27).

distance à zéro comparaison nombres positifs et négatifs mathématiques quatrième

Signe de la différence

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Propriété

Soient aa et bb deux nombres relatifs :

  • si ab>0a - b > 0, alors a>ba > b ;
  • si ab<0a - b < 0, alors a<ba < b.

Réciproquement :

  • si a>ba > b, alors ab>0a - b > 0 ;
  • si a<ba < b, alors ab<0a - b < 0.
bannière astuce

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles \geq et \leq.

bannière à retenir

À retenir

Pour comparer deux nombres relatifs, on pourra rechercher le signe de leur différence.

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Exemple

Si a3>0a - 3 > 0, alors on pourra écrire a>3a > 3.
Si b+22,50b + 22,5 \leq 0, soit b(22,5)0b - (-22,5) \leq 0, alors on pourra écrire b22,5b \leq -22,5.

Étudions maintenant les effets des différentes opérations sur l'ordre des nombres relatifs.

Ordre et opérations

Ordre et addition/soustraction

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Propriété

Soient aa, bb et cc trois nombres relatifs :

a+ca + c et b+cb + c sont rangés dans le même ordre que aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \green{<} b alors a+c<b+ca \pink{+ c} \green{<} b \pink{+ c} ;
  • si a>ba \green{>} b alors a+c>b+ca \pink{+ c} \green{>} b \pink{+ c}.

aca - c et bcb - c sont rangés dans le même ordre que aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \green{<} b alors ac<bca \pink{- c} \green{<} b \pink{- c} ;
  • si a>ba \green{>} b alors ac>bca \pink{- c} \green{>} b \pink{- c}.
bannière astuce

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles \geq et \leq.

bannière à retenir

À retenir

On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre à ses deux membres.

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Exemple

Si a>3a \green{>} 3 alors a+8>3+8a \pink{+ 8} \green{>} 3 \pink{+ 8} soit a+8>11a + 8 \green{>} 11.
Si a+51a + 5 \green{\leq} 1 alors a+5515a + 5 \pink{- 5} \green{\leq} 1 \pink{- 5} soit a4a \green{\leq} -4.

Ordre et multiplication/division

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Propriété

Soient aa, bb et cc trois nombres relatifs.

Si cc est strictement positif :

a×ca \times c et b×cb \times c sont rangés dans le même ordre que aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \green{<} b alors a×c<b×ca \pink{\times c} \green{<} b \pink{\times c} ;
  • si a>ba \green{>} b alors a×c>b×ca \pink{\times c} \green{>} b \pink{\times c}.

a÷ca \div c et b÷cb \div c sont rangés dans le même ordre que aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \green{<} b alors a÷c<b÷ca \pink{\div c} \green{<} b \pink{\div c} ;
  • si a>ba \green{>} b alors a÷c>b÷ca \pink{\div c} \green{>} b \pink{\div c}.

Si cc est strictement négatif :

a×ca \times c et b×cb \times c sont rangés dans l'ordre contraire de aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \purple{<} b alors a×c>b×ca \orange{\times c} \purple{>} b \orange{\times c} ;
  • si a>ba \purple{>} b alors a×c<b×ca \orange{\times c} \purple{<} b \orange{\times c}.

a÷ca \div c et b÷cb \div c sont rangés dans l'ordre contraire de aa et bb. Autrement dit :

  • si a<ba \purple{<} b alors a÷c>b÷ca \orange{\div c} \purple{>} b \orange{\div c} ;
  • si a>ba \purple{>} b alors a÷c<b÷ca \orange{\div c} \purple{<} b \orange{\div c}.
bannière astuce

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles \geq et \leq.

bannière à retenir

À retenir

On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.

On change le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.

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Exemple

On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement positif, on garde le sens de l'inégalité.

Si
alors
soit

a>3a×8>3×88a>24\begin{array}{rcl}a&\green{>}&-3\a\pink{\times 8} &\green{>}& -3 \pink{\times 8} \ 8a &\green{>}& -24\end{array}

Si
alors
soit

a×51a×5÷51÷5a0,2\begin{array}{rcl}a\times 5&\green{\leq}&1\a\times 5\pink{\div 5} &\green{\leq}& 1 \pink{\div 5} \ a &\green{\leq}& 0,2\end{array}

On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.

Si
alors
soit

a<13a×(2)>13×(2)2a>26\begin{array}{rcl}a&\purple{<}&13\a\orange{\times (-2)} &\purple{>}& 13 \orange{\times (-2)} \ -2a &\purple{>}& -26\end{array}

Si
alors
soit

a÷(7)11a×(7)÷(7)11÷(7)a77\begin{array}{rcl}a\div (-7)&\purple{\leq}&-11\a\times (-7)\orange{\div (-7)} &\purple{\geq}& -11 \orange{\div (-7)} \ a &\purple{\geq}& 77\end{array}

Encadrement et valeur approchée

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Définition

Encadrement :

Encadrer un nombre xx, c'est trouver deux nombres relatifs aa et bb tel que a<x<ba < x < b.

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Définition

Amplitude d'un encadrement :

Soit un nombre xx encadré par aa et bb tel que a<x<ba < x < b.
La distance bab - a est appelée amplitude de l'encadrement.

  • Une amplitude de 11 est dite à l'unité près.
  • Une amplitude de 0,10,1 est dite au dixième près.
  • Une amplitude de 0,010,01 est dite au centième près.
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Définition

Valeur approchée :

Soit un nombre xx encadré par aa et bb tel que a<x<ba < x < b.
Les nombres aa et bb sont appelés valeurs approchées à bab - a près du nombre xx :

  • aa est la valeur approchée par défaut ;
  • bb est la valeur approchée par excès.
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Définition

Arrondi :

Soit un nombre xx encadré par aa et bb tel que a<x<ba < x < b.
L'arrondi à bab - a près du nombre xx a la même valeur que la valeur approchée à bab - a près (celle par défaut ou celle par excès) qui est la plus proche du nombre xx.

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Définition

Troncature :

Soit un nombre xx encadré par aa et bb tel que a<x<ba < x < b.
La troncature à (ba)(b - a) près du nombre xx est sa valeur approchée par défaut à (ba)(b - a) près.

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Exemple

  • Encadrement de 17,6317,63 à l’unité près
  • 17<17,63<1817 < 17,63 < 18 est un encadrement de 17,6317,63 à l'unité près car 1817=118 - 17 = 1.
  • Les valeurs approchées à l'unité près de 17,6317,63 sont 1717 et 1818 :
  • 1717 est celle par défaut ;
  • 1818 est celle par excès.
  • L'arrondi à l'unité près de 17,6317,63 est 1818.
  • La troncature à l'unité près de 17,6317,63 est 1717.
  • Encadrement de 23\dfrac 23 au dixième près

On recherche un encadrement de 23\frac 23 au dixième près.
Si on calcule 2÷32 \div 3 à la calculatrice, on obtient 0,66666666666666660,6666666666666666…

  • 0,6<23<0,70,6 < \frac 23 < 0,7 est un encadrement de 23\frac 23 au dixième près car 0,70,6=0,10,7 - 0,6 = 0,1
  • Les valeurs approchées au dixième près de 23\frac 23 sont 0,60,6 et 0,70,7 :
  • 0,60,6 est celle par défaut ;
  • 0,70,7 est celle par excès.
  • L'arrondi au dixième près de 23\frac 23 est 0,70,7.
  • La troncature au dixième près de 23\frac 23 est 0,60,6.
  • Encadrement de 2,5242,524 au centième près
  • Un encadrement de 2,5242,524 au centième près est 2,52<2,524<2,532,52 < 2,524 < 2,53 car 2,532,52=0,012,53 - 2,52 = 0,01.
  • Les valeurs approchées au centième près de 2,5242,524 sont 2,522,52 et 2,532,53 :
  • 2,522,52 est celle par défaut ;
  • 2,532,53 est celle par excès.
  • L'arrondi au centième près de 2,5242,524 est 2,522,52.
  • La troncature au centième près de 2,5242,524 est 2,522,52.

Conclusion :

Ce qu'il faut retenir de ce cours, ce sont les règles qui déterminent les effets des opérations sur l'ordre des nombres relatifs, en prévision de la résolution d'inéquations qui sera abordée en 3e. Pour cela, il faut bien sûr maîtriser le rangement des nombres relatifs.

La notion de valeurs approchées est également à comprendre, notamment pour la notion d'arrondi lorsque le résultat d'un calcul est demandé à l'unité ou au dixième ou au centième près.