Comparaison, ordre et opérations
Introduction :
L'objectif de ce cours est d'apprendre à comparer des nombres relatifs et de comprendre les effets des différentes opérations sur le rangement des nombres.
Après un rappel sur le vocabulaire et les symboles de la comparaison, nous rappellerons les règles qui permettent de comparer deux nombres relatifs. Nous énoncerons ensuite les propriétés qui régissent les effets des quatre opérations sur l'ordre des nombres. Enfin, nous aborderons les notions d'encadrement et de valeurs approchées.
Comparaison de nombres relatifs
Comparaison de nombres relatifs
Vocabulaire et symboles
Vocabulaire et symboles
Rappel
La comparaison de deux nombres se traduit par une inégalité qui s'exprime par l'un des symboles suivants : $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres quelconques :
- $a < b$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $b$.
- $a > b$ signifie que $a$ est strictement supérieur à $b$.
- $a \leq b$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $b$.
- $a \geq b$ signifie que $a$ est supérieur ou égal à $b$.
Rappel
Lorsqu’on dit que $a$ est strictement inférieur à $b$ (noté $a<b$), cela signifie que $a-b$ est négatif.
Au contraire, lorsqu’on dit que $a$ est strictement supérieur à $b$ (noté $a>b$), cela signifie que $a-b$ est positif.
Exemple
On peut évidemment écrire $7 > 5$.
$a < 9$ signifie que $a$ est un nombre strictement inférieur à $9$.
$b \geq -2$ signifie que $b$ est un nombre supérieur ou égal à $-2$.
Le signe d'un nombre relatif peut être exprimé par sa comparaison à $0$ :
- $a < 0$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $0$ donc que $a$ est strictement négatif.
- $a > 0$ signifie que $a$ est strictement supérieur à $0$ donc que $a$ est strictement positif.
- $a \leq 0$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $0$ donc que $a$ est négatif ou nul.
- $a \geq 0$ signifie que $a$ est supérieur ou égal à $0$ donc que $a$ est positif ou nul.
Règles de rangement
Règles de rangement
Rappel
- Entre deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
On a par exemple $14,8 < 27$ (ou $27 > 14,8$).
- Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Sur le même exemple, on a $-27 < -14,8$ (ou $-14,8 > -27$)
- Entre deux nombres de signes différents, le plus petit est toujours le nombre négatif.
On a donc $-14,8 < 27$ (ou $27 > -14,8$).
On a aussi $-27 < 14,8$ (ou $14,8 > - 27$).
Signe de la différence
Signe de la différence
Propriété
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs :
- si $a - b > 0$, alors $a > b$ ;
- si $a - b < 0$, alors $a < b$.
Réciproquement :
- si $a > b$, alors $a - b > 0$ ;
- si $a < b$, alors $a - b < 0$.
Astuce
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.
À retenir
Pour comparer deux nombres relatifs, on pourra rechercher le signe de leur différence.
Exemple
Si $a - 3 > 0$, alors on pourra écrire $a > 3$.
Si $b + 22,5 \leq 0$, soit $b - (-22,5) \leq 0$, alors on pourra écrire $b \leq -22,5$.
Étudions maintenant les effets des différentes opérations sur l'ordre des nombres relatifs.
Ordre et opérations
Ordre et opérations
Ordre et addition/soustraction
Ordre et addition/soustraction
Propriété
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs :
$a + c$ et $b + c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \green{<} b$ alors $a \pink{+ c} \green{<} b \pink{+ c}$ ;
- si $a \green{>} b$ alors $a \pink{+ c} \green{>} b \pink{+ c}$.
$a - c$ et $b - c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \green{<} b$ alors $a \pink{- c} \green{<} b \pink{- c}$ ;
- si $a \green{>} b$ alors $a \pink{- c} \green{>} b \pink{- c}$.
Astuce
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.
À retenir
On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre à ses deux membres.
Exemple
Si $a \green{>} 3$ alors $a \pink{+ 8} \green{>} 3 \pink{+ 8}$ soit $a + 8 \green{>} 11$.
Si $a + 5 \green{\leq} 1$ alors $a + 5 \pink{- 5} \green{\leq} 1 \pink{- 5}$ soit $a \green{\leq} -4$.
Ordre et multiplication/division
Ordre et multiplication/division
Propriété
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs.
Si $c$ est strictement positif :
$a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \green{<} b$ alors $a \pink{\times c} \green{<} b \pink{\times c}$ ;
- si $a \green{>} b$ alors $a \pink{\times c} \green{>} b \pink{\times c}$.
$a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \green{<} b$ alors $a \pink{\div c} \green{<} b \pink{\div c}$ ;
- si $a \green{>} b$ alors $a \pink{\div c} \green{>} b \pink{\div c}$.
Si $c$ est strictement négatif :
$a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \purple{<} b$ alors $a \orange{\times c} \purple{>} b \orange{\times c}$ ;
- si $a \purple{>} b$ alors $a \orange{\times c} \purple{<} b \orange{\times c}$.
$a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$. Autrement dit :
- si $a \purple{<} b$ alors $a \orange{\div c} \purple{>} b \orange{\div c}$ ;
- si $a \purple{>} b$ alors $a \orange{\div c} \purple{<} b \orange{\div c}$.
Astuce
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.
À retenir
On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.
On change le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.
Exemple
On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement positif, on garde le sens de l'inégalité.
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a&\green{>}-3 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\pink{\times 8} &\green{>} -3 \pink{\times 8} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} 8a &\green{>} -24 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a\times 5&\green{\leq}1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\times 5\pink{\div 5} &\green{\leq} 1 \pink{\div 5} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}a &\green{\leq} 0,2 \end{aligned}$$
On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a&\purple{<}13 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\orange{\times (-2)} &\purple{>} 13 \orange{\times (-2)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ } }-2a &\purple{>} -26 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a\div (-7)&\purple{\leq}-11 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\div (-7)\orange{\times (-7)} &\purple{\geq} -11 \orange{\times (-7)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} a &\purple{\geq} 77 \end{aligned}$$
Encadrement et valeur approchée
Encadrement et valeur approchée
Définition
Encadrement :
Encadrer un nombre $x$, c'est trouver deux nombres relatifs $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
Définition
Amplitude d'un encadrement :
Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
La distance $b - a$ est appelée amplitude de l'encadrement.
- Une amplitude de $1$ est dite à l'unité près.
- Une amplitude de $0,1$ est dite au dixième près.
- Une amplitude de $0,01$ est dite au centième près.
Définition
Valeur approchée :
Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
Les nombres $a$ et $b$ sont appelés valeurs approchées à $b - a$ près du nombre $x$ :
- $a$ est la valeur approchée par défaut ;
- $b$ est la valeur approchée par excès.
Définition
Arrondi :
Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
L'arrondi à $b - a$ près du nombre $x$ a la même valeur que la valeur approchée à $b - a$ près (celle par défaut ou celle par excès) qui est la plus proche du nombre $x$.
Définition
Troncature :
Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
La troncature à $(b - a)$ près du nombre $x$ est sa valeur approchée par défaut à $(b - a)$ près.
Exemple
- Encadrement de $17,63$ à l’unité près
- $17 < 17,63 < 18$ est un encadrement de $17,63$ à l'unité près car $18 - 17 = 1$.
- Les valeurs approchées à l'unité près de $17,63$ sont $17$ et $18$ :
- $17$ est celle par défaut ;
- $18$ est celle par excès.
- L'arrondi à l'unité près de $17,63$ est $18$.
- La troncature à l'unité près de $17,63$ est $17$.
- Encadrement de $\dfrac 23$ au dixième près
On recherche un encadrement de $\frac 23$ au dixième près.
Si on calcule $2 \div 3$ à la calculatrice, on obtient $0,6666666666666666…$
- $0,6 < \frac 23 < 0,7$ est un encadrement de $\frac 23$ au dixième près car $0,7 - 0,6 = 0,1$
- Les valeurs approchées au dixième près de $\frac 23$ sont $0,6$ et $0,7$ :
- $0,6$ est celle par défaut ;
- $0,7$ est celle par excès.
- L'arrondi au dixième près de $\frac 23$ est $0,7$.
- La troncature au dixième près de $\frac 23$ est $0,6$.
- Encadrement de $2,524$ au centième près
- Un encadrement de $2,524$ au centième près est $2,52 < 2,524 < 2,53$ car $2,53 - 2,52 = 0,01$.
- Les valeurs approchées au centième près de $2,524$ sont $2,52$ et $2,53$ :
- $2,52$ est celle par défaut ;
- $2,53$ est celle par excès.
- L'arrondi au centième près de $2,524$ est $2,52$.
- La troncature au centième près de $2,524$ est $2,52$.
Conclusion :
Ce qu'il faut retenir de ce cours, ce sont les règles qui déterminent les effets des opérations sur l'ordre des nombres relatifs, en prévision de la résolution d'inéquations qui sera abordée en 3e. Pour cela, il faut bien sûr maîtriser le rangement des nombres relatifs.
La notion de valeurs approchées est également à comprendre, notamment pour la notion d'arrondi lorsque le résultat d'un calcul est demandé à l'unité ou au dixième ou au centième près.