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Comparaison, ordre et opérations
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Introduction :
L'objectif de ce cours est d'apprendre à comparer des nombres relatifs et de comprendre les effets des différentes opérations sur le rangement des nombres.
Après un rappel sur le vocabulaire et les symboles de la comparaison, nous rappellerons les règles qui permettent de comparer deux nombres relatifs. Nous énoncerons ensuite les propriétés qui régissent les effets des quatre opérations sur l'ordre des nombres. Enfin, nous aborderons les notions d'encadrement et de valeurs approchées.
Comparaison de nombres relatifs
Vocabulaire et symboles
La comparaison de deux nombres se traduit par une inégalité qui s'exprime par l'un des symboles suivants : , , ou .
Soient et deux nombres quelconques :
Lorsqu’on dit que est strictement inférieur à (noté ), cela signifie que est négatif.
Au contraire, lorsqu’on dit que est strictement supérieur à (noté ), cela signifie que est positif.
On peut évidemment écrire .
signifie que est un nombre strictement inférieur à .
signifie que est un nombre supérieur ou égal à .
Le signe d'un nombre relatif peut être exprimé par sa comparaison à :
Règles de rangement
Signe de la différence
Soient et deux nombres relatifs :
Réciproquement :
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles et .
Pour comparer deux nombres relatifs, on pourra rechercher le signe de leur différence.
Si , alors on pourra écrire .
Si , soit , alors on pourra écrire .
Étudions maintenant les effets des différentes opérations sur l'ordre des nombres relatifs.
Ordre et opérations
Ordre et addition/soustraction
Soient , et trois nombres relatifs :
et sont rangés dans le même ordre que et . Autrement dit :
et sont rangés dans le même ordre que et . Autrement dit :
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles et .
On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre à ses deux membres.
Si alors soit .
Si alors soit .
Ordre et multiplication/division
Soient , et trois nombres relatifs.
Si est strictement positif :
et sont rangés dans le même ordre que et . Autrement dit :
et sont rangés dans le même ordre que et . Autrement dit :
Si est strictement négatif :
et sont rangés dans l'ordre contraire de et . Autrement dit :
et sont rangés dans l'ordre contraire de et . Autrement dit :
Ces propriétés sont également vraies avec les symboles et .
On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.
On change le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.
On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement positif, on garde le sens de l'inégalité.
Si
alors
soit
Si
alors
soit
On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.
Si
alors
soit
Si
alors
soit
Encadrement et valeur approchée
Encadrement :
Encadrer un nombre , c'est trouver deux nombres relatifs et tel que .
Amplitude d'un encadrement :
Soit un nombre encadré par et tel que .
La distance est appelée amplitude de l'encadrement.
Valeur approchée :
Soit un nombre encadré par et tel que .
Les nombres et sont appelés valeurs approchées à près du nombre :
Arrondi :
Soit un nombre encadré par et tel que .
L'arrondi à près du nombre a la même valeur que la valeur approchée à près (celle par défaut ou celle par excès) qui est la plus proche du nombre .
Troncature :
Soit un nombre encadré par et tel que .
La troncature à près du nombre est sa valeur approchée par défaut à près.
On recherche un encadrement de au dixième près.
Si on calcule à la calculatrice, on obtient
Conclusion :
Ce qu'il faut retenir de ce cours, ce sont les règles qui déterminent les effets des opérations sur l'ordre des nombres relatifs, en prévision de la résolution d'inéquations qui sera abordée en 3e. Pour cela, il faut bien sûr maîtriser le rangement des nombres relatifs.
La notion de valeurs approchées est également à comprendre, notamment pour la notion d'arrondi lorsque le résultat d'un calcul est demandé à l'unité ou au dixième ou au centième près.