Cours : Comparaison, ordre et opérations

Comparaison, ordre et opérations

Introduction :

L'objectif de ce cours est d'apprendre à comparer des nombres relatifs et de comprendre les effets des différentes opérations sur le rangement des nombres.

Après un rappel sur le vocabulaire et les symboles de la comparaison, nous rappellerons les règles qui permettent de comparer deux nombres relatifs. Nous énoncerons ensuite les propriétés qui régissent les effets des quatre opérations sur l'ordre des nombres. Enfin, nous aborderons les notions d'encadrement et de valeurs approchées.

Comparaison de nombres relatifs

Vocabulaire et symboles

Rappel

La comparaison de deux nombres se traduit par une inégalité qui s'exprime par l'un des symboles suivants : $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres quelconques :

$a < b$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $b$.
$a > b$ signifie que $a$ est strictement supérieur à $b$.
$a \leq b$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $b$.
$a \geq b$ signifie que $a$ est supérieur ou égal à $b$.

Rappel

Lorsqu’on dit que $a$ est strictement inférieur à $b$ (noté $a<b$), cela signifie que $a-b$ est négatif.

Au contraire, lorsqu’on dit que $a$ est strictement supérieur à $b$ (noté $a>b$), cela signifie que $a-b$ est positif.

Exemple

On peut évidemment écrire $7 > 5$.
$a < 9$ signifie que $a$ est un nombre strictement inférieur à $9$.
$b \geq -2$ signifie que $b$ est un nombre supérieur ou égal à $-2$.

Le signe d'un nombre relatif peut être exprimé par sa comparaison à $0$ :

$a < 0$ signifie que $a$ est strictement inférieur à $0$ donc que $a$ est strictement négatif.
$a > 0$ signifie que $a$ est strictement supérieur à $0$ donc que $a$ est strictement positif.
$a \leq 0$ signifie que $a$ est inférieur ou égal à $0$ donc que $a$ est négatif ou nul.
$a \geq 0$ signifie que $a$ est supérieur ou égal à $0$ donc que $a$ est positif ou nul.

Règles de rangement

Rappel

Entre deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
On a par exemple $14,8 < 27$ (ou $27 > 14,8$).

$distance à zéro comparaison nombres positifs mathématiques quatrième$

Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Sur le même exemple, on a $-27 < -14,8$ (ou $-14,8 > -27$)

$distance à zéro comparaison nombres négatifs mathématiques quatrième$

Entre deux nombres de signes différents, le plus petit est toujours le nombre négatif.
On a donc $-14,8 < 27$ (ou $27 > -14,8$).
On a aussi $-27 < 14,8$ (ou $14,8 > - 27$).

$distance à zéro comparaison nombres positifs et négatifs mathématiques quatrième$

Signe de la différence

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs :

si $a - b > 0$, alors $a > b$ ;
si $a - b < 0$, alors $a < b$.

Réciproquement :

si $a > b$, alors $a - b > 0$ ;
si $a < b$, alors $a - b < 0$.

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.

À retenir

Pour comparer deux nombres relatifs, on pourra rechercher le signe de leur différence.

Exemple

Si $a - 3 > 0$, alors on pourra écrire $a > 3$.
Si $b + 22,5 \leq 0$, soit $b - (-22,5) \leq 0$, alors on pourra écrire $b \leq -22,5$.

Étudions maintenant les effets des différentes opérations sur l'ordre des nombres relatifs.

Ordre et opérations

Ordre et addition/soustraction

Propriété

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs :

$a + c$ et $b + c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \green{<} b$ alors $a \pink{+ c} \green{<} b \pink{+ c}$ ;
si $a \green{>} b$ alors $a \pink{+ c} \green{>} b \pink{+ c}$.

$a - c$ et $b - c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \green{<} b$ alors $a \pink{- c} \green{<} b \pink{- c}$ ;
si $a \green{>} b$ alors $a \pink{- c} \green{>} b \pink{- c}$.

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.

À retenir

On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre à ses deux membres.

Exemple

Si $a \green{>} 3$ alors $a \pink{+ 8} \green{>} 3 \pink{+ 8}$ soit $a + 8 \green{>} 11$.
Si $a + 5 \green{\leq} 1$ alors $a + 5 \pink{- 5} \green{\leq} 1 \pink{- 5}$ soit $a \green{\leq} -4$.

Ordre et multiplication/division

Propriété

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs.

Si $c$ est strictement positif :

$a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \green{<} b$ alors $a \pink{\times c} \green{<} b \pink{\times c}$ ;
si $a \green{>} b$ alors $a \pink{\times c} \green{>} b \pink{\times c}$.

$a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \green{<} b$ alors $a \pink{\div c} \green{<} b \pink{\div c}$ ;
si $a \green{>} b$ alors $a \pink{\div c} \green{>} b \pink{\div c}$.

Si $c$ est strictement négatif :

$a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \purple{<} b$ alors $a \orange{\times c} \purple{>} b \orange{\times c}$ ;
si $a \purple{>} b$ alors $a \orange{\times c} \purple{<} b \orange{\times c}$.

$a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$. Autrement dit :

si $a \purple{<} b$ alors $a \orange{\div c} \purple{>} b \orange{\div c}$ ;
si $a \purple{>} b$ alors $a \orange{\div c} \purple{<} b \orange{\div c}$.

Astuce

Ces propriétés sont également vraies avec les symboles $\geq$ et $\leq$.

À retenir

On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.

On change le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.

Exemple

On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement positif, on garde le sens de l'inégalité.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a&\green{>}-3 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\pink{\times 8} &\green{>} -3 \pink{\times 8} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} 8a &\green{>} -24 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a\times 5&\green{\leq}1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\times 5\pink{\div 5} &\green{\leq} 1 \pink{\div 5} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}a &\green{\leq} 0,2 \end{aligned}$$

On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a&\purple{<}13 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\orange{\times (-2)} &\purple{>} 13 \orange{\times (-2)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ } }-2a &\purple{>} -26 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Si\ :\ }} a\div (-7)&\purple{\leq}-11 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{alors\ :\ }} a\div (-7)\orange{\times (-7)} &\purple{\geq} -11 \orange{\times (-7)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} a &\purple{\geq} 77 \end{aligned}$$

Encadrement et valeur approchée

Définition

Encadrement :

Encadrer un nombre $x$, c'est trouver deux nombres relatifs $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.

Définition

Amplitude d'un encadrement :

Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
La distance $b - a$ est appelée amplitude de l'encadrement.

Une amplitude de $1$ est dite à l'unité près.
Une amplitude de $0,1$ est dite au dixième près.
Une amplitude de $0,01$ est dite au centième près.

Définition

Valeur approchée :

Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
Les nombres $a$ et $b$ sont appelés valeurs approchées à $b - a$ près du nombre $x$ :

$a$ est la valeur approchée par défaut ;
$b$ est la valeur approchée par excès.

Définition

Arrondi :

Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
L'arrondi à $b - a$ près du nombre $x$ a la même valeur que la valeur approchée à $b - a$ près (celle par défaut ou celle par excès) qui est la plus proche du nombre $x$.

Définition

Troncature :

Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
La troncature à $(b - a)$ près du nombre $x$ est sa valeur approchée par défaut à $(b - a)$ près.

Exemple

Encadrement de $17,63$ à l’unité près

$17 < 17,63 < 18$ est un encadrement de $17,63$ à l'unité près car $18 - 17 = 1$.
Les valeurs approchées à l'unité près de $17,63$ sont $17$ et $18$ :
$17$ est celle par défaut ;
$18$ est celle par excès.
L'arrondi à l'unité près de $17,63$ est $18$.
La troncature à l'unité près de $17,63$ est $17$.

Encadrement de $\dfrac 23$ au dixième près

On recherche un encadrement de $\frac 23$ au dixième près.
Si on calcule $2 \div 3$ à la calculatrice, on obtient $0,6666666666666666…$

$0,6 < \frac 23 < 0,7$ est un encadrement de $\frac 23$ au dixième près car $0,7 - 0,6 = 0,1$
Les valeurs approchées au dixième près de $\frac 23$ sont $0,6$ et $0,7$ :
$0,6$ est celle par défaut ;
$0,7$ est celle par excès.
L'arrondi au dixième près de $\frac 23$ est $0,7$.
La troncature au dixième près de $\frac 23$ est $0,6$.

Encadrement de $2,524$ au centième près

Un encadrement de $2,524$ au centième près est $2,52 < 2,524 < 2,53$ car $2,53 - 2,52 = 0,01$.
Les valeurs approchées au centième près de $2,524$ sont $2,52$ et $2,53$ :
$2,52$ est celle par défaut ;
$2,53$ est celle par excès.
L'arrondi au centième près de $2,524$ est $2,52$.
La troncature au centième près de $2,524$ est $2,52$.

Conclusion :

Ce qu'il faut retenir de ce cours, ce sont les règles qui déterminent les effets des opérations sur l'ordre des nombres relatifs, en prévision de la résolution d'inéquations qui sera abordée en 3^e. Pour cela, il faut bien sûr maîtriser le rangement des nombres relatifs.

La notion de valeurs approchées est également à comprendre, notamment pour la notion d'arrondi lorsque le résultat d'un calcul est demandé à l'unité ou au dixième ou au centième près.