Comparaison et encadrement

Comparaison de nombres relatifs

• La comparaison de deux nombres se traduit par une inégalité qui s'exprime par l'un des symboles suivants : $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$.
• Le signe d'un nombre relatif peut être exprimé par sa comparaison à $0$.
• Les règles de rangement de deux nombres s’établissent par rapport à leurs distances respectives à zéro :
• Entre deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
• Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
• Entre deux nombres de signes différents, le plus petit est toujours le nombre négatif.
• Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs :
• si $a - b > 0$, alors $a > b$ ;
• si $a - b < 0$, alors $a < b$.
• Réciproquement :
• si $a > b$, alors $a - b > 0$ ;
• si $a < b$, alors $a - b < 0$.
• Pour comparer deux nombres relatifs, on pourra rechercher le signe de leur différence.

Ordre et opérations

Addition et soustraction

• Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs :
• $a + c$ et $b + c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$.
• $a - c$ et $b - c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$.
• On ne change pas le sens d'une inégalité en additionnant ou soustrayant un même nombre à ses deux membres.

Multiplication et division

• Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs avec $c$ strictement positif :
• $a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$.
• $a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$.
• On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement positif.
• Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres relatifs avec $c$ strictement négatif :
• $a \times c$ et $b \times c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$.
• $a \div c$ et $b \div c$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$.
• On change le sens d'une inégalité en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre strictement négatif.

Encadrement et valeur approchée

• Encadrer un nombre $x$, c'est trouver deux nombres relatifs $a$ et $b$ tel que $a < x < b$.
• Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$. La distance $b - a$ est appelée amplitude de l'encadrement.
• Une amplitude de $1$ est dite à l'unité près.
• Une amplitude de $0,1$ est dite au dixième près.
• Une amplitude de $0,01$ est dite au centième près.
• Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$. Les nombres $a$ et $b$ sont appelés valeurs approchées à $b - a$ près du nombre $x$ :
• $a$ est la valeur approchée par défaut ;
• $b$ est la valeur approchée par excès.
• Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$. L'arrondi à $b - a$ près du nombre $x$ a la même valeur que la valeur approchée à $b - a$ près (celle par défaut ou celle par excès) qui est la plus proche du nombre $x$.
• Soit un nombre $x$ encadré par $a$ et $b$ tel que $a < x < b$. La troncature à $(b - a)$ près du nombre $x$ est sa valeur approchée par défaut à $(b - a)$ près.