Cours : Comprendre et utiliser la notion de fonction

Notion de fonction

Définition

Fonction :

Une fonction est un processus (une machine) qui à un nombre associe un unique nombre.

Si on appelle $f$ la fonction et $x$ le nombre de départ, alors :

• $x$ est la variable ;
• $f(x)$ est le nombre associé à $x$ par la fonction $f$. Il se lit « $f$ de $x$ ».

On écrit $f : x \mapsto f(x)$ et on lit « $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f$ de $x$ ».

Exemple

La fonction $f$ qui à un nombre associe son double augmenté de $3$ s’écrit : $$f : x \mapsto 2x+3$$

On a : $$f(x)=2x+3$$

Pour $x=6$ :
$$f(x)=f(6)=2 \times 6+3=15$$

• Donc au nombre $6$, la fonction $f$ associe le nombre $15$.

Notion d’image et d’antécédent

Définition

Image :

L’image du nombre $x$ par la fonction $f$ est le nombre $y$ tel que $y=f(x)$

Définition

Antécédent :

Un antécédent du nombre $y$ par la fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y$

Exemple

Par la fonction $f$ :

• le nombre $6$ a pour image le nombre $15$ ;
• le nombre $15$ a pour antécédent le nombre $6$.

Attention

L’image d’un nombre est unique.
L’antécédent d’un nombre, lui, peut ne pas être unique.

Exemple

Soit la fonction $g$ qui à un nombre associe son carré diminué de $1$.
La fonction $g$ s’écrit : $$g :x \mapsto x^2-1$$

Pour $x=3$ : $$g(3)=3^2-1=8$$

• Le nombre $3$ a pour image le nombre $8$.

Pour $x=-3$ : $$g(-3)=(-3)^2-1=8$$

• Le nombre $-3$ a pour image le nombre $8$.

Le nombre $8$ a donc deux antécédents : les nombres $3$ et $-3$.

Définition d’une fonction et détermination d’images et d’antécédents

Fonction définie par une formule

On veut calculer la surface d’un rectangle sachant qu’un côté doit mesurer $6\text{ mètres}$ moins la longueur de l’autre côté.

Soit $x$ la longueur d’un côté en mètres. L’autre côté doit mesurer $6-x\text{ mètres}$.
Soit $S$ la surface du rectangle en $\text{m}^2$, on a : $$S= x \times (6-x)=6x-x^2$$

La formule $h(x)=6x-x^2$ définit la fonction $h$ qui associe au nombre $x$ (correspondant à la longueur d’un côté du rectangle en mètres) le nombre $h(x)$ (représentant sa surface $S$ en $\text{m}^2$).

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’une formule, il suffit de remplacer $x$ par la valeur du nombre dans la formule.

• Ici, l’image de $1$ est $h(1) = 6\times 1 - 1^2 = 5$

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’une formule, il faut remplacer $h(x)$ par la valeur du nombre dans la formule puis trouver une valeur de $x$ qui la vérifie.

• Ici, un antécédent de $8$ est tel qu’il vérifie l’équation $8=6x-x^2$
  Or $6 \times 2-2^2=12-4=8$
  Donc $2$ est un antécédent de $8$.

Fonction définie par un tableau

Ce tableau définit la fonction $f$ qui à chaque nombre $x$ de la première ligne associe le nombre $f(x)$ de la seconde ligne.

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la première ligne du tableau et de lire son image sur la seconde ligne.

• Ici, l’image de $2$ est $7$.

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un tableau, il suffit de repérer ce nombre dans la deuxième ligne du tableau et de lire son antécédent sur la première ligne.

• Ici, un antécédent de $1$ est $-1$.

Fonction définie par un graphique

La courbe $Ck$ est constituée de tous les points de coordonnées $(x\ ; k(x))$.
Ce graphique définit la fonction $k$ qui à chaque valeur de $x$ associe le nombre $y = k(x)$.

Pour déterminer l’image d’un nombre à l’aide d’un graphique, il suffit de repérer sur la courbe le point ayant ce nombre pour abscisse et de lire son ordonnée.

• Ici, l’image de $-2$ est $-1,7$.

Pour déterminer un antécédent d’un nombre à l’aide d’un graphique, il faut repérer sur la courbe le (ou les) point(s) ayant ce nombre pour ordonnée et de lire son (ou leurs) abscisse(s).

• Ici, des antécédents de $3$ sont $0,7$ et $2,4$.

Astuce

La représentation graphique permet de visualiser rapidement le « comportement » d’une fonction, notamment de repérer les valeurs maximum ou minimum, pour quelles valeurs de variable elles sont obtenues, etc.

Si la fonction à étudier est définie par une formule ou un tableau de valeurs, il peut être utile d’en déterminer une représentation graphique.

Représentation graphique d’une fonction

Définition

Représentation graphique d’une fonction :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\ ; f(x))$.

À retenir

$x$ se lit sur l’axe des abscisses.
$y=f(x)$ se lit sur l’axe des ordonnées.

Exemple

Reprenons la fonction $h$ définie par la formule $h(x)=6x-x^2$ et construisons sa représentation graphique.

La variable $x$ représentant une longueur, elle ne peut pas prendre de valeurs négatives.
$6-x$ étant la longueur de l’autre côté du rectangle, $x$ ne peut pas non plus être supérieur à $6$.

Nous étudierons donc la valeur de $h(x)$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.

Voici un tableau de valeurs de la fonction $h$ pour les valeurs entières de la variable $x$.

On peut maintenant construire le graphique des points de coordonnées $(x\ ; h(x))$.

Soient donc les points :

• $A(0\ ; 0)$
• $B(1\ ; 5)$
• $C(2\ ; 8)$
• $D(3\ ; 9)$
• $E(4\ ; 8)$
• $F(5\ ; 5)$
• $G(6\ ; 0)$

On positionne ces points dans un repère adapté dans lequel on aura en abscisse les valeurs de $x$ et en ordonnée les valeurs de $h(x)$.

On obtient le graphique ci-dessous :

En reliant tous les points, on obtient une courbe constituée de tous les points de coordonnées $(x\ ; h(x))$.

On a ainsi construit la courbe $Ch$, représentation graphique de la fonction $h(x)=6x-x^2$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.