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Géométrie plane

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Triangles et droites remarquables

Triangles et théorèmes

  • Théorème des milieux :

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du côté $[AB]$. Si $J$ est le milieu du côté $[AC]$, alors les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles et $IJ=\dfrac{1}{2} BC.$

Réciproque :

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du côté $[AB]$.

Si la droite parallèle à la droite $(BC)$ et passant par $I$ coupe le segment $[AC]$ en $J$, alors $J$ est le milieu du côté $[AC]$.

  • Théorème de Pythagore :

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. D’après le théorème de Pythagore, on a : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Réciproque :

Si $ABC$ est un triangle tel que $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Contraposée : Si $ABC$ est un triangle tel que $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

  • Théorème de Thalès :

Les droites sécantes $(AB)$ et $(AC)$ sont coupées par les droites parallèles $(ED)$ et $(BC)$. Sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A$, les points $A, E, B$ et $A, D, C$ sont alignés dans le même ordre.

D’après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac {ED}{BC}$

Réciproque :

Soient $ABC$ et $AED$ deux triangles tels que $A, E, B$ et $A, D, C$ soient alignés dans le même ordre. Si $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$ , alors les droites $(ED)$ et $(BC)$ sont parallèles, d’après la réciproque du théorème de Thalès.

Contraposée :

Soient $ABC$ et $AED$ deux triangles tels que $A, E, B$ et $A, D, C$ soient alignés dans le même ordre. Si $\dfrac{AE}{AB}\neq \dfrac{AD}{AC}$ , alors les droites $(ED)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, d’après la contraposée du théorème de Thalès.

Droites remarquables

  • Médiatrices :

Les médiatrices d’un triangle sont les droites qui passent par le milieu d’un côté perpendiculairement.

Le point d’intersection des trois médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.

  • Hauteurs :

Les hauteurs d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et qui sont perpendiculaires au côté opposé.

Le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle est appelé l’orthocentre du triangle.

  • Médianes :

Les médianes d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé.

Le point d’intersection des trois médianes d’un triangle est appelé le centre de gravité du triangle.

De plus, $AG=\dfrac{2}{3} AA'$ ; $BG=\dfrac{2}{3} BB'$ ; $CG=\dfrac{2}{3} CC'$

  • Bissectrices :

Les bissectrices d’un triangle sont les droites qui partagent les angles du triangle en deux angles égaux.

Le point d’intersection des trois bissectrices d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Les quadrilatères

Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

Le parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont :

  • les côtés opposés sont parallèles ;
  • les côtés opposés ont même longueur ;
  • les angles opposés sont égaux ;
  • les diagonales ont le même milieu ;
  • le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

Le rectangle

Il faut montrer que le quadrilatère est un parallélogramme, puis il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous :

  • le parallélogramme a un angle droit ;
  • les diagonales sont de même longueur.

Le losange

Il faut montrer que le quadrilatère est un parallélogramme, puis il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus :

  • deux côtés consécutifs sont égaux (donc les quatre côtés sont égaux) ;
  • les diagonales sont perpendiculaires.

Le carré

Il faut montrer que le quadrilatère est un parallélogramme, puis il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus :

  • le parallélogramme est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux ;
  • le parallélogramme est un rectangle avec des diagonales perpendiculaires ;
  • le parallélogramme est un losange avec un angle droit ;
  • le parallélogramme est un losange avec des diagonales de même longueur.

Repérage de points dans le plan

Coordonnées

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point $M$ sont l’abscisse $x_M$ et l’ordonnée $y_M$ de $M$. On note $M (x_M ; y_M).$

Milieu d’un segment

Soient $A (x_A ; y_A)$ et $B (x_B ; y_B)$ deux points du plan.

Les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont : $I \left(\dfrac {x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$

Calcul de longueur

Soit un plan rapporté à un repère orthonormé. On considère les points $A (x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$.

La distance de $A$ à $B$, notée $AB$, est égale à $AB = \sqrt{(x_B-x_A )^2 + (y_B-y_A )^2 }$.