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Géométrie plane

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​Introduction :

Dans ce cours nous verrons certains théorèmes essentiels de géométrie plane ainsi que les principales propriétés. Le but est de pouvoir choisir parmi toutes tes connaissances la ou les notions que tu dois appliquer pour résoudre un problème et surtout trouver le bon ordre d’application de ces notions.

Triangles, théorèmes et droites remarquables

Théorème des milieux

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Théorème

Soit ABCABC un triangle et II le milieu du côté [AB][AB].

Si JJ est le milieu du côté [AC][AC], alors les droites (IJ)(IJ) et (BC)(BC) sont parallèles et IJ=BCIJ=BC.

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Théorème

Récriproque :

Soit ABCABC un triangle et II le milieu du côté [AB][AB].

Si la droite parallèle à la droite (BC)(BC) et passant par II coupe le segment [AC][AC] en JJ, alors JJ est le milieu du côté [AC][AC].

Théorème de Pythagore

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Théorème

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA. D’après le théorème de Pythagore, on a : BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2

  • Réciproque :

Si ABCABC est un triangle tel que BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2, alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.

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Astuce

Il est également possible d’appliquer la réciproque du théorème de Pythagore grâce à une calculatrice (CASIO, TI).

  • Contraposée :

Si ABCABC est un triangle tel que BC2AB2+AC2BC^2\neq AB^2+AC^2, alors d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC n’est pas rectangle.

Théorème de Thalès

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Théorème

Les droites sécantes (AB)(AB) et (AC)(AC) sont coupées par les droites parallèles (EC)(EC) et (BC)(BC). Sur les droites (AB)(AB) et (AC)(AC) sécantes en AA, les points A,E,BA,E,B et A,D,CA,D,C sont alignés dans le même ordre. D’après le théorème de Thalès, on a :

AEAB=ADAC=EDBC\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}

  • Réciproque :

Soit ABCABC et AEDAED deux triangles tels que A,E,BA,E,B et A,D,CA,D,C soient alignés dans le même ordre. Si AEAB=ADAC\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}, alors les droites (ED)(ED) et (BC)(BC) sont parallèles, d’après la réciproque du théorème de Thalès.

  • Contraposée:

Soient ABCABC et AEDAED deux triangles tels que A,E,BA,E,B et A,D,CA,D,C soient alignés dans le même ordre. Si AEABADAC\dfrac{AE}{AB}\neq\dfrac{AD}{AC}, alors les droites (ED)(ED) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles, d’après la contraposée du théorème de Thalès.

Droites remarquables dans un triangle

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Définition

Médiatrices :

  • Les médiatrices d’un triangle sont les droites qui passent perpendiculairement par le milieu d’un côté .
  • Le point d’intersection des trois médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.

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Définition

Hauteurs :

  • Les hauteurs d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et qui sont perpendiculaires au côté opposé.
  • Le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle est appelé l’orthocentre du triangle.

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Définition

Médianes :

  • Les médianes d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé.

  • Le point d’intersection des trois médianes d’un triangle est appelé le centre de gravité du triangle.

    De plus, AG=23AA ; BG=23BB ; CG=23CCAG=\dfrac{2}{3}AA'\ ; \ BG=\dfrac{2}{3}BB'\ ;\ CG=\dfrac{2}{3}CC '

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Définition

Bissectrices :

  • Les bissectrices d’un triangle sont les droites qui partagent les angles du triangle en deux angles égaux.
  • Le point d’intersection des trois bissectrices d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Les quadrilatères

Les parallélogrammes

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Définition

Quadrilatère :

Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

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Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont :

  • les côtés opposés sont parallèles
  • les côtés opposés ont même longueur
  • les angles opposés sont égaux
  • les diagonales ont le même milieu
  • le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

  • Il y a trois parallélogrammes particuliers : le rectangle, le losange et le carré.

Le rectangle

Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un rectange :

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Définition

Rectangle :

Un rectangle est un parallélogramme qui :

  • a un angle droit
  • a les diagonales de même longueur.

Le losange

Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un losange :

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Définition

Losange :

Un losange est un parallèlogramme dont :

  • deux côtés consécutifs sont égaux
  • les quatre côtés sont égaux
  • les diagonales sont perpendiculaires

Le carré

Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un carré :

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Définition

Carré :

Un carré est :

  • un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux
  • un rectangle avec des diagonales perpendiculaires
  • un losange avec un angle droit
  • un losange avec des diagonales de même longueur

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Théorème

La diagonale d’un carré de côté aa est égale à a2a\sqrt{2}.

Repérage de points dans le plan

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Définition

Repère :

On appelle repère, tout triplet (O,I,J)(O, I,J) où le point OO est appelé l’origine du repère, II est le point donnant une unité sur l’axe des abscisses et JJ est le point donnant une unité sur l’axe des ordonnées.

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Définition

Repère orthogonal :

Un repère orthogonal est un repère où les axes sont perpendiculaires.

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Définition

Repère normé :

Un repère normé est un repère où les longueurs OIOI et OJOJ sont égales.

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Définition

Repère orthonormé :

Un repère orthonormé est un repère à la fois orthogonal et normé.

Coordonnées

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Définition

Coordonnées d’un point :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point MM sont l’abscisse xMxM et l’ordonnée yMyM de MM. On note M(xM;yM)M(xM;yM).

Milieu d’un segment

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À retenir

Soient A(xA;yA)\text{A}(xA;yA) et B(xB;yB)\text{B}(xB;yB) deux points du plan.

Les coordonnées du milieu I\text{I} du segment [AB][\text{AB}] sont : I(xA+xB2;yA+yB2)\text{I}\left(\dfrac{xA+xB}{2};\dfrac{yA+yB}{2}\right)

Calcul de longueur

On se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

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À retenir

On considère les points A(xA;yA)\text{A}(xA;yA) et B(xB;yB)\text{B}(xB;yB). La distance de A\text{A} à B\text{B}, notée AB\text{AB}, vaut :

AB=(xBxA)2+(yByA)2\text{AB}=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

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Attention

Cette relation n’est valable que si le repère est orthonormé.

Conclusion :

Toutes les définitions et propriétés de ce cours servent à démontrer bien plus que ce qui a été présenté, par exemple :

  • La réciproque ou la contraposée du théorème des milieux ou du théorème de Thalès permettent de démontrer que deux droites sont parallèles.
  • La réciproque du théorème des milieux permet de déterminer l’emplacement du milieu d’un segment.
  • La réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore permettent de démontrer lorsqu’un triangle est rectangle ou non.
  • Les théorèmes de Thalès et de Pythagore permettent de caluculer des longueurs.