Fiche de révision Propriétés et constructions des triangles

Somme des mesures des angles d'un triangle

La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à $180\degree$ : $$\widehat A+\widehat B+\widehat C=180\degree$$
Cette propriété se démontre en traçant la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ et en utilisant les angles alternes-internes.
Elle permet de calculer un angle inconnu : $\widehat{MNP}=180\degree-(\widehat{PMN}+\widehat{NPM})$.
Elle permet aussi de savoir si un triangle est constructible : si la somme des angles donnés n'est pas $180\degree$, le triangle n'existe pas.

Triangle isocèle : si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.
Réciproque : si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
Triangle équilatéral : si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.
Réciproque : si un triangle a deux (ou trois) angles de $60\degree$, alors il est équilatéral.
Triangle rectangle : si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $90\degree$).
Réciproque : si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
Triangle rectangle isocèle : si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.
Réciproque : si un triangle a deux angles de $45\degree$, alors il est rectangle et isocèle.

Astuce

Méthode pour un triangle isocèle dont on connaît l'angle au sommet : chaque angle à la base vaut $(180\degree-\text{angle au sommet})\div 2$.

Connaissant les trois côtés : on peut construire le triangle si le plus long côté est inférieur à la somme des deux autres.
Méthode : tracer un côté, puis avec le compas reporter les deux autres longueurs à partir de chaque extrémité ; l'intersection des arcs donne le troisième sommet.
Connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment :
Méthode : tracer un côté ; tracer la demi-droite formant l'angle donné ; reporter la longueur du second côté ; relier les points.
Connaissant un côté et deux angles adjacents à ce côté : la somme des deux angles doit être inférieure à $180\degree$.
Méthode : tracer le côté ; à chaque extrémité, tracer la demi-droite de l'angle correspondant ; leur intersection donne le troisième sommet.

Astuce

Si un des deux angles connus n'est pas adjacent au côté donné, on déduit le troisième angle avec la somme de $180\degree$.

La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à $180\degree$ : $$\widehat A+\widehat B+\widehat C=180\degree$$
Cette propriété se démontre en traçant la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ et en utilisant les angles alternes-internes.
Elle permet de calculer un angle inconnu : $\widehat{MNP}=180\degree-(\widehat{PMN}+\widehat{NPM})$.
Elle permet aussi de savoir si un triangle est constructible : si la somme des angles donnés n'est pas $180\degree$, le triangle n'existe pas.

Triangle isocèle : si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.
Réciproque : si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
Triangle équilatéral : si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.
Réciproque : si un triangle a deux (ou trois) angles de $60\degree$, alors il est équilatéral.
Triangle rectangle : si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $90\degree$).
Réciproque : si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
Triangle rectangle isocèle : si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.
Réciproque : si un triangle a deux angles de $45\degree$, alors il est rectangle et isocèle.

Astuce

Méthode pour un triangle isocèle dont on connaît l'angle au sommet : chaque angle à la base vaut $(180\degree-\text{angle au sommet})\div 2$.

Connaissant les trois côtés : on peut construire le triangle si le plus long côté est inférieur à la somme des deux autres.
Méthode : tracer un côté, puis avec le compas reporter les deux autres longueurs à partir de chaque extrémité ; l'intersection des arcs donne le troisième sommet.
Connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment :
Méthode : tracer un côté ; tracer la demi-droite formant l'angle donné ; reporter la longueur du second côté ; relier les points.
Connaissant un côté et deux angles adjacents à ce côté : la somme des deux angles doit être inférieure à $180\degree$.
Méthode : tracer le côté ; à chaque extrémité, tracer la demi-droite de l'angle correspondant ; leur intersection donne le troisième sommet.

Astuce

Si un des deux angles connus n'est pas adjacent au côté donné, on déduit le troisième angle avec la somme de $180\degree$.