Connaître et utiliser les triangles

Définition et propriétés générales des triangles

Définition

Définition

Triangle :

Un triangle est un polygone particulier possédant trois côtés et donc trois sommets.

Rappel

Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par différents segments.

Nous allons voir deux propriétés générales concernant les triangles. Commençons par celle concernant les angles.

Propriété sur les angles

Propriété

Dans un triangle, la somme des angles vaut $180\degree$.

Si on trace un triangle sur une feuille de papier, on constate que la somme des trois angles mesurés à l’aide d’un rapporteur vaut $180\degree$.

Exemple

Si on veut tracer un triangle $ABC$ tel que :

• $\widehat{ABC} =30\degree$
• $\widehat{ABC} =60\degree$
• $\widehat{ABC} =40\degree$

On constate qu’il est impossible de le tracer.
En effet, si on calcule la somme des angles, elle vaut $130\degree$ et non $180\degree$. Pour pouvoir construire un triangle, la somme de ses angles doit nécessairement être égale à $180\degree$.

Inégalité triangulaire

Propriété

Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple

Imaginons un parcours en forme de triangle, dont les sommets se nomment $A$, $B$ et $C$.
Le trajet le plus court pour aller de l’école ($A$) à la maison ($B$) est de suivre la route qui mène directement à destination, c’est-à-dire de faire le trajet $[AB]$.

Si on passe par la boulangerie ($C$) qui est dans une autre rue pour aller au point $B$, le chemin sera plus long.

On constate donc que $AB < BC + AC$, de même que $BC < AB + AC$ et que $AC < AB + BC$.

• On peut en conclure que, dans un triangle, la longueur d’un côté est donc toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Si on souhaite déplacer la boulangerie de façon à ce que les deux trajets $[AC]$ et $[BC]$ soient de même distance, il faut placer la boulangerie sur le trajet initial, c’est-à-dire placer le point $C$ sur $[AB]$.

$A$, $B$ et $C$ sont ainsi alignés et nous obtenons un triangle dit « plat ».

• On a ainsi $AB = AC + BC$

Si on souhaite déplacer la boulangerie pour que le second trajet soit plus court que le premier, on constate que ce n’est pas possible.
Nous allons l’expliciter par un exemple concret. Soit un triangle $ABC$ dont les longueurs respectives sont :

• $AB = 2 \text{ cm}$
• $BC = 1\text{ cm}$
• $AC = 4\text{ cm}$
• La réalisation de ce triangle est impossible puisqu’on remarque que $AC > AB + BC$. Autrement dit, la longueur du côté $AC$ est supérieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

De ces différents exemples, on peut conclure que pour pouvoir tracer un triangle il faut que la longueur d’un côté du triangle soit inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

Nous allons maintenant apprendre à tracer les triangles.

Tracer des triangles quelconques

En connaissant les longueurs

Méthodologie

• On trace le premier côté ;
• On trace, à l’aide du compas, deux arcs de cercle en réglant le compas sur la longueur des deux autres côtés ;
• On obtient ainsi le troisième point et on peut relier les différents côtés.

En connaissant certaines longueurs et certains angles

Méthodologie

• On trace le premier côté ;
• on trace un angle adjacent à droite à l’aide d’un rapporteur qu’on positionne au bout du segment ;
• on trace le second angle adjacent à gauche ;
• le croisement des deux droites délimitant ces angles sera le troisième point de ce triangle.

Certains triangles possèdent des caractéristiques particulières les distinguant des autres triangles.

Les différents types de triangles

Le triangle rectangle

Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.

Méthodologie

• Il faut commencer par tracer les côtés adjacents à l’angle droit (à côté de l’angle droit). À l’aide de l’équerre on trace l’angle droit, puis on se sert de la règle afin que les segments aient la bonne longueur.
• Puis, il faut joindre les extrémités des segments pour tracer le dernier côté.

Définition

Hypoténuse :

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse représente le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté.

Définition

Côté adjacent :

Adjacent signifie « collé à », « à côté de ». Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents à l’angle droit sont les deux côtés délimitant l’angle droit.

Le triangle isocèle

Définition

Triangle isocèle :

Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.

Méthodologie

• Il faut commencer par tracer le côté ayant la longueur différente des deux autres.
• À l’aide d’un compas, on prend une longueur quelconque. On place la pointe du compas à l’une des extrémités du segment et on marque un arc de cercle. Il faut faire de même à l’autre extrémité du segment, en gardant la même longueur.
  L’endroit où les arcs de cercle se croisent représente le dernier point du triangle.
• On joint ce point aux extrémités du segment et on obtient le triangle isocèle.

Astuce

La base du triangle isocèle représente le seul côté possédant une mesure différente, on peut aussi dire que c’est le côté opposé à l’angle encadré par les côtés égaux du triangle.

Le triangle équilatéral

Définition

Triangle équilatéral :

Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux.

Méthodologie

Pour tracer un triangle équilatéral, on effectue les mêmes étapes que pour le triangle isocèle en restant vigilant toutefois à reporter, à l’aide du compas, la même longueur que celle du segment tracé au départ.