Cours : Connaître et utiliser les triangles

Définition et propriétés générales des triangles

Définition

Définition

Triangle :

Un triangle est un polygone particulier possédant trois côtés et donc trois sommets.

Rappel

Un polygone est une figure géométrique plane fermée, délimitée par différents segments.

Nous allons maintenant voir deux propriétés générales concernant les triangles.

Propriété sur les angles

Commençons par la propriété concernant les angles d’un triangle.

Propriété

Dans un triangle, la somme des angles vaut $180\degree$.

Si on trace un triangle sur une feuille de papier, on constate que la somme des trois angles mesurés à l’aide d’un rapporteur vaut $180\degree$.

Exemple

On veut tracer un triangle $ABC$ tel que :

• $\widehat{ABC} =30\degree$ ;
• $\widehat{ACB} =60\degree$ ;
• $\widehat{BAC} =40\degree$.

On constate qu’il est impossible de le tracer.
En effet, la somme des angles vaut $130\degree$, et non $180\degree$.

À retenir

Pour pouvoir construire un triangle, il faut que la somme des angles donnés soit égale à $180\degree$.

Nous voyons aussi une autre conséquence de cette propriété.

À retenir

Si nous connaissons deux angles d’un triangle, nous pouvons calculer la mesure du troisième, puisque la somme des trois angles vaut $180\degree$.

Exemple

On considère le triangle $ABC$ tel que :

• $\widehat{ABC}=40\degree$,
• $\widehat{BCA}=65\degree$.

Nous avons :

$$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180\degree$$

Soit :

$$\widehat{CAB}+40\degree+65\degree=\widehat{CAB}+105\degree= 180\degree$$

D’où :

$$\widehat{CAB}=180\degree-105\degree=75\degree$$

Dans un prochain cours, nous reviendrons plus longuement sur les angles des triangles.

Inégalité triangulaire

Les triangles ont une autre propriété, concernant la longueur de leurs côtés.

• Imaginons un parcours en forme de triangle, dont les sommets se nomment $A$, $B$ et $C$.

Le trajet le plus court pour aller de l’école $A$ à la maison $B$ est de suivre la route qui mène directement à destination, c’est-à-dire de faire le trajet $[AB]$.

Si on passe par la boulangerie $C$, qui est dans une autre rue, pour aller au point $B$, le chemin sera plus long.
On constate donc que $AB < BC + AC$, de même que $BC < AB + AC$ et que $AC < AB + BC$.

• On peut en conclure que, dans un triangle, la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
• Si on souhaite que le trajet pour se rendre de l’école $A$ à la maison $B$ en passant par la boulangerie $C$ soit de même longueur que celui qui mène de $A$ à $B$ directement, il faut placer la boulangerie sur le trajet direct école-maison, c’est-à-dire placer le point $C$ sur $[AB]$.

Dans ce cas, $A$, $B$ et $C$ sont alignés et nous obtenons un triangle aplati.

• On a alors $AB = AC + BC$.
• En revanche, on comprend bien qu’il est impossible de placer la boulangerie à un endroit qui permette que le trajet de l’école à la maison en passant par la boulangerie soit plus court que le trajet direct école-maison…

Nous avons ainsi la propriété suivante, appelée inégalité triangulaire.

Propriété

Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

À retenir

Pour pouvoir tracer un triangle dont on connaît la longueur des côtés, il faut que la longueur de chaque côté soit inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

Astuce

En pratique, pour vérifier qu’un triangle est constructible, on regarde si la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés :

• si c’est le cas, le triangle sera constructible ;
• sinon, il sera impossible de tracer le triangle.

Dans le cas particulier où la longueur du côté le plus long est égale à la somme des longueurs des deux autres, le triangle sera aplati.

Exemple

On souhaite construire un triangle $ABC$ avec les longueurs suivantes :

• $AB = 2 \text{ cm}$,
• $BC = 1\text{ cm}$,
• $AC = 4\text{ cm}$.
• La réalisation de ce triangle est impossible puisqu’on remarque que $AC > AB + BC$.

Tracer des triangles quelconques

Voyons maintenant comment construire des triangles en fonction des données que nous avons.

En connaissant les longueurs

À retenir

On peut construire un triangle si on connaît la longueur des trois côtés et si celle du plus long est inférieure à la somme de celles des deux autres.

On veut construire un triangle dont les longueurs des côtés sont connues.

• On peut commencer par vérifier que la longueur la plus longue est bien inférieure à la somme des deux autres.

Méthodologie :

• On trace un premier côté, de la longueur correspondante ; puis, à partir d’une extrémité, on trace un arc de cercle en réglant le compas avec un écartement égal à la longueur d’un autre côté.
• À partir de l’autre extrémité, on reporte, toujours avec le compas, la dernière longueur. L’intersection des arcs donne le troisième sommet.
• On peut relier les trois points pour obtenir le triangle.

En connaissant certaines longueurs et certains angles

À retenir

On peut construire un triangle :

• si on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle qu’ils forment.
• si on connaît la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté, à la condition que la somme de ces deux angles soit inférieure à $180\degree$.

Astuce

On parle d’angles adjacents à un côté pour désigner les angles situés aux extrémités de ce côté.

Premier cas

On veut construire un triangle dont on connaît la longueur de deux côtés et l’angle qu’ils forment.

Méthodologie :

• On trace un des deux côtés dont on connaît la longueur.
• On mesure l’angle donné et on trace la demi-droite correspondante.
• Sur cette demi-droite, on mesure la longueur du deuxième côté connue, pour placer le troisième sommet.
• On peut relier les points pour former le triangle.

Deuxième cas

On veut construire un triangle dont on connaît la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté.

• On peut commencer par vérifier que la somme des deux mesures d’angle est bien inférieure à $180\degree$.

Astuce

Si l’un des deux angles connus n’est pas adjacent au côté dont la longueur est donnée, cela ne pose pas de problème, car, connaissant deux angles d’un triangle, on peut en déduire le troisième, comme nous l’avons vu plus haut.

Méthodologie :

• On trace le côté dont on connaît la longueur.
• À une extrémité du côté, on mesure l’un des deux angles donnés et on trace la demi-droite correspondante.
• On fait de même à l’autre extrémité du côté avec le deuxième angle.
• Le point d’intersection des deux demi-droites tracées sera le troisième point de ce triangle.

Triangles particuliers

Certains triangles possèdent des caractéristiques particulières les distinguant des autres triangles.

Le triangle rectangle

Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.

Définition

Hypoténuse :

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse représente le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté.

Définition

Côtés adjacents :

Adjacent signifie « collé à », « à côté de ».
Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents à l’angle droit sont les deux côtés formant l’angle droit.

On veut construire un triangle rectangle dont on connaît la longueur des deux côtés adjacents à l’angle droit.

Méthodologie :

• On commence par tracer les côtés adjacents à l’angle droit :
• avec l’équerre pour obtenir deux demi-droites qui forment l’angle droit ;
• avec une règle graduée pour mesurer les longueurs correspondantes sur les deux demi-droites et y marquer les deux autres sommets.
• On peut ensuite joindre les deux points marqués pour obtenir l’hypoténuse.

Le triangle isocèle

Définition

Triangle isocèle :

Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.

On considère le triangle isocèle $ABC$, où $AB=AC$.

Définition

Vocabulaire du triangle isocèle :

• Le point $A$ est le sommet du triangle qui est commun aux deux côtés de même longueur.
• Il est appelé sommet principal du triangle isocèle.
• On dit que $ABC$ est un triangle isocèle en $A$.
• $[BC]$ est le côté opposé au sommet principal.
• Il est appelé base du triangle isocèle.

On souhaite construire un triangle isocèle, sans données imposées.

Méthodologie :

• On trace un côté du triangle, qui sera la base du triangle isocèle.
• À l’aide d’un compas, on prend une longueur quelconque, en veillant à ce qu’elle soit supérieure à la moitié de la longueur de la base (pour respecter l’inégalité triangulaire).
• On place la pointe du compas à l’une des extrémités du segment et on reporte la longueur choisie en marquant un arc de cercle.
• On fait de même à l’autre extrémité du segment, en veillant à ne pas changer l’écartement du compas.
• L’intersection des arcs de cercle donne le troisième point du triangle.
• On joint ce point aux extrémités du segment et on obtient un triangle isocèle.

Le triangle équilatéral

Définition

Triangle équilatéral :

Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux.

Astuce

On peut remarquer qu’un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.

• Si $ABC$ est un triangle équilatéral, alors il est isocèle en $A$, en $B$ et en $C$.

Pour tracer un triangle équilatéral, on effectue les mêmes étapes que pour le triangle isocèle en veillant à reporter, à l’aide du compas, la même longueur que celle du segment tracé au départ.