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Connaître et utiliser les triangles
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Introduction :
Certains polygones sont particuliers et possèdent des propriétés qui leur sont propres.
Parmi eux, nous trouvons le triangle, dont nous allons découvrir dans ce cours plusieurs propriétés importantes.
Nous étudierons aussi plus spécifiquement différents types de triangles : nous les définirons, puis nous apprendrons à les tracer.
Définition et propriétés générales des triangles
Définition
Triangle :
Un triangle est un polygone particulier possédant trois côtés et donc trois sommets.
Un polygone est une figure géométrique plane fermée, délimitée par différents segments.
Nous allons maintenant voir deux propriétés générales concernant les triangles.
Propriété sur les angles
Commençons par la propriété concernant les angles d’un triangle.
Dans un triangle, la somme des angles vaut .
Si on trace un triangle sur une feuille de papier, on constate que la somme des trois angles mesurés à l’aide d’un rapporteur vaut .
On veut tracer un triangle tel que :
On constate qu’il est impossible de le tracer.
En effet, la somme des angles vaut , et non .
Pour pouvoir construire un triangle, il faut que la somme des angles donnés soit égale à .
Nous voyons aussi une autre conséquence de cette propriété.
Si nous connaissons deux angles d’un triangle, nous pouvons calculer la mesure du troisième, puisque la somme des trois angles vaut .
On considère le triangle tel que :
Nous avons :
Soit :
D’où :
Dans un prochain cours, nous reviendrons plus longuement sur les angles des triangles.
Inégalité triangulaire
Les triangles ont une autre propriété, concernant la longueur de leurs côtés.
Le trajet le plus court pour aller de l’école à la maison est de suivre la route qui mène directement à destination, c’est-à-dire de faire le trajet .
Si on passe par la boulangerie , qui est dans une autre rue, pour aller au point , le chemin sera plus long.
On constate donc que , de même que et que .
Dans ce cas, , et sont alignés et nous obtenons un triangle aplati.
Nous avons ainsi la propriété suivante, appelée inégalité triangulaire.
Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Pour pouvoir tracer un triangle dont on connaît la longueur des côtés, il faut que la longueur de chaque côté soit inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
En pratique, pour vérifier qu’un triangle est constructible, on regarde si la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés :
Dans le cas particulier où la longueur du côté le plus long est égale à la somme des longueurs des deux autres, le triangle sera aplati.
On souhaite construire un triangle avec les longueurs suivantes :
Tracer des triangles quelconques
Voyons maintenant comment construire des triangles en fonction des données que nous avons.
En connaissant les longueurs
On peut construire un triangle si on connaît la longueur des trois côtés et si celle du plus long est inférieure à la somme de celles des deux autres.
On veut construire un triangle dont les longueurs des côtés sont connues.
Méthodologie :
En connaissant certaines longueurs et certains angles
On peut construire un triangle :
On parle d’angles adjacents à un côté pour désigner les angles situés aux extrémités de ce côté.
On veut construire un triangle dont on connaît la longueur de deux côtés et l’angle qu’ils forment.
Méthodologie :
On veut construire un triangle dont on connaît la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté.
Si l’un des deux angles connus n’est pas adjacent au côté dont la longueur est donnée, cela ne pose pas de problème, car, connaissant deux angles d’un triangle, on peut en déduire le troisième, comme nous l’avons vu plus haut.
Méthodologie :
Triangles particuliers
Certains triangles possèdent des caractéristiques particulières les distinguant des autres triangles.
Le triangle rectangle
Triangle rectangle :
Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.
Hypoténuse :
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse représente le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté.
Côtés adjacents :
Adjacent signifie « collé à », « à côté de ».
Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents à l’angle droit sont les deux côtés formant l’angle droit.
On veut construire un triangle rectangle dont on connaît la longueur des deux côtés adjacents à l’angle droit.
Méthodologie :
Le triangle isocèle
Triangle isocèle :
Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.
On considère le triangle isocèle , où .
Triangle isocèle
Vocabulaire du triangle isocèle :
On souhaite construire un triangle isocèle, sans données imposées.
Méthodologie :
Le triangle équilatéral
Triangle équilatéral :
Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux.
On peut remarquer qu’un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.
Triangle équilatéral
Pour tracer un triangle équilatéral, on effectue les mêmes étapes que pour le triangle isocèle en veillant à reporter, à l’aide du compas, la même longueur que celle du segment tracé au départ.