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Introduction :
Certains polygones sont particuliers et possèdent des propriétés qui leur sont propres.
Dans cette leçon, nous allons commencer par définir ce qu’est un triangle, puis découvrir les propriétés générales de celui-ci.
Enfin nous étudierons plus spécifiquement les différents types de triangles : nous définirons chacun d’eux puis nous apprendrons également à les tracer.
Définition et propriétés générales des triangles
Définition
Triangle :
Un triangle est un polygone particulier possédant trois côtés et donc trois sommets.
Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par différents segments.
Nous allons voir deux propriétés générales concernant les triangles. Commençons par celle concernant les angles.
Propriété sur les angles
Dans un triangle, la somme des angles vaut .
Si on trace un triangle sur une feuille de papier, on constate que la somme des trois angles mesurés à l’aide d’un rapporteur vaut .
Si on veut tracer un triangle tel que :
On constate qu’il est impossible de le tracer.
En effet, si on calcule la somme des angles, elle vaut et non . Pour pouvoir construire un triangle, la somme de ses angles doit nécessairement être égale à .
Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Imaginons un parcours en forme de triangle, dont les sommets se nomment , et .
Le trajet le plus court pour aller de l’école () à la maison () est de suivre la route qui mène directement à destination, c’est-à-dire de faire le trajet .
Si on passe par la boulangerie () qui est dans une autre rue pour aller au point , le chemin sera plus long.
On constate donc que , de même que et que .
Si on souhaite déplacer la boulangerie de façon à ce que les deux trajets et soient de même distance, il faut placer la boulangerie sur le trajet initial, c’est-à-dire placer le point sur .
, et sont ainsi alignés et nous obtenons un triangle dit « plat ».
Si on souhaite déplacer la boulangerie pour que le second trajet soit plus court que le premier, on constate que ce n’est pas possible.
Nous allons l’expliciter par un exemple concret.
Soit un triangle dont les longueurs respectives sont :
De ces différents exemples, on peut conclure que pour pouvoir tracer un triangle il faut que la longueur d’un côté du triangle soit inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
Nous allons maintenant apprendre à tracer les triangles.
Tracer des triangles quelconques
En connaissant les longueurs
En connaissant certaines longueurs et certains angles
Certains triangles possèdent des caractéristiques particulières les distinguant des autres triangles.
Les différents types de triangles
Le triangle rectangle
Triangle rectangle :
Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.
Hypoténuse :
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse représente le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté.
Côté adjacent :
Adjacent signifie « collé à », « à côté de ». Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents à l’angle droit sont les deux côtés délimitant l’angle droit.
Le triangle isocèle
Triangle isocèle :
Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.
La base du triangle isocèle représente le seul côté possédant une mesure différente, on peut aussi dire que c’est le côté opposé à l’angle encadré par les côtés égaux du triangle.
Le triangle équilatéral
Triangle équilatéral :
Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux.
Pour tracer un triangle équilatéral, on effectue les mêmes étapes que pour le triangle isocèle en restant vigilant toutefois à reporter, à l’aide du compas, la même longueur que celle du segment tracé au départ.