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Connaître et utiliser les triangles (suite)

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons définir et étudier les droites particulières des triangles que sont les médiatrices, les bissectrices, les médianes et enfin les hauteurs.

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Rappel

Quand on cherche la distance entre un point et une droite (ou un segment) on prend toujours le chemin le plus court. Pour cela, on trace la perpendiculaire à la droite (ou au segment) passant par le point et on mesure la distance.

Les médiatrices

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Définition

Médiatrice :

La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement et en son milieu.

Chaque segment possède une médiatrice et par conséquent chaque côté du triangle en possède une.

Méthodologie pour tracer une médiatrice

Pour tracer une médiatrice il faut :

  • prendre un écart de compas de la taille du segment ;
  • placer la pointe du compas sur l’extrémité du segment et tracer un arc de cercle au-dessus et au-dessous du segment ;
  • faire de même à l’autre extrémité du segment. Les arcs de cercles se croisent une fois au-dessus du segment et une fois au-dessous, cela détermine deux points distincts ;
  • tracer la droite joignant ses deux points.
  • Cette droite est la médiatrice du segment.

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Activité

Sur un triangle ABCABC, on place un point sur la médiatrice du segment [AB][AB] et on mesure la distance entre ce point et le point AA puis entre ce point et le point BB.

  • On constate que la distance entre un point situé sur la médiatrice d’un segment et chacune des extrémités de celui-ci est la même.

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On en déduit la propriété suivante.

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Propriété

Un point situé sur la médiatrice d’un segment se trouve à équidistance de ses extrémités.

On trace à présent un triangle et toutes ses médiatrices.

  • On constate que toutes les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.

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On nomme OO le point d’intersection des médiatrices du triangle.
On trace ensuite un cercle de centre OO et de rayon [AO][AO] :

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  • On constate que le cercle tracé passe par les trois sommets du triangle. C’est le cercle circonscrit au triangle.

[OA][OA], [OB][OB] et [OC][OC] sont trois rayons du cercle de centre OO, donc OA=OB=OCOA=OB=OC.

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Propriété

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les bissectrices

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Définition

Bissectrice :

Une bissectrice est une droite séparant un angle en deux angles égaux.

Chaque angle possède une bissectrice, donc chacun des trois angles d’un triangle en possède une.

Méthodologie pour tracer une bissectrice

Soit un angleAOB^\widehat{AOB} :

  • on place un point NN sur [BO][BO] ;
  • on prend l’écart ONON avec le compas et on place sa pointe sur OO. On trace un arc de cercle sur [OA][OA]. L’intersection de l’arc de cercle et du segment représente le point MM ;
  • on place la pointe du compas sur MM et on trace un arc de cercle à l’intérieur de l’angle ;
  • on fait la même chose en plaçant la pointe du compas sur le point NN ;
  • l’intersection de ces deux arcs de cercle représente le point EE ;
  • on trace la droite passant par les points OO et EE.
  • Cette droite est la bissectrice de l’angle AOB^\widehat{AOB}.

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Activité

On place un point DD sur la bissectrice de l’angle AOB^\widehat{AOB}, puis on trace la perpendiculaire à [OB][OB] passant par DD, elle coupe ce segment en CC. On trace ensuite la perpendiculaire à [OA][OA] passant par DD, elle coupe ce segment en FF. On mesure les distances DCDC et DFDF.

  • On constate que les mesures sont les mêmes.

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On en déduit la propriété suivante.

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Propriété

Les points situés sur la bissectrice d’un angle sont à équidistance des deux segments formant cet angle.

À présent, on trace un triangle et ses bissectrices.

  • On constate que toutes les bissectrices d’un triangle se coupent en un même point. On nomme ce point II.

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On trace ensuite un cercle de centre II et de rayon [IF][IF], FF étant le point d’intersection entre la bissectrice passant par le sommet BB et le segment [AC][AC].

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  • On constate que le cercle tracé est entièrement à l’intérieur du triangle et possède exactement un point commun avec chacun des trois côtés (il est tangent aux trois côtés du triangle), c’est le cercle inscrit dans le triangle.
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Propriété

Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Les médianes

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Définition

Médiane :

La médiane est la droite joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.

Méthodologie pour tracer une médiane

  • Pour tracer une médiane sur une triangle ABCABC, on se place au milieu du côté [AB][AB] et on trace le segment le reliant au sommet CC.

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Activité

On trace ensuite toutes les médianes.

  • On constate qu’elles se coupent toutes en un même point, ici appelé GG. GG est le centre de gravité du triangle ABCABC.

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Propriété

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Les hauteurs

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Définition

Hauteur  :

La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Méthodologie pour tracer une hauteur

  • Pour tracer une hauteur, on place l’équerre à la perpendiculaire de la base et on trace le segment reliant la base au sommet opposé.

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Activité

On trace maintenant les trois hauteurs du triangle ABCABC.

  • On constate que les hauteurs du triangle se coupent en un même point que l’on nomme HH. HH est l’orthocentre du triangle ABCABC.

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Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.