Cours Propriétés et constructions des triangles

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.

$\widehat {BAC}+\widehat {CBA}+ \widehat {ACB}=180\degree$ ou $\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree$.

Démonstration

Considérons un triangle $ABC$.
Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ et plaçons deux points $D$ et $E$ de part et d’autre de $A$. Cette droite tracée est donc nommée $(DE)$.

• Les angles $\widehat {DAB}$ et $\widehat {CBA}$ sont formés par les deux droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AB)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
• Ils ont donc la même mesure : $\green{\widehat {DAB}} =\green{\widehat {CBA}}$.
• Les deux angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {ACB}$ sont formés par les droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AC)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
• Ils ont donc la même mesure : $\blue{\widehat {CAE}} = \blue{\widehat {ACB}}$.
• Or, par construction, les points $D$, $A$ et $E$ appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

Nous en déduisons que l’angle $\widehat {DAE}$ est un angle plat.
Nous avons donc :

$$\green{\widehat{DAB}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{CAE}}=\widehat{DAE}=180\degree$$.

Ainsi, avec les égalités que nous avons montrées aux deux premiers points, nous obtenons :

$$\green{\widehat{CBA}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{ACB}}=180\degree$$.

• La somme des angles du triangle est donc égale à $180\degree$.

Exercices d’application

• Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{MNP}$.

Comme la somme des mesures des angles est égale à $180\degree$, nous avons : $$\widehat {MNP} + \widehat {PMN} + \widehat {NPM}=180\degree$$.
Donc :

$$\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}$$.

• Le triangle $FGH$ dont les angles mesurent $\widehat F =61\degree$, $\widehat G=45\degree$, $\widehat H=73\degree$ est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles : $$\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree$$.

Il est donc impossible de construire un triangle $FGH$ avec de telles mesures d’angles.

Angles des triangles particuliers

Triangle isocèle

Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.

Exemple

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$.
Sa base est $[BC]$, donc : $\widehat {ABC}=\widehat {BCA}$.

Exercices d’application

• Dans le triangle $PRS$ suivant, calculons la mesure de chacun des angles $\widehat {SRP}$ et $\widehat {PSR}$.

Comme le triangle $PRS$ est isocèle en $P$, les angles à sa base $[RS]$ ont la même mesure :

$$\widehat {SRP} = \widehat {PSR}$$.

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {SRP} + \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ \widehat{SRP}+ \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree\\ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree-104\degree\\ \widehat{SRP}&=(180\degree-104\degree)\div2\\ \widehat{SRP}&= 76\degree\div 2\\ \widehat{SRP}&= 38\degree \end{aligned}$$.

• Donc : $\widehat {SRP}= \widehat {PSR}=38\degree$.
• Dans le triangle $UTV$ suivant, calculons la mesure de l’angle $\widehat {VTU}$

Comme le triangle $UTV$ est isocèle en $T$, les angles à sa base $[UV]$ ont la même mesure :

$$\widehat {TUV}=\widehat {UVT}=26\degree$$.

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {UVT}+\widehat {VTU}&=180\degree\\ 26\degree \times 2+ \widehat {VTU}&=180\degree\\ \widehat {VTU}&=180\degree-(26\degree\times 2) \\ \widehat {VTU}&=180\degree-52\degree\\ \widehat {VTU}&=128\degree \end {aligned}$$.

• Donc : $\widehat {UTV}=128\degree$.

Pour montrer qu’un triangle est isocèle, on utilise la réciproque de la propriété que nous avons vue.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle équilatéral

On considère un triangle équilatéral $ABC$.

Le triangle équilatéral $ABC$ est un triangle isocèle particulier et on peut dire qu’il est isocèle en $A$, en $B$ et en $C$.

Nous allons donc utiliser la propriété que nous avons vue dans le paragraphe précédent sur les angles d’un triangle isocèle.

• $ABC$ est isocèle en $A$.

Les angles à sa base $[BC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}$$.

• $ABC$ est aussi isocèle en $B$.

Les angles à sa base $[AC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$$.

• Nous en déduisons que les angles $\widehat{CBA}$, $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BAC}$ sont de mesure égale :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}$$.

Or, la somme des trois angles d’un triangle vaut $180\degree$.

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=180\degree\div 3=60\degree$$.

Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.

Nous pouvons utiliser la réciproque de cette propriété pour montrer qu’un triangle est équilatéral.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant $60\degree$, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ et que $\widehat {CAB}=90\degree$ :

$$90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {BCA}=180\degree$$.

Donc :

$$\begin{aligned} \widehat {ABC} + \widehat {BCA}&=180\degree-90\degree\\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}$$.

• Ainsi, les angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCA}$ sont complémentaires.

Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

$XYZ$ est un triangle rectangle et isocèle en $X$.

• Nous savons que $XYZ$ est rectangle en $X$, donc $\widehat {ZXY}=90\degree$ et nous avons :

$$\widehat {XYZ}+\widehat {YZX}=90\degree$$.

• Nous savons aussi que $XYZ$ est isocèle en $X$, donc :

$$\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}$$.

• Nous obtenons alors :

$$\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=90\degree \div 2\\ \widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=45\degree\end{aligned}$$.

Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles qui mesurent $45\degree$, alors c’est un triangle rectangle et isocèle.

Constructions de triangles à partir de plusieurs données

Voyons maintenant comment construire des triangles en fonction des données que nous avons.

En connaissant les longueurs

À retenir

Nous pouvons construire un triangle si nous connaissons la longueur de chacun de ses trois côtés et si celle du plus long côté est inférieure à la somme de celles des deux autres.

Nous voulons construire un triangle dont les 3 longueurs des côtés sont connues.

• Nous pouvons commencer par vérifier que la longueur la plus longue est bien inférieure à la somme des deux autres.

Méthodologie :

• Traçons un premier côté, de la longueur correspondante ; puis, à partir d’une extrémité, traçons un arc de cercle en réglant le compas avec un écartement égal à la longueur d’un autre côté.
• À partir de l’autre extrémité, reportons, toujours avec le compas, la dernière longueur. L’intersection des arcs donne le troisième sommet.
• Nous pouvons relier les trois points pour obtenir le triangle.

En connaissant certaines longueurs et certains angles

À retenir

Nous pouvons construire un triangle :

• si nous connaissons la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle qu’ils forment.
• si nous connaissons la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté, à la condition que la somme de ces deux angles soit inférieure à $180\degree$.

Astuce

Nous parlons d’angles adjacents à un côté pour désigner les angles situés aux extrémités de ce côté.

Premier cas

Nous voulons construire un triangle dont on connaît la longueur de deux côtés et l’angle qu’ils forment.

Méthodologie :

• Traçons un des deux côtés dont nous connaissons la longueur.
• Mesurons l’angle donné et traçons la demi-droite correspondante.
• Sur cette demi-droite, mesurons la longueur du deuxième côté connue, pour placer le troisième sommet.
• Nous pouvons relier les points pour former le triangle.

Deuxième cas

Nous voulons construire un triangle dont nous connaissons la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté.

• Nous pouvons commencer par vérifier que la somme des deux mesures d’angle est bien inférieure à $180\degree$.

Astuce

Si l’un des deux angles connus n’est pas adjacent au côté dont la longueur est donnée, cela ne pose pas de problème, car, connaissant deux angles d’un triangle, nous pouvons en déduire le troisième, comme nous l’avons vu plus haut.

Méthodologie :

• Traçons le côté dont on connaît la longueur.
• À une extrémité du côté, mesurons l’un des deux angles donnés et traçons la demi-droite correspondante.
• Faisons de même à l’autre extrémité du côté avec le deuxième angle.
• Le point d’intersection des deux demi-droites tracées sera le troisième sommet de ce triangle.