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Connaître et utiliser les triangles (suite)

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons définir et étudier les droites particulières des triangles que sont ses médiatrices et ses hauteurs, dont nous nous servirons très souvent à l’avenir.
Nous en profiterons pour approfondir en définissant d’autres droites remarquables : ses médianes et ses bissectrices.

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Rappel

Quand on cherche la distance entre un point et une droite (ou un segment), on prend toujours le chemin le plus court. Pour cela :

  • on trace la perpendiculaire à la droite (ou au segment) passant par le point ;
  • on mesure la distance entre le point et l’intersection de la droite (ou du segment) et de la perpendiculaire.

Les médiatrices

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Définition

Médiatrice d’un segment :

La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

On peut tracer la médiatrice de tout segment. Par conséquent, un triangle possède trois médiatrices.

Méthodologie pour tracer une médiatrice

  • On prend un écartement de compas, que l’on conservera ensuite, ni trop grand (pour que la figure ne soit pas trop grande) ni trop petit (pour que les arcs de cercle que l’on tracera se croisent).
  • Il faut que cet écartement soit strictement supérieur à la moitié de la longueur du segment (on peut choisir de prendre la longueur du segment, s’il n’est pas trop long).
  • On place la pointe du compas sur une extrémité du segment et on trace un arc de cercle au-dessus et au-dessous du segment.
  • On fait de même à l’autre extrémité du segment, sans changer l’écartement du compas.
  • Les arcs de cercles se croisent une fois au dessus du segment et une fois au dessous, cela détermine deux points distincts.
  • On tracer la droite joignant ces deux points.
  • Cette droite est la médiatrice du segment.

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Activité

On trace la médiatrice d’un segment [AB][AB]. On place sur cette médiatrice un point MM, puis on mesure les distances AMAM et BMBM : elles sont égales.

  • On constate que la distance entre un point situé sur la médiatrice d’un segment et chacune des extrémités de celui-ci est la même.

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On en déduit la propriété suivante.

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Propriété

Un point situé sur la médiatrice d’un segment se trouve à équidistance de ses extrémités.

On trace à présent un triangle et toutes ses médiatrices.

  • On constate que toutes les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.
    On dit qu’elles sont concourantes.

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On note OO le point d’intersection des médiatrices du triangle.
On trace ensuite un cercle de centre OO et de rayon [OA][OA] :

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  • On constate que le cercle tracé passe par les trois sommets du triangle.
    Il est appelé cercle circonscrit au triangle.

[OA][OA], [OB][OB] et [OC][OC] sont trois rayons du cercle de centre OO, donc OA=OB=OCOA=OB=OC.

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Propriété

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les hauteurs d’un triangle

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Définition

Hauteur d’un triangle  :

La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Pour tracer une hauteur, on place l’équerre à la perpendiculaire de la base et on trace la droite reliant la base au sommet opposé.

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Sur la figure ci-dessus, on a tracé la hauteur issue de AA.

Activité

On trace maintenant les trois hauteurs du triangle ABCABC.

  • On constate que les hauteurs du triangle se coupent en un même point, que l’on note HH.
    HH est appelé orthocentre du triangle ABCABC.

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Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

Approfondissements

Les médianes d’un triangle

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Définition

Médiane d’un triangle :

La médiane d’un triangle est la droite joignant un de ses sommets au milieu du côté opposé à ce sommet.

Dans un triangle ABCABC, pour tracer la médiane issue de CC, on marque le milieu du côté [AB][AB] et on trace la droite le reliant au sommet CC.

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Activité

On trace maintenant les deux autres médianes, celle issue de AA, qui passe par le milieu de [BC][BC], et celle issue de BB, qui passe par le milieu de [AC][AC].

  • On constate qu’elles se coupent toutes en un même point, que l’on note GG.
    GG est le centre de gravité du triangle ABCABC.

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Propriété

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Les bissectrices

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Définition

Bissectrice d’un angle :

La bissectrice d’un angle est une droite qui le partage en deux angles de même mesure.

Un triangle possède donc trois bissectrices.

Activité

  • On place un point DD sur la bissectrice de l’angle AOB^\widehat{AOB}, puis on trace la perpendiculaire à [OB][OB] passant par DD, elle coupe ce segment en CC.
  • On trace ensuite la perpendiculaire à [OA][OA] passant par DD, elle coupe ce segment en FF.
  • On mesure les distances DCDC et DFDF.
  • On constate qu’elles sont égales.

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On en déduit la propriété suivante.

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Propriété

Les points situés sur la bissectrice d’un angle sont à équidistance des deux segments formant cet angle.

À présent, on trace un triangle ABCABC et ses bissectrices.

  • On constate que toutes les bissectrices d’un triangle se coupent en un même point, que l’on note II.

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On trace ensuite un cercle de centre II et de rayon [IF][IF], FF étant le point d’intersection entre [AC][AC] et la bissectrice de l’angle ABC^\widehat{ABC}.

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  • On constate que le cercle tracé est entièrement à l’intérieur du triangle et possède exactement un point commun avec chacun des trois côtés (il est tangent aux trois côtés du triangle).
    Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle.
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Propriété

Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Méthodologie pour tracer une bissectrice

Soit un angle AOB^\widehat{AOB}.

  • On place un point NN sur [OB][OB].
  • On prend l’écartement ONON sur un compas. On place sa pointe sur OO et on trace un arc de cercle qui coupe [OA][OA] en un point MM.
  • On place maintenant la pointe du compas sur MM et on trace un arc de cercle à l’intérieur de l’angle.
  • On fait de même en plaçant la pointe du compas sur le point NN, sans changer l’écartement du compas.
  • L’intersection de ces deux arcs de cercle représente le point EE.
  • On trace la droite passant par OO et EE.
  • Cette droite est la bissectrice de l’angle AOB^\widehat{AOB}.

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