Fiche de révision Droites remarquables du triangle

Médiatrices et cercle circonscrit à un triangle

• La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
• Pour la tracer au compas : on garde un écartement strictement supérieur à la moitié du segment, on trace des arcs de cercle de part et d'autre du segment depuis chaque extrémité, puis on relie les deux points d'intersection des arcs.
• Un point situé sur la médiatrice d'un segment est à équidistance de ses extrémités.
• Réciproque : si un point est à égale distance des deux extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
• Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes en un point $O$, équidistant des trois sommets ($OA=OB=OC$).
• Ce point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets.

Hauteurs d'un triangle et aire d'un triangle

Hauteurs

• Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé à ce sommet.
• Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.

Aire d'un triangle

• L'aire d'un triangle de base $b$ et de hauteur associée $h$ est : $$\mathcal A=\frac{b\times h}{2}$$
• Dans un triangle rectangle, les deux côtés adjacents à l'angle droit servent de base et de hauteur : l'aire est la moitié du produit de leurs longueurs.
• Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle, d'où la division par $2$.

Exemple

Triangle de base $4\ \text{m}$ et de hauteur $3\ \text{m}$ : $\mathcal A=\dfrac{4\times3}{2}=6\ \text{m}^2$.

Médianes d'un triangle et propriété des aires

Médianes

• Une médiane d'un triangle est une droite joignant un sommet au milieu du côté opposé.
• Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Médianes et aires

• Chaque médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire.
• Démonstration : si $I$ est le milieu de $[AB]$ et $[CH]$ la hauteur issue de $C$, les triangles $ACI$ et $BCI$ ont des bases égales ($AI=IB$) et la même hauteur $CH$, donc $\mathcal A_{ACI}=\mathcal A_{BCI}$.

Astuce

À ne pas confondre :

• médiatrice : perpendiculaire et passant par le milieu d'un côté ;
• hauteur : passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ;
• médiane : passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.