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Connaître les angles d'un triangle

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Introduction :

Dans ce cours, nous verrons quelles sont les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers et comment appliquer la propriété sur la somme des trois angles d’un triangle à ces triangles particuliers.

Dans un premier temps, nous verrons quelles sont les propriété à connaître concernant la somme des trois angles d’un triangle. Puis, dans un second temps nous nous intéresserons aux angles des triangles particuliers.

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

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Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

BAC^+ABC^+ACB^=180°\widehat {BAC}+\widehat {ABC}+ \widehat {ACB}=180\degree ou A^+B^+C^=180°\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree

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Astuce

On peut dire que les trois angles d’un triangle sont supplémentaires puisque des angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à 180°180\degree.

Démonstration

Considérons le triangle ABCABC. Traçons la parallèle à (BC)(BC) passant par AA. On la nomme (DE)(DE).

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

  • Les angles DAB^\widehat {DAB} et ABC^\widehat {ABC} formés par les deux droites parallèles (DE)(DE) et (BC)(BC) et la droite sécante (AB)(AB) occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : DAB^\widehat {DAB} =ABC^\widehat {ABC}.
  • Les deux angles EAC^\widehat {EAC} et ACB^\widehat {ACB} formés par les droites parallèles (DE)(DE) et (BC)(BC) et la droite sécante (AC)(AC) occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : EAC^\widehat {EAC} = ACB^\widehat {ACB}
  • CBA^+BAC^+ACB^=DAB^+BAC^+EAC^=180°\widehat {CBA}+\widehat {BAC}+ \widehat {ACB}= \widehat {DAB}+\widehat {BAC}+ \widehat {EAC}=180\degree
  • La somme des angles du triangle est donc égale à un angle plat, c’est-à-dire 180°180\degree.

Exercices d’application

  • Déterminons la mesure de l’angle MNP^\widehat{MNP}.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des mesures des angles est égale à 180°180\degree, alors : MNP^+NMP^+NPM^=180°\widehat {MNP} + \widehat {NMP} + \widehat {NPM}=180\degree
Donc :

MNP^+30°+24°=180°MNP^=180°(30°+24°)MNP^=180°54°MNP^=126°\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}

  • Le triangle FGHFGH dont les angles mesurent F^=61°\widehat F =61\degree, G^=45°\widehat G=45\degree, H^=73°\widehat H=73\degree est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles de ce triangle : F^+G^+H^=61°+45°+73°=179°180°\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree

Ce triangle n’est donc pas constructible.

Angles des triangles particuliers

Triangle équilatéral

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Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure 60°60\degree.

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Exemple

IJKIJK est un triangle équilatéral.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

On sait que JIK^=IJK^=IKJ^\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}
On sait aussi que la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree.
Donc : 3×JIK^=180°3 \times \widehat {JIK}=180\degree Et donc : JIK^=180°÷3JIK^=60°\begin{aligned}\widehat {JIK}&=180\degree \div 3\ \widehat {JIK}&=60\degree\end{aligned}

Ainsi, JIK^=IJK^=IKJ^=60°\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}=60\degree

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant 60°60\degree, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle isocèle

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Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles de sa base ont la même mesure.

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Exemple

ABCABC est un triangle isocèle en AA donc ABC^=ACB^\widehat {ABC}=\widehat {ACB}

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Exercices d’application

  • Calculons la mesure de chacun des angles PRS^\widehat {PRS} et PSR^\widehat {PSR}.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle PRSPRS est isocèle en PP, alors les angles de sa base ont la même mesure : PRS^=PSR^\widehat {PRS} = \widehat {PSR}

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree, alors : RPS^+PRS^+PSR^=180°104°+PRS^+PSR^=180°104°+2×PRS^=180°2×PRS^=180°104°PRS^=(180°104°)÷2PRS^=76°÷2PRS^=38°\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {PRS} + \widehat {PSR}&=180\degree\ 104\degree+ \widehat{PRS}+ \widehat {PSR}&=180\degree\ 104\degree+ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree\ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree-104\degree\ \widehat{PRS}&=(180\degree-104\degree)\div2\ \widehat{PRS}&= 76\degree\div 2\ \widehat{PRS}&= 38\degree \end{aligned}

Donc PRS^=PSR^=38°\widehat {PRS}= \widehat {PSR}=38\degree

  • Calculons la mesure de l’angle UTV^\widehat {UTV}

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle UTVUTV est isocèle en TT, alors les angles de sa base ont la même mesure. TUV^=TVU^=26°\widehat {TUV}=\widehat {TVU}=26\degree

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree, alors :

TUV^+TVU^+UTV^=180°26°×2+UTV^=180°UTV^=180°(26°×2)UTV^=180°52°UTV^=128°\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {TVU}+\widehat {UTV}&=180\degree\ 26\degree \times 2+ \widehat {UTV}&=180\degree\ \widehat {UTV}&=180\degree-(26\degree\times 2) \ \widehat {UTV}&=180\degree-52\degree\ \widehat {UTV}&=128\degree\end {aligned}

Donc UTV^=128°\widehat {UTV}=128\degree

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle rectangle

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Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

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Exemple

ABCABC est un triangle rectangle en AA.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree et que BAC^=90°\widehat {BAC}=90\degree, alors : 90°+ABC^+ACB^=180°90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {ACB}=180\degree

Donc :

ABC^+ACB^=180°90°ABC^+ACB^=90°\begin{aligned}\widehat {ABC} + \widehat {ACB}&=180\degree-90\degree\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}

Ainsi, les angles ABC^\widehat {ABC} et ACB^\widehat {ACB} sont complémentaires.

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

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Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure 45°45\degree.

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Exemple

XYZXYZ est un triangle rectangle isocèle en XX.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

On sait que XYZXYZ est rectangle en XX donc YXZ^=90°\widehat {YXZ}=90\degree
On sait aussi que XYZXYZ est isocèle en XX, donc XYZ^=XZY^\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}
Enfin, on sait que XYZ^+XZY^=90°\widehat {XYZ}+\widehat {XZY}=90\degree

Donc :

XYZ^=XZY^=90°÷2XYZ^=XZY^=45°\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=90\degree\div 2\ \widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=45\degree\end{aligned}

Conclusion :

On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles et en appliquant des propriétés précises dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree.