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Connaître les angles d'un triangle
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Introduction :
Dans ce cours, nous commencerons par rappeler la propriété sur la somme des angles d’un triangle, que nous démontrerons et dont nous donnerons des applications.
Nous verrons ensuite les conséquences de cette propriété sur les angles de triangles particuliers : triangles isocèles, équilatéraux et rectangles.
Somme des mesures des angles d’un triangle
Propriété
Démonstration
Considérons un triangle .
Traçons la parallèle à passant par . On y place deux points et de part et d’autre de ; on la nomme donc .
Nous en déduisons que l’angle est un angle plat.
Nous avons donc :
Ainsi, avec les égalités que nous avons montrées aux deux premiers points, nous obtenons :
Exercices d’application
Comme la somme des mesures des angles est égale à , nous avons :
Donc :
Déterminons la somme des trois angles de ce triangle :
Ce triangle n’est donc pas constructible.
Angles des triangles particuliers
Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.
est un triangle isocèle en .
Sa base est , donc :
Comme le triangle est isocèle en , alors les angles à sa base ont la même mesure :
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à :
Comme le triangle est isocèle en , les angles à sa base ont la même mesure :
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à :
Pour montrer qu’un triangle est isocèle, on utilise la réciproque de la propriété que nous avons vue.
Réciproque :
Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.
Triangle équilatéral
On considère un triangle équilatéral .
Triangle équilatéral
Nous l’avons remarqué dans le cours « Connaître et utiliser les triangles », le triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier et on peut dire qu’il est isocèle en , en et en .
Nous allons donc utiliser la propriété que nous avons vue dans le paragraphe précédent sur les angles d’un triangle isocèle.
Les angles à sa base sont donc égaux :
Les angles à sa base sont donc égaux :
Or, la somme des trois angles d’un triangle vaut .
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure .
Nous pouvons utiliser la réciproque de cette propriété pour montrer qu’un triangle est équilatéral.
Réciproque :
Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant , alors c’est un triangle équilatéral.
Triangle rectangle
est un triangle rectangle en .
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à et que :
Donc :
Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
Réciproque :
Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.
Triangle rectangle et isocèle
est un triangle rectangle et isocèle en .
Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure .
Réciproque :
Si un triangle a deux angles qui mesurent , alors c’est un triangle rectangle et isocèle.
Conclusion :
On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles, et en appliquant des propriétés précises, dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à .