Connaître les angles d'un triangle

Introduction :

Dans ce cours, nous commencerons par rappeler la propriété sur la somme des angles d’un triangle, que nous démontrerons et dont nous donnerons des applications.
Nous verrons ensuite les conséquences de cette propriété sur les angles de triangles particuliers : triangles isocèles, équilatéraux et rectangles.

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

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Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.

Somme des angles d’un triangle Somme des angles d’un triangle

$\widehat {BAC}+\widehat {CBA}+ \widehat {ACB}=180\degree$ ou $\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree$.

Démonstration

Considérons un triangle $ABC$.
Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. On y place deux points $D$ et $E$ de part et d’autre de $A$ ; on la nomme donc $(DE)$.

Parallèle à (BC) passant par A et angles alternes-internes Parallèle à (BC) passant par A et angles alternes-internes

  • Les angles $\widehat {DAB}$ et $\widehat {CBA}$ sont formés par les deux droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AB)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
  • Ils ont donc la même mesure : $\green{\widehat {DAB}} =\green{\widehat {CBA}}$.
  • Les deux angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {ACB}$ sont formés par les droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AC)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
  • Ils ont donc la même mesure : $\blue{\widehat {CAE}} = \blue{\widehat {ACB}}$.
  • Or, par construction, les points $D$, $A$ et $E$ appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

Nous en déduisons que l’angle $\widehat {DAE}$ est un angle plat.
Nous avons donc :

$$\green{\widehat{DAB}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{CAE}}=\widehat{DAE}=180\degree$$

Ainsi, avec les égalités que nous avons montrées aux deux premiers points, nous obtenons :

$$\green{\widehat{CBA}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{ACB}}=180\degree$$

  • La somme des angles du triangle est donc égale à $180\degree$.

Exercices d’application

  • Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{MNP}$.

Recherche de la mesure d’un angle d’un triangle Recherche de la mesure d’un angle d’un triangle

Comme la somme des mesures des angles est égale à $180\degree$, nous avons : $$\widehat {MNP} + \widehat {PMN} + \widehat {NPM}=180\degree$$
Donc :

$$\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}$$

  • Le triangle $FGH$ dont les angles mesurent $\widehat F =61\degree$, $\widehat G=45\degree$, $\widehat H=73\degree$ est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles : $$\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree$$

Il est donc impossible de construire un triangle $FGH$ avec de telles mesures d’angles.

Angles des triangles particuliers

Triangle isocèle

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Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.

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Exemple

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$.
Sa base est $[BC]$, donc : $\widehat {ABC}=\widehat {BCA}$

Angles à la base d’un triangle isocèle Angles à la base d’un triangle isocèle

Exercices d’application

  • Dans le triangle $PRS$ suivant, calculons la mesure de chacun des angles $\widehat {SRP}$ et $\widehat {PSR}$.

Recherche des mesures des angles à la base de PRS Recherche des mesures des angles à la base de PRS

Comme le triangle $PRS$ est isocèle en $P$, les angles à sa base $[RS]$ ont la même mesure :

$$\widehat {SRP} = \widehat {PSR}$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {SRP} + \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ \widehat{SRP}+ \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree\\ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree-104\degree\\ \widehat{SRP}&=(180\degree-104\degree)\div2\\ \widehat{SRP}&= 76\degree\div 2\\ \widehat{SRP}&= 38\degree \end{aligned}$$

  • Donc : $\widehat {SRP}= \widehat {PSR}=38\degree$.
  • Dans le triangle $UTV$ suivant, calculons la mesure de l’angle $\widehat {VTU}$

Recherche de la mesure des angles à la base de UTV Recherche de la mesure des angles à la base de UTV

Comme le triangle $UTV$ est isocèle en $T$, les angles à sa base $[UV]$ ont la même mesure :

$$\widehat {TUV}=\widehat {UVT}=26\degree$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {UVT}+\widehat {VTU}&=180\degree\\ 26\degree \times 2+ \widehat {VTU}&=180\degree\\ \widehat {VTU}&=180\degree-(26\degree\times 2) \\ \widehat {VTU}&=180\degree-52\degree\\ \widehat {VTU}&=128\degree \end {aligned}$$

  • Donc : $\widehat {UTV}=128\degree$.

Pour montrer qu’un triangle est isocèle, on utilise la réciproque de la propriété que nous avons vue.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle équilatéral

On considère un triangle équilatéral $ABC$.

Triangle équilatéral ABC Triangle équilatéral ABC

Nous l’avons remarqué dans le cours « Connaître et utiliser les triangles », le triangle équilatéral $ABC$ est un triangle isocèle particulier et on peut dire qu’il est isocèle en $A$, en $B$ et en $C$.

Nous allons donc utiliser la propriété que nous avons vue dans le paragraphe précédent sur les angles d’un triangle isocèle.

  • $ABC$ est isocèle en $A$.

Les angles à sa base $[BC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}$$

  • $ABC$ est aussi isocèle en $B$.

Les angles à sa base $[AC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$$

  • Nous en déduisons que les angles $\widehat{CBA}$, $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BAC}$ sont de mesure égale :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}$$

Or, la somme des trois angles d’un triangle vaut $180\degree$.

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=180\degree\div 3=60\degree$$

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Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.

Nous pouvons utiliser la réciproque de cette propriété pour montrer qu’un triangle est équilatéral.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant $60\degree$, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Triangle ABC rectangle en A Triangle ABC rectangle en A

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ et que $\widehat {CAB}=90\degree$ :

$$90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {BCA}=180\degree$$

Donc :

$$\begin{aligned} \widehat {ABC} + \widehat {BCA}&=180\degree-90\degree\\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}$$

  • Ainsi, les angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCA}$ sont complémentaires.
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Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

$XYZ$ est un triangle rectangle et isocèle en $X$.

Triangle XYZ isocèle et rectangle en X Triangle XYZ isocèle et rectangle en X

  • On sait que $XYZ$ est rectangle en $X$, donc $\widehat {ZXY}=90\degree$ et on a :

$$\widehat {XYZ}+\widehat {YZX}=90\degree$$

  • On sait aussi que $XYZ$ est isocèle en $X$, donc :

$$\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}$$

  • Nous obtenons alors :

$$\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=90\degree \div 2\\ \widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=45\degree\end{aligned}$$

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Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles qui mesurent $45\degree$, alors c’est un triangle rectangle et isocèle.

Conclusion :

On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles, et en appliquant des propriétés précises, dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.