Connaître les angles d'un triangle

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.

Somme des angles d’un triangle

$\widehat {BAC}+\widehat {CBA}+ \widehat {ACB}=180\degree$ ou $\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree$.

Démonstration

Considérons un triangle $ABC$.
Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. On y place deux points $D$ et $E$ de part et d’autre de $A$ ; on la nomme donc $(DE)$.

• Les angles $\widehat {DAB}$ et $\widehat {CBA}$ sont formés par les deux droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AB)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
• Ils ont donc la même mesure : $\green{\widehat {DAB}} =\green{\widehat {CBA}}$.
• Les deux angles $\widehat {CAE}$ et $\widehat {ACB}$ sont formés par les droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$, et la droite sécante $(AC)$ ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
• Ils ont donc la même mesure : $\blue{\widehat {CAE}} = \blue{\widehat {ACB}}$.
• Or, par construction, les points $D$, $A$ et $E$ appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

Nous en déduisons que l’angle $\widehat {DAE}$ est un angle plat.
Nous avons donc :

$$\green{\widehat{DAB}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{CAE}}=\widehat{DAE}=180\degree$$

Ainsi, avec les égalités que nous avons montrées aux deux premiers points, nous obtenons :

$$\green{\widehat{CBA}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{ACB}}=180\degree$$

• La somme des angles du triangle est donc égale à $180\degree$.

Exercices d’application

• Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{MNP}$.

Comme la somme des mesures des angles est égale à $180\degree$, nous avons : $$\widehat {MNP} + \widehat {PMN} + \widehat {NPM}=180\degree$$
Donc :

$$\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}$$

• Le triangle $FGH$ dont les angles mesurent $\widehat F =61\degree$, $\widehat G=45\degree$, $\widehat H=73\degree$ est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles : $$\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree$$

Il est donc impossible de construire un triangle $FGH$ avec de telles mesures d’angles.

Angles des triangles particuliers

Triangle isocèle

Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.

Exemple

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$.
Sa base est $[BC]$, donc : $\widehat {ABC}=\widehat {BCA}$

Angles à la base d’un triangle isocèle

Exercices d’application

• Dans le triangle $PRS$ suivant, calculons la mesure de chacun des angles $\widehat {SRP}$ et $\widehat {PSR}$.

Comme le triangle $PRS$ est isocèle en $P$, les angles à sa base $[RS]$ ont la même mesure :

$$\widehat {SRP} = \widehat {PSR}$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {SRP} + \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ \widehat{SRP}+ \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree\\ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree-104\degree\\ \widehat{SRP}&=(180\degree-104\degree)\div2\\ \widehat{SRP}&= 76\degree\div 2\\ \widehat{SRP}&= 38\degree \end{aligned}$$

• Donc : $\widehat {SRP}= \widehat {PSR}=38\degree$.
• Dans le triangle $UTV$ suivant, calculons la mesure de l’angle $\widehat {VTU}$

Comme le triangle $UTV$ est isocèle en $T$, les angles à sa base $[UV]$ ont la même mesure :

$$\widehat {TUV}=\widehat {UVT}=26\degree$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ :

$$\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {UVT}+\widehat {VTU}&=180\degree\\ 26\degree \times 2+ \widehat {VTU}&=180\degree\\ \widehat {VTU}&=180\degree-(26\degree\times 2) \\ \widehat {VTU}&=180\degree-52\degree\\ \widehat {VTU}&=128\degree \end {aligned}$$

• Donc : $\widehat {UTV}=128\degree$.

Pour montrer qu’un triangle est isocèle, on utilise la réciproque de la propriété que nous avons vue.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle équilatéral

On considère un triangle équilatéral $ABC$.

Nous l’avons remarqué dans le cours « Connaître et utiliser les triangles », le triangle équilatéral $ABC$ est un triangle isocèle particulier et on peut dire qu’il est isocèle en $A$, en $B$ et en $C$.

Nous allons donc utiliser la propriété que nous avons vue dans le paragraphe précédent sur les angles d’un triangle isocèle.

• $ABC$ est isocèle en $A$.

Les angles à sa base $[BC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}$$

• $ABC$ est aussi isocèle en $B$.

Les angles à sa base $[AC]$ sont donc égaux :

$$\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$$

• Nous en déduisons que les angles $\widehat{CBA}$, $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BAC}$ sont de mesure égale :

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}$$

Or, la somme des trois angles d’un triangle vaut $180\degree$.

$$\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=180\degree\div 3=60\degree$$

Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.

Nous pouvons utiliser la réciproque de cette propriété pour montrer qu’un triangle est équilatéral.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant $60\degree$, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ et que $\widehat {CAB}=90\degree$ :

$$90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {BCA}=180\degree$$

Donc :

$$\begin{aligned} \widehat {ABC} + \widehat {BCA}&=180\degree-90\degree\\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}$$

• Ainsi, les angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCA}$ sont complémentaires.

Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

$XYZ$ est un triangle rectangle et isocèle en $X$.

• On sait que $XYZ$ est rectangle en $X$, donc $\widehat {ZXY}=90\degree$ et on a :

$$\widehat {XYZ}+\widehat {YZX}=90\degree$$

• On sait aussi que $XYZ$ est isocèle en $X$, donc :

$$\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}$$

• Nous obtenons alors :

$$\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=90\degree \div 2\\ \widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=45\degree\end{aligned}$$

Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.

Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles qui mesurent $45\degree$, alors c’est un triangle rectangle et isocèle.