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Connaître les angles d'un triangle

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Introduction :

Dans ce cours, nous commencerons par rappeler la propriété sur la somme des angles d’un triangle, que nous démontrerons et dont nous donnerons des applications.
Nous verrons ensuite les conséquences de cette propriété sur les angles de triangles particuliers : triangles isocèles, équilatéraux et rectangles.

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

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Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

BAC^+CBA^+ACB^=180°\widehat {BAC}+\widehat {CBA}+ \widehat {ACB}=180\degree ou A^+B^+C^=180°\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree.

Démonstration

Considérons un triangle ABCABC.
Traçons la parallèle à (BC)(BC) passant par AA. On y place deux points DD et EE de part et d’autre de AA ; on la nomme donc (DE)(DE).

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

  • Les angles DAB^\widehat {DAB} et CBA^\widehat {CBA} sont formés par les deux droites parallèles (DE)(DE) et (BC)(BC), et la droite sécante (AB)(AB) ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
  • Ils ont donc la même mesure : DAB^=CBA^\green{\widehat {DAB}} =\green{\widehat {CBA}}.
  • Les deux angles CAE^\widehat {CAE} et ACB^\widehat {ACB} sont formés par les droites parallèles (DE)(DE) et (BC)(BC), et la droite sécante (AC)(AC) ; ils occupent la position d’angles alternes-internes.
  • Ils ont donc la même mesure : CAE^=ACB^\blue{\widehat {CAE}} = \blue{\widehat {ACB}}.
  • Or, par construction, les points DD, AA et EE appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

Nous en déduisons que l’angle DAE^\widehat {DAE} est un angle plat.
Nous avons donc :

DAB^+BAC^+CAE^=DAE^=180°\green{\widehat{DAB}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{CAE}}=\widehat{DAE}=180\degree

Ainsi, avec les égalités que nous avons montrées aux deux premiers points, nous obtenons :

CBA^+BAC^+ACB^=180°\green{\widehat{CBA}}+\red{\widehat{BAC}}+\blue{\widehat{ACB}}=180\degree

  • La somme des angles du triangle est donc égale à 180°180\degree.

Exercices d’application

  • Déterminons la mesure de l’angle MNP^\widehat{MNP}.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des mesures des angles est égale à 180°180\degree, nous avons : MNP^+PMN^+NPM^=180°\widehat {MNP} + \widehat {PMN} + \widehat {NPM}=180\degree
Donc :

MNP^+30°+24°=180°MNP^=180°(30°+24°)MNP^=180°54°MNP^=126°\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}

  • Le triangle FGHFGH dont les angles mesurent F^=61°\widehat F =61\degree, G^=45°\widehat G=45\degree, H^=73°\widehat H=73\degree est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles de ce triangle : F^+G^+H^=61°+45°+73°=179°180°\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree

Ce triangle n’est donc pas constructible.

Angles des triangles particuliers

Triangle isocèle

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Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.

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Exemple

ABCABC est un triangle isocèle en AA.
Sa base est [BC][BC], donc : ABC^=BCA^\widehat {ABC}=\widehat {BCA}

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Exercices d’application

  • Dans le triangle PRSPRS suivant, calculons la mesure de chacun des angles SRP^\widehat {SRP} et PSR^\widehat {PSR}.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle PRSPRS est isocèle en PP, alors les angles à sa base [RS][RS] ont la même mesure :

SRP^=PSR^\widehat {SRP} = \widehat {PSR}

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree :

RPS^+SRP^+PSR^=180°104°+SRP^+PSR^=180°104°+2×SRP^=180°2×SRP^=180°104°SRP^=(180°104°)÷2SRP^=76°÷2SRP^=38°\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {SRP} + \widehat {PSR}&=180\degree\ 104\degree+ \widehat{SRP}+ \widehat {PSR}&=180\degree\ 104\degree+ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree\ 2\times\widehat{SRP}&=180\degree-104\degree\ \widehat{SRP}&=(180\degree-104\degree)\div2\ \widehat{SRP}&= 76\degree\div 2\ \widehat{SRP}&= 38\degree \end{aligned}

  • Donc : SRP^=PSR^=38°\widehat {SRP}= \widehat {PSR}=38\degree.
  • Dans le triangle UTVUTV suivant, calculons la mesure de l’angle VTU^\widehat {VTU}

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle UTVUTV est isocèle en TT, les angles à sa base [UV][UV] ont la même mesure :

TUV^=UVT^=26°\widehat {TUV}=\widehat {UVT}=26\degree

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree :

TUV^+UVT^+VTU^=180°26°×2+VTU^=180°VTU^=180°(26°×2)VTU^=180°52°VTU^=128°\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {UVT}+\widehat {VTU}&=180\degree\ 26\degree \times 2+ \widehat {VTU}&=180\degree\ \widehat {VTU}&=180\degree-(26\degree\times 2) \ \widehat {VTU}&=180\degree-52\degree\ \widehat {VTU}&=128\degree \end {aligned}

  • Donc : UTV^=128°\widehat {UTV}=128\degree.

Pour montrer qu’un triangle est isocèle, on utilise la réciproque de la propriété que nous avons vue.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle équilatéral

On considère un triangle équilatéral ABCABC.

tracer un triangle équilatéral connaître et utiliser les triangles - partie 1 mathématiques cinquième Triangle équilatéral

Nous l’avons remarqué dans le cours « Connaître et utiliser les triangles », le triangle équilatéral ABCABC est un triangle isocèle particulier et on peut dire qu’il est isocèle en AA, en BB et en CC.

Nous allons donc utiliser la propriété que nous avons vue dans le paragraphe précédent sur les angles d’un triangle isocèle.

  • ABCABC est isocèle en AA.

Les angles à sa base [BC][BC] sont donc égaux :

CBA^=ACB^\widehat{CBA}=\widehat{ACB}

  • ABCABC est aussi isocèle en BB.

Les angles à sa base [AC][AC] sont donc égaux :

BAC^=ACB^\widehat{BAC}=\widehat{ACB}

  • Nous en déduisons que les angles CBA^\widehat{CBA}, ACB^\widehat{ACB} et BAC^\widehat{BAC} sont de mesure égale :

CBA^=ACB^=BAC^\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}

Or, la somme des trois angles d’un triangle vaut 180°180\degree.

CBA^=ACB^=BAC^=180°÷3=60°\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=180\degree\div 3=60\degree

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Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure 60°60\degree.

Nous pouvons utiliser la réciproque de cette propriété pour montrer qu’un triangle est équilatéral.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant 60°60\degree, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle rectangle

ABCABC est un triangle rectangle en AA.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree et que CAB^=90°\widehat {CAB}=90\degree :

90°+ABC^+BCA^=180°90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {BCA}=180\degree

Donc :

ABC^+BCA^=180°90°ABC^+ACB^=90°\begin{aligned} \widehat {ABC} + \widehat {BCA}&=180\degree-90\degree\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}

  • Ainsi, les angles ABC^\widehat {ABC} et BCA^\widehat {BCA} sont complémentaires.
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Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

XYZXYZ est un triangle rectangle et isocèle en XX.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

  • On sait que XYZXYZ est rectangle en XX, donc ZXY^=90°\widehat {ZXY}=90\degree et on a :

XYZ^+YZX^=90°\widehat {XYZ}+\widehat {YZX}=90\degree

  • On sait aussi que XYZXYZ est isocèle en XX, donc :

XYZ^=YZX^\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}

  • Nous obtenons alors :

XYZ^=YZX^=90°÷2XYZ^=YZX^=45°\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=90\degree \div 2\ \widehat {XYZ}=\widehat {YZX}&=45\degree\end{aligned}

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Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure 45°45\degree.

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Propriété

Réciproque :

Si un triangle a deux angles qui mesurent 45°45\degree, alors c’est un triangle rectangle et isocèle.

Conclusion :

On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles, et en appliquant des propriétés précises, dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°180\degree.