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Connaître les angles d'un triangle

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Introduction :

Dans ce cours, nous verrons quelles sont les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers et comment appliquer la propriété sur la somme des trois angles d’un triangle à ces triangles particuliers.

Dans un premier temps, nous verrons quelles sont les propriété à connaître concernant la somme des trois angles d’un triangle. Puis, dans un second temps nous nous intéresserons aux angles des triangles particuliers.

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

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Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

$\widehat {BAC}+\widehat {ABC}+ \widehat {ACB}=180\degree$ ou $\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree$

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Astuce

On peut dire que les trois angles d’un triangle sont supplémentaires puisque des angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à $180\degree$.

Démonstration

Considérons le triangle $ABC$. Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. On la nomme $(DE)$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

  • Les angles $\widehat {DAB}$ et $\widehat {ABC}$ formés par les deux droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$ et la droite sécante $(AB)$ occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : $\widehat {DAB}$ =$\widehat {ABC}$.
  • Les deux angles $\widehat {EAC}$ et $\widehat {ACB}$ formés par les droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$ et la droite sécante $(AC)$ occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : $\widehat {EAC}$ = $\widehat {ACB}$
  • $\widehat {CBA}+\widehat {BAC}+ \widehat {ACB}= \widehat {DAB}+\widehat {BAC}+ \widehat {EAC}=180\degree$
  • La somme des angles du triangle est donc égale à un angle plat, c’est-à-dire $180\degree$.

Exercices d’application

  • Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{MNP}$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des mesures des angles est égale à $180\degree$, alors : $$\widehat {MNP} + \widehat {NMP} + \widehat {NPM}=180\degree$$
Donc :

$$\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}$$

  • Le triangle $FGH$ dont les angles mesurent $\widehat F =61\degree$, $\widehat G=45\degree$, $\widehat H=73\degree$ est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles de ce triangle : $$\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree$$

Ce triangle n’est donc pas constructible.

Angles des triangles particuliers

Triangle équilatéral

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Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.

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Exemple

$IJK$ est un triangle équilatéral.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

On sait que $\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}$
On sait aussi que la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.
Donc : $$3 \times \widehat {JIK}=180\degree$$ Et donc : $$\begin{aligned}\widehat {JIK}&=180\degree \div 3\\ \widehat {JIK}&=60\degree\end{aligned}$$

Ainsi, $\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}=60\degree$

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant $60\degree$, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle isocèle

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Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles de sa base ont la même mesure.

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Exemple

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ donc $\widehat {ABC}=\widehat {ACB}$

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Exercices d’application

  • Calculons la mesure de chacun des angles $\widehat {PRS}$ et $\widehat {PSR}$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle $PRS$ est isocèle en $P$, alors les angles de sa base ont la même mesure : $$\widehat {PRS} = \widehat {PSR}$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$, alors : $\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {PRS} + \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ \widehat{PRS}+ \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree\\ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree-104\degree\\ \widehat{PRS}&=(180\degree-104\degree)\div2\\ \widehat{PRS}&= 76\degree\div 2\\ \widehat{PRS}&= 38\degree \end{aligned}$

Donc $\widehat {PRS}= \widehat {PSR}=38\degree$

  • Calculons la mesure de l’angle $\widehat {UTV}$

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme le triangle $UTV$ est isocèle en $T$, alors les angles de sa base ont la même mesure. $$\widehat {TUV}=\widehat {TVU}=26\degree$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$, alors :

$\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {TVU}+\widehat {UTV}&=180\degree\\ 26\degree \times 2+ \widehat {UTV}&=180\degree\\ \widehat {UTV}&=180\degree-(26\degree\times 2) \\ \widehat {UTV}&=180\degree-52\degree\\ \widehat {UTV}&=128\degree\end {aligned}$

Donc $\widehat {UTV}=128\degree$

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle rectangle

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Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

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Exemple

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ et que $\widehat {BAC}=90\degree$, alors : $$90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {ACB}=180\degree$$

Donc :

$\begin{aligned}\widehat {ABC} + \widehat {ACB}&=180\degree-90\degree\\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}$

Ainsi, les angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ sont complémentaires.

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Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

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Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.

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Exemple

$XYZ$ est un triangle rectangle isocèle en $X$.

Connaître les angles d'un triangle mathématiques cinquième

On sait que $XYZ$ est rectangle en $X$ donc $\widehat {YXZ}=90\degree$
On sait aussi que $XYZ$ est isocèle en $X$, donc $\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}$
Enfin, on sait que $\widehat {XYZ}+\widehat {XZY}=90\degree$

Donc :

$\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=90\degree\div 2\\ \widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=45\degree\end{aligned}$

Conclusion :

On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles et en appliquant des propriétés précises dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.