Connaître les angles d'un triangle

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété

Propriété

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.

$\widehat {BAC}+\widehat {ABC}+ \widehat {ACB}=180\degree$ ou $\widehat A+ \widehat B+ \widehat C =180\degree$

Astuce

On peut dire que les trois angles d’un triangle sont supplémentaires puisque des angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à $180\degree$.

Démonstration

Considérons le triangle $ABC$. Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. On la nomme $(DE)$.

• Les angles $\widehat {DAB}$ et $\widehat {ABC}$ formés par les deux droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$ et la droite sécante $(AB)$ occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : $\widehat {DAB}$ =$\widehat {ABC}$.
• Les deux angles $\widehat {EAC}$ et $\widehat {ACB}$ formés par les droites parallèles $(DE)$ et $(BC)$ et la droite sécante $(AC)$ occupent la position d’angles alternes-internes, ils ont donc la même mesure : $\widehat {EAC}$ = $\widehat {ACB}$
• $\widehat {CBA}+\widehat {BAC}+ \widehat {ACB}= \widehat {DAB}+\widehat {BAC}+ \widehat {EAC}=180\degree$
• La somme des angles du triangle est donc égale à un angle plat, c’est-à-dire $180\degree$.

Exercices d’application

• Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{MNP}$.

Comme la somme des mesures des angles est égale à $180\degree$, alors : $$\widehat {MNP} + \widehat {NMP} + \widehat {NPM}=180\degree$$
Donc :

$$\begin {aligned} \widehat {MNP} + 30 \degree+ 24\degree &= 180\degree\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-(30\degree+24\degree)\\ \widehat {MNP}&= 180\degree-54\degree\\ \widehat {MNP}&= 126\degree \end {aligned}$$

• Le triangle $FGH$ dont les angles mesurent $\widehat F =61\degree$, $\widehat G=45\degree$, $\widehat H=73\degree$ est-il constructible ?

Déterminons la somme des trois angles de ce triangle : $$\widehat F + \widehat G + \widehat H=61\degree+45\degree+73\degree=179\degree\neq 180\degree$$

Ce triangle n’est donc pas constructible.

Angles des triangles particuliers

Triangle équilatéral

Propriété

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60\degree$.

Exemple

$IJK$ est un triangle équilatéral.

On sait que $\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}$
On sait aussi que la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$.
Donc : $$3 \times \widehat {JIK}=180\degree$$ Et donc : $$\begin{aligned}\widehat {JIK}&=180\degree \div 3\\ \widehat {JIK}&=60\degree\end{aligned}$$

Ainsi, $\widehat {JIK}= \widehat {IJK}= \widehat {IKJ}=60\degree$

Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant $60\degree$, alors c’est un triangle équilatéral.

Triangle isocèle

Propriété

Si un triangle est isocèle, alors les angles de sa base ont la même mesure.

Exemple

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ donc $\widehat {ABC}=\widehat {ACB}$

Exercices d’application

• Calculons la mesure de chacun des angles $\widehat {PRS}$ et $\widehat {PSR}$.

Comme le triangle $PRS$ est isocèle en $P$, alors les angles de sa base ont la même mesure : $$\widehat {PRS} = \widehat {PSR}$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$, alors : $\begin {aligned} \widehat {RPS} + \widehat {PRS} + \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ \widehat{PRS}+ \widehat {PSR}&=180\degree\\ 104\degree+ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree\\ 2\times\widehat{PRS}&=180\degree-104\degree\\ \widehat{PRS}&=(180\degree-104\degree)\div2\\ \widehat{PRS}&= 76\degree\div 2\\ \widehat{PRS}&= 38\degree \end{aligned}$

Donc $\widehat {PRS}= \widehat {PSR}=38\degree$

• Calculons la mesure de l’angle $\widehat {UTV}$

Comme le triangle $UTV$ est isocèle en $T$, alors les angles de sa base ont la même mesure. $$\widehat {TUV}=\widehat {TVU}=26\degree$$

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$, alors :

$\begin {aligned} \widehat {TUV}+\widehat {TVU}+\widehat {UTV}&=180\degree\\ 26\degree \times 2+ \widehat {UTV}&=180\degree\\ \widehat {UTV}&=180\degree-(26\degree\times 2) \\ \widehat {UTV}&=180\degree-52\degree\\ \widehat {UTV}&=128\degree\end {aligned}$

Donc $\widehat {UTV}=128\degree$

Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.

Triangle rectangle

Propriété

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

Exemple

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à $180\degree$ et que $\widehat {BAC}=90\degree$, alors : $$90\degree+\widehat {ABC}+\widehat {ACB}=180\degree$$

Donc :

$\begin{aligned}\widehat {ABC} + \widehat {ACB}&=180\degree-90\degree\\ \widehat {ABC} +\widehat {ACB}&=90\degree\end{aligned}$

Ainsi, les angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ACB}$ sont complémentaires.

Propriété

Réciproque

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.

Triangle rectangle et isocèle

Propriété

Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure $45\degree$.

Exemple

$XYZ$ est un triangle rectangle isocèle en $X$.

On sait que $XYZ$ est rectangle en $X$ donc $\widehat {YXZ}=90\degree$
On sait aussi que $XYZ$ est isocèle en $X$, donc $\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}$
Enfin, on sait que $\widehat {XYZ}+\widehat {XZY}=90\degree$

Donc :

$\begin{aligned}\widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=90\degree\div 2\\ \widehat {XYZ}=\widehat {XZY}&=45\degree\end{aligned}$