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Introduction :
Dans ce cours, nous verrons quelles sont les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers et comment appliquer la propriété sur la somme des trois angles d’un triangle à ces triangles particuliers.
Dans un premier temps, nous verrons quelles sont les propriété à connaître concernant la somme des trois angles d’un triangle. Puis, dans un second temps nous nous intéresserons aux angles des triangles particuliers.
Somme des mesures des angles d’un triangle
Propriété
On peut dire que les trois angles d’un triangle sont supplémentaires puisque des angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est égale à .
Démonstration
Considérons le triangle . Traçons la parallèle à passant par . On la nomme .
Exercices d’application
Comme la somme des mesures des angles est égale à , alors :
Donc :
Déterminons la somme des trois angles de ce triangle :
Ce triangle n’est donc pas constructible.
Angles des triangles particuliers
Triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure .
est un triangle équilatéral.
On sait que
On sait aussi que la somme des trois angles d’un triangle est égale à .
Donc :
Et donc :
Ainsi,
Réciproque
Si un triangle a deux (ou trois) angles mesurant , alors c’est un triangle équilatéral.
Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors les angles de sa base ont la même mesure.
est un triangle isocèle en donc
Comme le triangle est isocèle en , alors les angles de sa base ont la même mesure :
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à , alors :
Donc
Comme le triangle est isocèle en , alors les angles de sa base ont la même mesure.
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à , alors :
Donc
Réciproque
Si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle isocèle.
Triangle rectangle
Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
est un triangle rectangle en .
Comme la somme des trois angles d’un triangle est égale à et que , alors :
Donc :
Ainsi, les angles et sont complémentaires.
Réciproque
Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle rectangle.
Triangle rectangle et isocèle
Si un triangle est rectangle et isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure .
est un triangle rectangle isocèle en .
On sait que est rectangle en donc
On sait aussi que est isocèle en , donc
Enfin, on sait que
Donc :
Conclusion :
On est maintenant capables de calculer des mesures d’angles dans un triangle, qu’il soit quelconque ou particulier, en ayant la connaissance de la mesure d’un ou de deux angles et en appliquant des propriétés précises dont la plus importante est que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à .