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Introduction :
Les quadrilatères possèdent des propriétés particulières.
Au cours de cette leçon nous allons étudier les propriétés des différents quadrilatères particuliers.
Nous commencerons par quelques rappels de vocabulaire pour ensuite étudier chaque type de quadrilatère.
Vocabulaire
Quadrilatère :
Un quadrilatère est un polygone particulier possédant quatre côtés. La somme de ses angles vaut .
Polygone :
Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par différents segments. Un polygone est dit régulier si ses angles sont égaux et si tous ses côtés ont la même mesure.
Diagonale :
Une diagonale est un segment joignant deux sommets opposés (donc non successifs) d’un quadrilatère.
Commençons par le parallélogramme qui est un quadrilatère particulier.
Le parallélogramme
Parallélogramme :
Un parallélogramme est un quadrilatère possédant :
Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires (la somme de leurs mesures est de ).
Prouvons qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Application :
Un quadrilatère possédant des diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme.
Application :
Intéressons-nous à présent à un nouveau quadrilatère particulier qu’est le rectangle.
Le rectangle
Rectangle :
Un rectangle est un parallélogramme possédant :
Lors des applications pour construire le rectangle, il est possible d’obtenir un carré puisque ce dernier est un rectangle particulier que nous verrons dans la partie 5.
Prouvons qu’un quadrilatère est un rectangle.
Application :
Prouvons qu’un parallélogramme est un rectangle.
Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.
Application :
Voyons à présent le losange qui est un autre quadrilatère particulier.
Le losange
Losange :
Un losange est un quadrilatère possédant :
Lors des applications pour construire le losange, il est possible d’obtenir un carré puisque ce dernier est un losange particulier, ce que nous verrons en partie 5.
Prouvons qu’un quadrilatère est un losange.
Un parallélogramme possédant des diagonales se coupant perpendiculairement en leur milieu est un losange.
Application :
Un parallélogramme possédant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Application :
Nous terminons cette leçon avec un dernier quadrilatère particulier qu’est le carré.
Le carré
Carré :
Un carré est un rectangle possédant quatre côtés de même longueur et des diagonales perpendiculaires.
On peut aussi dire qu’un carré est un losange possédant des diagonales de même longueur et quatre angles droits.
Le carré est donc un parallélogramme possédant :
Il existe plusieurs moyens de prouver qu’un quadrilatère est un carré.
Un quadrilatère possédant des diagonales de même longueur et se coupant perpendiculairement en leur milieu est un carré.
Application :
Un quadrilatère possédant trois côtés de même longueur et trois angles droits est un carré.
Application :
Un parallélogramme possédant un angle droit et deux côtés consécutifs de la même longueur est un carré.
Application :
Conclusion :
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. Ils possèdent donc des propriétés communes ainsi que des propriétés propres à chacun permettant de les distinguer.
Enfin, l’étude des diagonales des différents quadrilatères nous permet de les définir.