Cours : Caractéristiques des quadrilatères

Caractéristiques des quadrilatères

Introduction :

Les quadrilatères possèdent des propriétés particulières. Au cours de cette leçon nous allons étudier les propriétés des différents quadrilatères particuliers.
Nous commencerons par quelques rappels de vocabulaire pour ensuite étudier chaque type de quadrilatère.

Vocabulaire

Définition

Quadrilatère :

Un quadrilatère est un polygone particulier possédant quatre côtés. La somme de ses angles vaut $360\degree$.

Définition

Polygone :

Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par différents segments. Un polygone est dit régulier si ses angles sont égaux et si tous ses côtés ont la même mesure.

Définition

Diagonale :

Une diagonale est un segment joignant deux sommets opposés (donc non successifs) d’un quadrilatère.

$Diagonales d’un quadrilatère-Mathématiques-4e$

Commençons par le parallélogramme qui est un quadrilatère particulier.

Le parallélogramme

Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère possédant :

des diagonales qui se coupent en leur milieu, appelé centre de symétrie ;
des côtés parallèles deux à deux ;
des côtés opposés de même longueur deux à deux ;
et des angles opposés de même mesure deux à deux.

Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires (la somme de leurs mesures est de $180\degree$).

$Un parallélogramme-Mathématiques-4e$

Prouvons qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Propriété

Un quadrilatère possédant des côtés parallèles deux à deux est un parallélogramme.
Un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

Application :

On trace deux segments $[AB]$ et $[CD]$ parallèles et de même longueur.
On trace le quadrilatère $ABDC$.
On remarque que ce quadrilatère est un parallélogramme.

$Parallélogramme-Mathématiques-4e$

Propriété

Un quadrilatère possédant des diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme.

Application :

On trace deux segments $[AC]$ et $[BD]$ quelconques se coupant en leur milieu.
On trace le quadrilatère $ADCB$.
On remarque à nouveau que ce quadrilatère est un parallélogramme.

$Parallélogramme-Mathématiques-4e$

Intéressons-nous à présent à un nouveau quadrilatère particulier qu’est le rectangle.

Le rectangle

Définition

Rectangle :

Un rectangle est un parallélogramme possédant :

des diagonales de même longueur ;
deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés ;
quatre angles droits.

Attention

Lors des applications pour construire le rectangle, il est possible d’obtenir un carré puisque ce dernier est un rectangle particulier que nous verrons dans la partie 5.

$Un rectangle-Mathématiques-4e$

Prouvons qu’un quadrilatère est un rectangle.

Propriété

Un quadrilatère possédant des diagonales se coupant en leur milieu et de même longueur est un rectangle.
Un quadrilatère possédant trois angles droits est un rectangle.

Application :

On trace deux segments $[AC]$ et $[BD]$ de même longueur et se coupant en leur milieu.
On trace le quadrilatère $ABCD$.
On remarque que ce quadrilatère représente un rectangle.

$Rectangle-Mathématiques-4e$

Prouvons qu’un parallélogramme est un rectangle.

Propriété

Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.

Application :

On trace deux segments $[AB]$ et $[BC]$ perpendiculaires en $B$ et de longueurs différentes.
On trace le parallélogramme $ABCD$ à partir de ces deux segments.
On remarque que ce quadrilatère est un rectangle.

$Prouver qu’un parallélogramme est un rectangle-Mathématiques-4e$

Voyons à présent le losange qui est un autre quadrilatère particulier.

Le losange

Définition

Losange :

Un losange est un parallélogramme possédant :

deux axes de symétrie qui sont ses diagonales ;
des diagonales perpendiculaires ;
quatre côtés de même longueur.

Attention

Lors des applications pour construire le losange, il est possible d’obtenir un carré puisque ce dernier est un losange particulier, ce que nous verrons en partie 5.

$Un losange-Mathématiques-4e$

Prouvons qu’un quadrilatère est un losange.

Propriété

Un quadrilatère possédant des diagonales se coupant perpendiculairement en leur milieu est un losange.

Application :

On trace deux segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupant en leur milieu et perpendiculaires.
On trace le quadrilatère $ABCD$.
On remarque que ce quadrilatère représente un losange.

$Mathématiques-4e$

Propriété

Un parallélogramme possédant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.

Application :

On trace un segment $[BC]$ ;
On trace un segment $[BA]$ de même longueur que $[BC]$ à l’aide d’un compas ;
On trace le segment $[AD]$ ;
On trace le parallélogramme $ABCD$ à partir de ces trois segments ;
On remarque que ce quadrilatère est un losange.

$Ce quadrilatère est un losange-Mathématiques-4e$

Nous terminons cette leçon avec un dernier quadrilatère particulier qu’est le carré.

Le carré

Définition

Carré :

Un carré est un rectangle possédant quatre côtés de même longueur et des diagonales perpendiculaires.

On peut aussi dire qu’un carré est un losange possédant des diagonales de même longueur et quatre angles droits.

Le carré est donc un parallélogramme possédant :

quatre angles droits ;
quatre côtés de même longueur ;
des diagonales perpendiculaires et de même longueur.

$Un carré-Mathématiques-4e$

Il existe plusieurs moyens de prouver qu’un quadrilatère est un carré.

Propriété

Un quadrilatère possédant des diagonales de même longueur et se coupant perpendiculairement en leur milieu est un carré.

Application :

On trace deux segments $[AC]$ et $[BD]$ de la même longueur et se coupant perpendiculairement en leur milieu.
On trace le quadrilatère $ABCD$.
On remarque que ce quadrilatère est un carré.

$Ce quadrilatère est un carré-Mathématiques-4e$

Propriété

Un quadrilatère possédant trois côtés de même longueur et trois angles droits est un carré.

Application :

$Quadrilatère à trois angles droits et trois côtés de même longueur-Math-4e$

Propriété

Un parallélogramme possédant un angle droit et deux côtés consécutifs de la même longueur est un carré.

Application :

On trace deux segments $[AB]$ et $[BC]$ perpendiculaires et de même longueur.
On trace le parallélogramme $ABCD$ à partir de ces deux segments.
On remarque que ce quadrilatère est un carré.

$Ce parallélogramme est un carré-mathématiques-4e$

Conclusion :

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. Ils possèdent donc des propriétés communes ainsi que des propriétés propres à chacun permettant de les distinguer.
Enfin, l’étude des diagonales des différents quadrilatères nous permet de les définir.