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Continuité de fonctions

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2023. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Continuité

  • Continuité d’une fonction sur un intervalle : ff est une fonction définie sur un intervalle II et aa est un nombre réel de II.
  • ff est continue en aa si et seulement si ff a une limite finie en aa et si cette limite est égale à f(a)f(a) (réel). C’est-à-dire que : limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)
  • ff est continue sur II si et seulement si ff est continue en tout nombre réel de II.
  • Propriétés de la continuité d’une fonction :
  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu\times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et si de plus vv est non nulle sur II, alors uv\frac{u}{v} est continue sur II.
  • En particulier, la fonction 1v\frac 1v est continue sur II.
  • Continuité des fonctions usuelles :
  • Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. C’est-à-dire :
  • les fonctions affines sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • la fonction inverse est continue sur ] ;0[] - \infty\ ;\,0[ et sur]0 ;+[ ]0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction exponentielle est continue sur R\mathbb {R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

  • Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité théorème valeurs intermédiaires

  • Corollaire :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

  • Méthode de résolution :
  • Étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée.
  • Utiliser le corollaire ou le théorème si les conditions sont réunies.
  • Rechercher ensuite la ou les solution(s).
  • Pour encadrer une solution, vous pouvez vous servir de la fonction table de votre calculatrice.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

Nous allons étudier graphiquement un exemple de suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1} = f(un).

  • On considère la suite (un)(un) définie par u0=1u0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un+1u{n+1} = \sqrt{u{n}+1}.
  • La fonction ff est donc la fonction définie par f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x + 1} sur [1 ;+[[-1\ ;\, +\infty[ et elle est continue sur cet intervalle.

Représentation graphique de la suite Représentation graphique de la suite

  • Graphiquement, nous nous apercevons que les termes de la suite (un)(un) sont strictement positifs et que la suite (un)(un) est croissante.
  • Elle semble converger vers la valeur 1,61,6.
  • Des théorèmes (pas au programme) nous permettraient de montrer que la suite (un)(u_n) est convergente et que sa limite est l=1+52l = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, seule solution positive de l’équation f(x)=xf(x) = x.