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Marianne

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Découvrir les nombres rationnels

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Introduction :

La notion de fraction nous permet d'aborder de nouveaux nombres. En effet, certaines fractions ont pour valeur un nombre entier, d'autres un nombre décimal, et d'autres donnent un résultat dont nous ne connaissons pas encore la nature : un nombre à virgule dont on ne voit jamais la fin.

Pour bien comprendre cette nouvelle notion, nous commencerons ce cours par un rappel sur les quotients et les fractions. Nous introduirons ensuite la notion de nombres rationnels. Puis, nous étudierons l'ensemble des rationnels en faisant notamment le lien avec les nombres que nous connaissons déjà.

Quotients et fractions

Quotients

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Définition

Quotient :

Un quotient est le résultat d'une division.

Soient deux nombres aa et bb, avec bb non nul.

Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa.
Son écriture fractionnaire est ab\frac ab.

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À retenir

Soit qq la valeur du quotient de aa par bb.
On a q=a÷b=abq=a\div b=\frac ab
Par définition, on a ab×b=a\frac ab \times b =a

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Exemple

  • Quel est le nombre qui, multiplié par 55, donne 8,58,5 ?

5×8,55=8,55\times \frac{8,5}{5}=8,5

  • Le nombre qui, multiplié par 55, donne 8,58,5 est 8,55\frac{8,5}{5}. C'est le quotient de 8,58,5 par 55. Ce quotient a aussi une écriture décimale : 8,55=8,5÷5=1,7\frac{8,5}{5}=8,5 \div 5=1,7
  • Quel est le nombre qui, multiplié par 77, donne 2121 ?

7×217=217 \times \frac{21}{7} = 21

  • Le nombre qui, multiplié par 77, donne 2121 est 217\frac{21}{7}. C'est le quotient de 2121 par 77. Ce quotient a aussi une écriture décimale sous forme de nombre entier : 217=21÷7=3\frac{21}{7} = 21 \div 7 = 3
  • Quel est le nombre qui, multiplié par 33, donne 44 ?

3×43=43 \times \frac43 = 4

  • Le nombre qui, multiplié par 33, donne 44 est 43\frac 43. C'est le quotient de 44 par 33. Ce quotient n'admet pas d'écriture décimale car le résultat de la division de 44 par 33 n'a pas un nombre fini de chiffres après la virgule : 43=4÷3=1,333333333\frac 43 = 4 \div 3 = 1,333333333…

On peut déjà se demander quelle est la nature de ce nombre qui ne se finit jamais. Nous le verrons un peu plus loin dans ce cours.

Fractions

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Définition

Fraction :

Une fraction est le quotient de deux nombres entiers.

Une fraction est donc une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.
Elle peut être utilisée pour exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.

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Exemple

  • 254\frac{25}{4}, 13\frac 13 et 186\frac {18}{6} sont des fractions.
  • 2,54\frac{2,5}{4}, 12,7\frac{1}{2,7} et 5,897,8\frac{5,89}{7,8} ne sont pas des fractions. Ce sont des écritures fractionnaires.
  • 210\frac{2}{10}, 7100\frac{7}{100} et 11000\frac{1}{1000} sont appelées fractions décimales.

Ces rappels sur les quotients et les fractions étant faits, nous pouvons maintenant introduire la notion de nombres rationnels.

Notion de nombres rationnels

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Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction.

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Exemple

  • 254\frac{25}{4}, 13\frac 13 et 186\frac {18}{6} sont des fractions. Ce sont donc des nombres rationnels.
  • 2,54\frac{2,5}{4}, 12,7\frac{1}{2,7} et 5,897,8\frac{5,89}{7,8} ne sont pas des fractions mais des écritures fractionnaires, mais elles peuvent respectivement s'écrire 2540\frac{25}{40}, 1027\frac{10}{27} et 589780\frac{589}{780}. Ce sont donc des nombres rationnels.
  • 66 peut s'écrire 61\frac 61. C'est donc un nombre rationnel.
  • 17,4917,49 peut s'écrire 1749100\frac{1749}{100}. C'est donc un nombre rationnel.
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À retenir

De par sa définition même, un nombre rationnel peut être rapproché de la notion de partage.

L'ensemble des nombres rationnels

Les nombres rationnels que nous connaissons déjà

Les nombres entiers naturels

Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls.
Quel que soit nn nombre entier naturel, on peut écrire n=n1n = \frac n1.

  • Les entiers naturels sont des nombres rationnels.

Les nombres entiers relatifs

Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. Quel que soit zz nombre entier relatif, on peut écrire z=z1z = \frac z1.

  • Les entiers relatifs sont des nombres rationnels.

Les nombres décimaux

Les décimaux sont formés d'une partie entière et d'une partie décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est fini. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale donc les décimaux sont des nombres rationnels.

  • Les décimaux sont des nombres rationnels.

Ainsi, les nombres que nous connaissions déjà sont des nombres rationnels. Mais tous les nombres rationnels ne sont pas forcément des entiers ou des décimaux.

Les autres nombres rationnels

Les autres nombres rationnels sont ceux dont la valeur n'est ni un entier ni un décimal.

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Exemple

Le quotient de 99 par 77 est bien un nombre rationnel (on peut l’écrire 97\frac 97) mais le résultat de la division de 99 par 77 n'est ni un entier, ni un décimal. C'est un nombre dont la partie décimale compte un nombre infini de chiffres : 97=9÷7=1,285714\frac 97 = 9 \div 7 = 1,285714…

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Astuce

Ces rationnels sont généralement laissés sous forme de fraction. Ils ne sont pas arrondis, sauf demande spécifique.

Les nombres non rationnels

Les nombres qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction, sont appelés nombres irrationnels.

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À retenir

Les nombres irrationnels ne peuvent pas être rapprochés de la notion de partage.

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Exemple

Nous connaissons l'un d'entre eux : c'est le nombre π\pi (que l'on prononce « pi »).
π\pi ne peut pas être considéré comme une part, une fraction ou une division. C'est un nombre qui a une valeur bien particulière, voilà tout !

Conclusion :

Grâce aux fractions, nous avons pu mettre en évidence l'existence d’une nouvelle catégorie de nombres : les nombres rationnels. Nous connaissions certains d'entre eux (les entiers et les décimaux) mais nous pouvons maintenant aussi mettre un nom sur les nombres résultant d'une fraction dont le résultat n'est ni un entier ni un décimal.