Cours Les nombres rationnels

• Nous voulons comparer $\frac 16$ et $\frac {11}{18}$.

Il faut mettre les deux fractions au même dénominateur, et $18$ est un multiple de $6$, avec : $18=6\times 3$. Nous obtenons :

$$\purple{\dfrac 16}=\dfrac{1\times 3}{6\times 3}=\purple{\dfrac 3{18}}$$.

• Comme $\purple 3< 11$, nous obtenons :

$$\purple{\dfrac 3{18}} < \dfrac {11}{18} \qquad\textcolor{#A9A9A9}{\text{donc}}\qquad \purple{\dfrac 16} < \dfrac {11}{18}$$.

• Nous voulons comparer $\frac {11}{18}$ et $\frac {26}{36}$.

Nous pouvons simplifier $\frac {26}{36}$ par $2$, puisque $26$ et $36$ sont des nombres pairs, et ainsi obtenir une fraction égale de dénominateur $18$ :

$$\pink{\dfrac{26}{36}}=\dfrac{26\div 2}{36\div 2}=\pink{\dfrac {13}{18}}$$.

• Comme $11 < \pink{13}$, nous avons :

$$\dfrac{11}{18} < \pink{\dfrac {13}{18}}\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{donc}}\qquad \dfrac {11}{18}<\pink{\dfrac{26}{36}}$$.

• Nous voulons comparer $\frac {-5}7$ et $\frac 16$.
• Inutile de mettre ces deux fractions au même dénominateur, car nous voyons que $\frac {-5}7$ est un nombre négatif quand $\frac 16$ est un nombre positif, donc :

$$\dfrac{-5}7 < \dfrac 16$$.

• Nous pouvons, pour terminer, ranger toutes ces fractions, de la plus petite à la plus grande :

$$\boxed{\dfrac{-5}7 < \dfrac 16 < \dfrac {11}{18}<\dfrac {26}{36}}$$.

Nous cherchons à comparer $\frac {83}{47}$ et $\frac{121}{73}$.
Ici, il est possible de les mettre au même dénominateur, mais calculer leurs valeurs, même de manière approchée, sera sans doute plus rapide, surtout si nous utilisons la calculatrice… Nous trouvons :

$$\begin{aligned} \dfrac{83}{47}&\approx 1,77 et \\ \dfrac{121}{73}&\approx 1,66. \end{aligned}$$

• Comme $1,66 < 1,77$, nous obtenons :

$$\boxed{\dfrac{121}{73} < \dfrac{83}{47}}$$.

Nous cherchons à comparer $\frac {39}{38}$ et $\frac{116}{117}$.

• Nous avons $39 > 38$, donc :

$$\dfrac {39}{38} > 1$$.

• Nous avons $116 < 117$, donc :

$$\dfrac {116}{117} < 1$$.

• Nous en concluons donc :

$$\boxed{\dfrac {39}{38} > 1 > \dfrac{116}{117}}$$.

• Nous cherchons à calculer : $\frac 95+\frac75$.

$$\begin{aligned} \dfrac 95+\dfrac75&=\dfrac {9+7}5 \\ &=\dfrac {16}5 \end{aligned}$$

• Ici, nous voyons que $\frac{16}5$ est un nombre décimal, nous pouvons donc en donner une écriture décimale :

$$\boxed{\dfrac 95+\dfrac75=\dfrac {16}5=3,2}$$.

• Nous cherchons à calculer : $\frac {50}{33}-\frac {11}{33}$.

$$\begin{aligned} \dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}&=\dfrac{50-11}{33} \\ &=\dfrac{39}{33} \end{aligned}$$

• $39$ et $33$ sont divisibles par $3$, nous pouvons simplifier la fraction par $3$ :

$$\boxed{\dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}=\dfrac {39}{33}=\dfrac {13}{11}}$$.

Nous souhaitons décomposer la fraction $\frac{\purple{15}}{\pink 7}$ sous la forme d’une somme et d’une différence d’un entier et d’une fraction.

Nous savons que $\blue{14}$ et $\green{21}$ sont les multiples de $\pink 7$ (ils font partie de la table de $7$) qui encadrent immédiatement $\purple{15}$.

• Nous pouvons donc écrire, d’une part :

$$\dfrac {\purple{15}}{\pink 7}=\dfrac{\blue{14}+1}{\pink 7}$$

Cette dernière expression peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux fractions de même dénominateur, $\pink 7$, en quelque sorte en faisant le chemin inverse de celui que nous avons fait plus haut, pour calculer une somme de fractions :

$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac {\blue{14}}{\pink 7}+\dfrac 1{\pink7} \\ &=\boxed{2+\dfrac 17} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $14\div 7= 2$]}}}. \end{aligned}$$

• D’autre part, de façon équivalente, nous pouvons écrire :

$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac{\green{21}-6}{\pink 7} \\ &=\dfrac{\green{21}}{\pink 7}-\dfrac 6{\pink 7} \\ &=\boxed{3-\dfrac 67} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $21\div7=3$]}}}. \end{aligned}$$

• Nous pouvons aussi en profiter pour encadrer $\frac{15}7$ avec deux entiers consécutifs.
• Comme $\frac {15}7=2+\frac 17$, nous avons :

$$\dfrac {15}7 > 2$$.

• Comme $\frac {15}7=3-\frac 67$, nous avons  :

$$\dfrac {15}7 < 3$$.

• Nous en déduisons l’encadrement :

$$\boxed{2 < \dfrac {15}7 < 3}$$.

• Nous cherchons à calculer : $\frac 9{14}+\frac{41}{28}$.

$28$ est un multiple de $14$, avec : $28=14\times 2$.

• Nous choisissons donc $28$ comme dénominateur commun :

$$\begin{aligned} \dfrac 9{14}+\dfrac{41}{28}&=\dfrac {9\times 2}{14\times 2}+\dfrac{41}{28} \\ &=\dfrac{18}{28}+\dfrac {41}{28} \\ &=\dfrac{18+41}{28} \\ &=\boxed{\dfrac{59}{28}}. \end{aligned}$$

• Nous cherchons à calculer : $\frac89-\frac{41}{72}$.

$72$ est un multiple de $9$, avec : $72=9\times 8$.

• Nous choisissons donc $72$ comme dénominateur commun :

$$\begin{aligned} \dfrac89-\frac{41}{72}&=\dfrac{8\times 8}{9\times 8}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64}{72}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64-41}{72} \\ &=\boxed{\dfrac{23}{72}}. \end{aligned}$$

• Calculons :

$$\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{8}$$

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres $6$ et $8$.

• Nous remarquons que $6\times 4 = 24$ et $8\times 3 = 24$.

$$\begin{aligned} \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{8}&=\dfrac{5\times 4}{6\times 4} + \dfrac{5\times 3}{8\times 3}\\ &=\dfrac{20}{24} + \dfrac{15}{24}\\ &=\dfrac{20+15}{24}\\ &=\dfrac{35}{24}\\ \end{aligned}$$

• Calculons :

$$\dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}$$

Recherchons le plus petit multiple commun (non nul) aux nombres $12$ et $9$.

• Nous remarquons que $12\times3=36$ et $9\times 4=36$.

$$\begin{aligned} \dfrac{7}{12}-\dfrac{-2}{9}&=\dfrac{7\times 3}{12\times 3}-\dfrac{-2\times 4}{9\times 4}\\ &=\dfrac{21}{36}-\dfrac{-8}{36}\\ &=\dfrac{21-(-8)}{36}\\ &=\dfrac{21+8}{36}\\ &=\dfrac{29}{36} \end{aligned}$$

$$\dfrac95-\dfrac37$$

Le plus petit multiple (non nul) commun aux nombres $5$ et $7$ est $35$ : $5\times 7=35$.

$$\begin{aligned} \dfrac95-\dfrac37&=\dfrac{9\times7}{5\times7}-\dfrac{3\times5}{7\times5}\\ &=\dfrac{63}{35}-\dfrac{15}{35}\\ &=\dfrac{63-15}{35}\\ &=\dfrac{48}{35} \end{aligned}$$

Lors d’un anniversaire, Sophie a mangé $\frac{1}{5}$ des bonbons et Jordan en a mangé $\frac{2}{9}$.

Il reste encore $52$ bonbons.

• Quelle fraction du nombre total de bonbons reste-t-il ?
• Combien y avait-il de bonbons au départ ?

Commençons par nous aider d’un tableau.

Calculons la somme :

$$\frac{1}{5}+\frac{2}{9}$$

Les deux dénominateurs, $5$ et $9$, ne sont pas multiples l’un de l’autre. Nous devons donc déterminer un dénominateur commun.

Le plus petit commun multiple de $5$ et $9$ est $45$.

Nous avons donc :

$$\begin{aligned} \frac{1}{5}+\frac{2}{9} &=\frac{1\times9}{5\times9}+\frac{2\times5}{9\times5}\\ &=\frac{9}{45}+\frac{10}{45}\\ &=\frac{19}{45} \end{aligned}$$

Sophie et Jordan ont donc mangé $\frac{19}{45}$ des bonbons.

Le tableau devient le suivant.

La fraction du nombre total de bonbons qu’il reste est :

$$\begin{aligned} 1-\frac{19}{45} &=\frac{45}{45}-\frac{19}{45}\\ &=\frac{26}{45} \end{aligned}$$

Il reste donc $\frac{26}{45}$ du nombre total de bonbons.

Or, $\frac{26}{45}$ du nombre total de bonbons représente $52$ bonbons.

Donc $\frac{1}{45}$ du nombre total représente :

$$52\div26=2$$

Le nombre total de bonbons au départ est donc :

$$2\times45=90$$

Il y avait donc $90$ bonbons au départ.

Au mois de juin, Fanny a utilisé $\frac{1}{8}$ du volume de données mobiles de son forfait au cours d’une première période, puis $\frac{7}{12}$ au cours d’une deuxième période.

Il lui reste encore $35\ \text{Go}$.

• Quelle fraction du volume total de données mobiles lui reste-t-il ?
• De combien de gigaoctets dispose-t-elle avec son forfait ?

Commençons par nous aider d’un tableau.

Calculons la somme :

$$\frac{1}{8}+\frac{7}{12}$$

Les deux dénominateurs, $8$ et $12$, ne sont pas multiples l’un de l’autre. Nous devons donc déterminer leur plus petit commun multiple non nul.

Nous remarquons que $24$ est un multiple de ces deux nombres, avec :

$$8\times3=24$$

et :

$$12\times2=24$$

Nous avons donc :

$$\begin{aligned} \frac{1}{8}+\frac{7}{12} &=\frac{1\times3}{8\times3}+\frac{7\times2}{12\times2}\\ &=\frac{3}{24}+\frac{14}{24}\\ &=\frac{17}{24} \end{aligned}$$

Le tableau devient le suivant.

La fraction du volume total de données mobiles qu’il lui reste est :

$$\begin{aligned} 1-\frac{17}{24} &=\frac{24}{24}-\frac{17}{24}\\ &=\frac{7}{24} \end{aligned}$$

Il lui reste donc $\frac{7}{24}$ du volume total de données mobiles.

Or, $\frac{7}{24}$ du volume total représente $35\ \text{Go}$.

Donc $\frac{1}{24}$ du volume total représente :

$$35\div7=5\ \text{Go}$$

Le volume total de données mobiles est donc :

$$5\times24=120\ \text{Go}$$

Fanny dispose donc de $120\ \text{Go}$ de données mobiles dans son forfait.