Découvrir les nombres rationnels
Introduction :
La notion de fraction nous permet d'aborder de nouveaux nombres. En effet, certaines fractions ont pour valeur un nombre entier, d'autres un nombre décimal, et d'autres donnent un résultat dont nous ne connaissons pas encore la nature : un nombre à virgule dont on ne voit jamais la fin.
Pour bien comprendre cette nouvelle notion, nous commencerons ce cours par un rappel sur les quotients et les fractions. Nous introduirons ensuite la notion de nombres rationnels. Puis, nous étudierons l'ensemble des rationnels en faisant notamment le lien avec les nombres que nous connaissons déjà.
Quotients et fractions
Quotients et fractions
Quotients
Quotients
Définition
Quotient :
Un quotient est le résultat d'une division.
Soient deux nombres $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
Son écriture fractionnaire est $\frac ab$.
À retenir
Soit $q$ la valeur du quotient de $a$ par $b$.
On a $q=a\div b=\frac ab$
Par définition, on a $\frac ab \times b =a$
Exemple
- Quel est le nombre qui, multiplié par $5$, donne $8,5$ ?
$5\times \frac{8,5}{5}=8,5$
- Le nombre qui, multiplié par $5$, donne $8,5$ est $\frac{8,5}{5}$. C'est le quotient de $8,5$ par $5$. Ce quotient a aussi une écriture décimale : $\frac{8,5}{5}=8,5 \div 5=1,7$
- Quel est le nombre qui, multiplié par $7$, donne $21$ ?
$7 \times \frac{21}{7} = 21$
- Le nombre qui, multiplié par $7$, donne $21$ est $\frac{21}{7}$. C'est le quotient de $21$ par $7$. Ce quotient a aussi une écriture décimale sous forme de nombre entier : $\frac{21}{7} = 21 \div 7 = 3$
- Quel est le nombre qui, multiplié par $3$, donne $4$ ?
$3 \times \frac43 = 4$
- Le nombre qui, multiplié par $3$, donne $4$ est $\frac 43$. C'est le quotient de $4$ par $3$. Ce quotient n'admet pas d'écriture décimale car le résultat de la division de $4$ par $3$ n'a pas un nombre fini de chiffres après la virgule : $\frac 43 = 4 \div 3 = 1,333333333…$
On peut déjà se demander quelle est la nature de ce nombre qui ne se finit jamais. Nous le verrons un peu plus loin dans ce cours.
Fractions
Fractions
Définition
Fraction :
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers.
Une fraction est donc une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers.
Elle peut être utilisée pour exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.
Exemple
- $\frac{25}{4}$, $\frac 13$ et $\frac {18}{6}$ sont des fractions.
- $\frac{2,5}{4}$, $\frac{1}{2,7}$ et $\frac{5,89}{7,8}$ ne sont pas des fractions. Ce sont des écritures fractionnaires.
- $\frac{2}{10}$, $\frac{7}{100}$ et $\frac{1}{1000}$ sont appelées fractions décimales.
Ces rappels sur les quotients et les fractions étant faits, nous pouvons maintenant introduire la notion de nombres rationnels.
Notion de nombres rationnels
Notion de nombres rationnels
Définition
Nombre rationnel :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction.
Exemple
- $\frac{25}{4}$, $\frac 13$ et $\frac {18}{6}$ sont des fractions. Ce sont donc des nombres rationnels.
- $\frac{2,5}{4}$, $\frac{1}{2,7}$ et $\frac{5,89}{7,8}$ ne sont pas des fractions mais des écritures fractionnaires, mais elles peuvent respectivement s'écrire $\frac{25}{40}$, $\frac{10}{27}$ et $\frac{589}{780}$. Ce sont donc des nombres rationnels.
- $6$ peut s'écrire $\frac 61$. C'est donc un nombre rationnel.
- $17,49$ peut s'écrire $\frac{1749}{100}$. C'est donc un nombre rationnel.
À retenir
De par sa définition même, un nombre rationnel peut être rapproché de la notion de partage.
L'ensemble des nombres rationnels
L'ensemble des nombres rationnels
Les nombres rationnels que nous connaissons déjà
Les nombres rationnels que nous connaissons déjà
Les nombres entiers naturels
Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls.
Quel que soit $n$ nombre entier naturel, on peut écrire $n = \frac n1$.
- Les entiers naturels sont des nombres rationnels.
Les nombres entiers relatifs
Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. Quel que soit $z$ nombre entier relatif, on peut écrire $z = \frac z1$.
- Les entiers relatifs sont des nombres rationnels.
Les nombres décimaux
Les décimaux sont formés d'une partie entière et d'une partie décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est fini. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale donc les décimaux sont des nombres rationnels.
- Les décimaux sont des nombres rationnels.
Ainsi, les nombres que nous connaissions déjà sont des nombres rationnels. Mais tous les nombres rationnels ne sont pas forcément des entiers ou des décimaux.
Les autres nombres rationnels
Les autres nombres rationnels
Les autres nombres rationnels sont ceux dont la valeur n'est ni un entier ni un décimal.
Exemple
Le quotient de $9$ par $7$ est bien un nombre rationnel (on peut l’écrire $\frac 97$) mais le résultat de la division de $9$ par $7$ n'est ni un entier, ni un décimal. C'est un nombre dont la partie décimale compte un nombre infini de chiffres : $\frac 97 = 9 \div 7 = 1,285714…$
Astuce
Ces rationnels sont généralement laissés sous forme de fraction. Ils ne sont pas arrondis, sauf demande spécifique.
Les nombres non rationnels
Les nombres non rationnels
Les nombres qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction, sont appelés nombres irrationnels.
À retenir
Les nombres irrationnels ne peuvent pas être rapprochés de la notion de partage.
Exemple
Nous connaissons l'un d'entre eux : c'est le nombre $\pi$ (que l'on prononce « pi »).
$\pi$ ne peut pas être considéré comme une part, une fraction ou une division. C'est un nombre qui a une valeur bien particulière, voilà tout !
Conclusion :
Grâce aux fractions, nous avons pu mettre en évidence l'existence d’une nouvelle catégorie de nombres : les nombres rationnels. Nous connaissions certains d'entre eux (les entiers et les décimaux) mais nous pouvons maintenant aussi mettre un nom sur les nombres résultant d'une fraction dont le résultat n'est ni un entier ni un décimal.