Comparer, additionner, soustraire des fractions

• On veut comparer $\frac 16$ et $\frac {11}{18}$.

Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur, et $18$ est un multiple de $6$, avec : $18=6\times 3$. Nous obtenons :

$$\purple{\dfrac 16}=\dfrac{1\times 3}{6\times 3}=\purple{\dfrac 3{18}}$$

• Comme $\purple 3< 11$, on obtient :

$$\purple{\dfrac 3{18}} < \dfrac {11}{18} \qquad\textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :}}\qquad \purple{\dfrac 16} < \dfrac {11}{18}$$

• On veut comparer $\frac {11}{18}$ et $\frac {26}{36}$.

On peut simplifier $\frac {26}{36}$ par $2$, puisque $26$ et $36$ sont des nombres pairs, et ainsi obtenir une fraction égale de dénominateur $18$ :

$$\pink{\dfrac{26}{36}}=\dfrac{26\div 2}{36\div 2}=\pink{\dfrac {13}{18}}$$

• Comme $11 < \pink{13}$, on a :

$$\dfrac{11}{18} < \pink{\dfrac {13}{18}}\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :}}\qquad \dfrac {11}{18}<\pink{\dfrac{26}{36}}$$

• On veut comparer $\frac {-5}7$ et $\frac 16$.
• Inutile de réduire ces deux fractions au même dénominateur, car on voit que $\frac {-5}7$ est un nombre négatif quand $\frac 16$ est un nombre positif, donc :

$$\dfrac{-5}7 < \dfrac 16$$

• On peut, pour terminer, ranger toutes ces fractions, de la plus petite à la plus grande :

$$\boxed{\dfrac{-5}7 < \dfrac 16 < \dfrac {11}{18}<\dfrac {26}{36}}$$

On cherche à comparer $\frac {83}{47}$ et $\frac{121}{73}$.
Ici, il est possible de les réduire au même dénominateur, mais calculer leurs valeurs, même de manière approchée, sera sans doute plus rapide, surtout si on utilise sa calculatrice… On trouve :

$$\begin{aligned} \dfrac{83}{47}&\approx 1,77 \\ \dfrac{121}{73}&\approx 1,66 \end{aligned}$$

• Comme $1,66 < 1,77$, on obtient :

$$\boxed{\dfrac{121}{73} < \dfrac{83}{47}}$$

On cherche à comparer $\frac {39}{38}$ et $\frac{116}{117}$.

• On a $39 > 38$, donc :

$$\dfrac {39}{38} > 1$$

• On a $116 < 117$, donc :

$$\dfrac {116}{117} < 1$$

• On en conclut donc :

$$\boxed{\dfrac {39}{38} > 1 > \dfrac{116}{117}}$$

• On cherche à calculer : $\frac 95+\frac75$.

$$\begin{aligned} \dfrac 95+\dfrac75&=\dfrac {9+7}5 \\ &=\dfrac {16}5 \end{aligned}$$

• Ici, on voit que $\frac{16}5$ est un nombre décimal, on peut donc en donner une écriture décimale :

$$\boxed{\dfrac 95+\dfrac75=\dfrac {16}5=3,2}$$

• On cherche à calculer : $\frac {50}{33}-\frac {11}{33}$.

$$\begin{aligned} \dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}&=\dfrac{50-11}{33} \\ &=\dfrac{39}{33} \end{aligned}$$

• $39$ et $33$ sont divisibles par $3$, on peut simplifier la fraction par $3$ :

$$\boxed{\dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}=\dfrac {39}{33}=\dfrac {13}{11}}$$

On souhaite décomposer la fraction $\frac{\purple{15}}{\pink 7}$ sous la forme d’une somme et d’une différence d’un entier et d’une fraction.

On sait que $\blue{14}$ et $\green{21}$ sont les multiples de $\pink 7$ (ils font partie de la table de $7$) qui encadrent immédiatement $\purple{15}$.

• On peut donc écrire, d’une part :

$$\dfrac {\purple{15}}{\pink 7}=\dfrac{\blue{14}+1}{\pink 7}$$

Cette dernière expression peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux fractions de même dénominateur, $\pink 7$, en quelque sorte en faisant le chemin inverse de celui qu’on a fait plus haut, pour calculer une somme de fractions :

$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac {\blue{14}}{\pink 7}+\dfrac 1{\pink7} \\ &=\boxed{2+\dfrac 17} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $14\div 7= 2$]}}} \end{aligned}$$

• D’autre part, de façon équivalente, on peut écrire :

$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac{\green{21}-6}{\pink 7} \\ &=\dfrac{\green{21}}{\pink 7}-\dfrac 6{\pink 7} \\ &=\boxed{3-\dfrac 67} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $21\div7=3$]}}} \end{aligned}$$

• On peut aussi en profiter pour encadrer $\frac{15}7$ avec deux entiers consécutifs.
• Comme $\frac {15}7=2+\frac 17$, on a :

$$\dfrac {15}7 > 2$$

• Comme $\frac {15}7=3-\frac 67$, on a :

$$\dfrac {15}7 < 3$$

• On en déduit l’encadrement :

$$\boxed{2 < \dfrac {15}7 < 3}$$

• On cherche à calculer : $\frac 9{14}+\frac{41}{28}$.

$28$ est un multiple de $14$, avec : $28=14\times 2$.

• On choisit donc $28$ comme dénominateur commun :

$$\begin{aligned} \dfrac 9{14}+\dfrac{41}{28}&=\dfrac {9\times 2}{14\times 2}+\dfrac{41}{28} \\ &=\dfrac{18}{28}+\dfrac {41}{28} \\ &=\dfrac{18+41}{28} \\ &=\boxed{\dfrac{59}{28}} \end{aligned}$$

• On cherche à calculer : $\frac89-\frac{41}{72}$.

$72$ est un multiple de $9$, avec : $72=9\times 8$.

• On choisit donc $72$ comme dénominateur commun :

$$\begin{aligned} \dfrac89-\frac{41}{72}&=\dfrac{8\times 8}{9\times 8}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64}{72}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64-41}{72} \\ &=\boxed{\dfrac{23}{72}} \end{aligned}$$

On considère la somme suivante :

$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85$$

• On souhaite exprimer le résultat sous forme décimale et fractionnaire.
• Méthode 1 : Calcul avec les écritures décimales

Écrivons les deux fractions sous forme décimale : $\frac{29}{100}$ est une fraction décimale, et le quotient de $8$ par $5$ est bien un nombre décimal :

$$\begin{aligned} \dfrac{29}{100}&=0,29 \\ \dfrac 85&=\dfrac {16}{10}=1,6 \end{aligned}$$

• On trouve donc :

$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=3,2+0,29+1,6=5,09$$

• On peut alors aussi exprimer $5,09$ sous forme de fraction décimale :

$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\boxed{5,09}=\boxed{\dfrac{509}{100}}$$

• Méthode 2 : Calcul avec les écritures fractionnaires

Ici, il suffit d’écrire $3,2$ sous la forme d’une fraction décimale :

$$3,2=\dfrac{32}{10}$$

Nous obtenons donc :

$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\dfrac{32}{10}+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85$$

$100$ est un multiple à la fois de $10$ et de $5$.
On choisit donc $100$ comme dénominateur commun, avant d’appliquer la règle d’addition :

$$\begin{aligned} 3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85&= \dfrac{32\times 10}{10\times 10}+\dfrac{29}{100}+\dfrac{8\times 20}{5\times 20} \\ &=\dfrac{320}{100}+\dfrac{29}{100}+\dfrac{160}{100} \\ &=\dfrac{320+29+160}{100} \\ &=\dfrac{509}{100} \end{aligned}$$

• C’est une fraction décimale, on trouve facilement son écriture décimale :

$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\boxed{\dfrac{509}{100}}=\boxed{5,09}$$