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Introduction :
L'objectif de ce cours est d'apprendre à simplifier des fractions, outil bien pratique pour en alléger ou en simplifier l'écriture.
Pour cela, nous commencerons par rappeler la notion de fraction et faire apparaitre, à travers de nombreux exemples, la notion d'égalité de fractions que nous introduirons ensuite. Nous poursuivrons alors par la définition et la méthodologie de simplifications de fractions.
Notion de fraction
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Elle peut exprimer différentes notions.
Exprimer une proportion
Une fraction peut exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.
La fraction exprime parts d'une unité qui est partagée en parts égales soit « deux cinquièmes » de cette unité.
La surface coloriée représente de la surface du disque.
La surface coloriée représente de la surface du disque.
MÉTHODE
Soient deux entiers et , avec non nul.
Pour placer une fraction sur une droite graduée, on partage l'unité en parts égales et on reporte fois une part à partir de .
L'unité a été partagée en parts égales.
À partir de , on a reporté fois une part pour placer et fois une part pour placer .
L'unité a été partagée en parts égales.
À partir de , on a reporté fois une part pour placer et fois une part pour placer .
La représentation sur une droite graduée est plus pratique pour représenter une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (fraction plus grande que l'unité).
Elle permet également de comparer facilement des fractions dont la valeur est relativement proche.
Exprimer un quotient
Une fraction peut exprimer un quotient (résultat d'une division).
Quotient :
Soient deux nombres et , avec non nul.
Le quotient de par est le nombre qui, multiplié par , donne . Son écriture fractionnaire est .
Par définition on a .
On a aussi .
Si et sont entiers, alors le quotient est bien une fraction.
La fraction est le quotient de par .
Ici, le plus simple est de poser la division :
La fraction est le quotient de par .
Posons également la division :
La fraction est le quotient de par .
On a
Un nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur est ce nombre entier lui-même et le dénominateur est .
Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
Tout nombre entier ou décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction, mais toute fraction n'admet pas une écriture décimale.
Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant passer à la simplification de fractions.
Simplification de fractions
Nous avons vu que des fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur ; on parle de fractions égales.
Simplifier une fraction, c’est justement trouver une fraction égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits que ceux de la fraction initiale pour « simplifier » l'écriture de la fraction.
Ainsi, pour pouvoir simplifier une fraction, il faut d’abord bien connaître la notion de quotients égaux.
Quotients égaux
Deux quotients sont égaux quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.
Autrement dit, la valeur d'un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Ainsi, pour tous nombres , et , avec et non nuls : et .
Simplifier une fraction
Simplification de fraction :
Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Ainsi, la simplification de fractions est une application directe de la propriété des quotients égaux, restreinte ici aux fractions.
Soient deux entiers et , avec non nul.
Pour simplifier la fraction , il s'agira de trouver, si possible, un entier différent de et de tel que et appartiennent tous deux à la table de .
On dira alors qu'on a « simplifié la fraction par ».
On pourra parfois aussi entendre que « et sont divisibles par », ce qui revient à dire que « et appartiennent à la table de ».
et appartiennent à la table de . On peut écrire donc .
et appartiennent à la table de . On peut écrire donc .
et appartiennent à la table de . On peut écrire donc .
et n'appartiennent à aucune table commune différente de celle de . On ne peut donc pas simplifier la fraction .
La forme la plus simplifiée d'une fraction est dite « irréductible », mais cette notion ne sera réellement abordée qu’en classe de 3e.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à simplifier l'écriture d'une fraction. Pour ce faire, nous avons introduit la notion de quotients égaux qui est indispensable à la compréhension de cette méthode. Nous avons également revu la notion de fraction dont les différents sens, expressions et représentations doivent être parfaitement intégrés maintenant.