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Simplification de fractions

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Introduction :

L'objectif de ce cours est d'apprendre à simplifier des fractions, outil bien pratique pour en alléger ou en simplifier l'écriture.

Pour cela, nous commencerons par rappeler la notion de fraction et faire apparaitre, à travers de nombreux exemples, la notion d'égalité de fractions que nous introduirons ensuite. Nous poursuivrons alors par la définition et la méthodologie de simplifications de fractions.

Notion de fraction

Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Elle peut exprimer différentes notions.

Exprimer une proportion

Une fraction peut exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.

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Exemple

La fraction 25\frac\blue{2}\red{5} exprime 2\blue{2} parts d'une unité qui est partagée en 5\red{5} parts égales soit « deux cinquièmes » de cette unité.

Une fraction peut être représentée sur la surface d'un disque (ou d'un rectangle).

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Exemple

Simplification de fractions mathématiques cinquième

La surface coloriée représente 34\dfrac {\color{#57BAB5}{3}}{\color {#F096BF} {4}} de la surface du disque.

Simplification de fractions mathématiques cinquième

La surface coloriée représente 68\dfrac {\color{#57BAB5}{6}}{\color {#F096BF} {8}} de la surface du disque.

  • On constate ici que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent représenter la même surface d’un disque.

Une fraction peut être représentée sur une droite graduée.

MÉTHODE
Soient deux entiers aa et bb, avec bb non nul.
Pour placer une fraction ab\frac ab sur une droite graduée, on partage l'unité en bb parts égales et on reporte aa fois une part à partir de 00.

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Exemple

  • Placer les points AA et BB d'abscisses respectives 25\frac 25 et 85\frac 85.

Simplification de fractions mathématiques cinquième

L'unité a été partagée en 55 parts égales.
À partir de 00, on a reporté 22 fois une part pour placer A=25A=\frac 25 et 88 fois une part pour placer B=85B=\frac 85.

  • Placer les points CC et DD d'abscisses respectives 1610\frac{16}{10} et 2310\frac{23}{10}.

Simplification de fractions mathématiques cinquième

L'unité a été partagée en 1010 parts égales.
À partir de 00, on a reporté 1616 fois une part pour placer C=1610C=\frac{16}{10} et 2323 fois une part pour placer D=2310D=\frac{23}{10}.

  • On constate également ici que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même position sur une droite graduée.
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Astuce

La représentation sur une droite graduée est plus pratique pour représenter une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (fraction plus grande que l'unité).
Elle permet également de comparer facilement des fractions dont la valeur est relativement proche.

Exprimer un quotient

Une fraction peut exprimer un quotient (résultat d'une division).

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Définition

Quotient :

Soient deux nombres aa et bb, avec bb non nul.
Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa. Son écriture fractionnaire est ab\frac ab.

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À retenir

Par définition on a ab×b=a\frac ab \times b = a.
On a aussi a÷b=aba \div b = \frac ab.
Si aa et bb sont entiers, alors le quotient ab\frac ab est bien une fraction.

APPLICATIONS

  • Valeur d'une fraction
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Exemple

La fraction 74\frac 74 est le quotient de 77 par 44.
Ici, le plus simple est de poser la division : 74=7÷4=1,75\frac 74 = 7 \div 4 = 1,75

La fraction 2112\frac {21}{12} est le quotient de 2121 par 1212.
Posons également la division : 2112=21÷12=1,75\frac{21}{12} = 21 \div 12 = 1,75

  • Nous constatons ici aussi que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur.

La fraction 53\frac 53 est le quotient de 55 par 33.
On a 53=5÷3=1,666666\frac 53 = 5 \div 3 = 1,666666…

  • On remarque que cette fraction n'admet pas d'écriture décimale.
  • Expression d'un nombre entier ou d'un nombre décimal

Un nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur est ce nombre entier lui-même et le dénominateur est 11.
Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

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Exemple

3=313 = \frac 31

0,7=7100,7 = \frac {7}{10}

58,207=58207100058,207 = \frac{58207}{1000}

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À retenir

Tout nombre entier ou décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction, mais toute fraction n'admet pas une écriture décimale.

Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant passer à la simplification de fractions.

Simplification de fractions

Nous avons vu que des fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur ; on parle de fractions égales.

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À retenir

Simplifier une fraction, c’est justement trouver une fraction égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits que ceux de la fraction initiale pour « simplifier » l'écriture de la fraction.

Ainsi, pour pouvoir simplifier une fraction, il faut d’abord bien connaître la notion de quotients égaux.

Quotients égaux

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Propriété

Deux quotients sont égaux quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.

Autrement dit, la valeur d'un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Ainsi, pour tous nombres aa, bb et kk, avec bb et kk non nuls : ab=a×kb×k\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} et ab=a÷kb÷k\frac ab = \frac{a \div k}{b \div k}.

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Exemple

4424=44÷424÷4=116\dfrac{44}{24}=\dfrac{44 \div 4}{24 \div 4}=\dfrac{11}{6}

12=1×52×5=510\dfrac 12=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\dfrac{5}{10}

Simplifier une fraction

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Définition

Simplification de fraction :

Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Ainsi, la simplification de fractions est une application directe de la propriété des quotients égaux, restreinte ici aux fractions.

MÉTHODOLOGIE

Soient deux entiers aa et bb, avec bb non nul.
Pour simplifier la fraction ab\frac ab, il s'agira de trouver, si possible, un entier kk différent de 00 et de 11 tel que aa et bb appartiennent tous deux à la table de kk.

  • Une fraction simplifiée de ab\frac ab sera alors a÷kb÷k\frac{a\div k}{b\div k}.

On dira alors qu'on a « simplifié la fraction par kk ».
On pourra parfois aussi entendre que « aa et bb sont divisibles par kk », ce qui revient à dire que « aa et bb appartiennent à la table de kk ».

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Exemple

  • Simplifier la fraction 1815\frac{18}{15}.

1818 et 1515 appartiennent à la table de 33. On peut écrire 1815=18÷315÷3=65\frac{18}{15} = \frac{18 \div 3}{15 \div 3}=\frac 65 donc 1815=65\frac {18}{15} = \frac 65.

  • On a simplifié la fraction par 33.
  • Simplifier le plus possible 6090\frac{60}{90}.

6060 et 9090 appartiennent à la table de 1010. On peut écrire 6090=60÷1090÷10=69\frac{60}{90} = \frac{60\div 10}{90\div 10}=\frac 69 donc 6090=69\frac{60}{90} = \frac 69.

66 et 99 appartiennent à la table de 33. On peut écrire 69=6÷39÷3=23\frac 69 = \frac{6\div 3}{9\div 3}=\frac 23 donc 69=23\frac 69 = \frac 23.

22 et 33 n'appartiennent à aucune table commune différente de celle de 11. On ne peut donc pas simplifier la fraction 23\frac 23.

  • La forme la plus simplifiée de 6090\frac{60}{90} est donc 23\frac 23 : on a 6090=23\frac{60}{90} = \frac 23.
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Astuce

La forme la plus simplifiée d'une fraction est dite « irréductible », mais cette notion ne sera réellement abordée qu’en classe de 3e.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à simplifier l'écriture d'une fraction. Pour ce faire, nous avons introduit la notion de quotients égaux qui est indispensable à la compréhension de cette méthode. Nous avons également revu la notion de fraction dont les différents sens, expressions et représentations doivent être parfaitement intégrés maintenant.