Démonstration de l’orthogonalité d’une droite à un plan

Soient $\Delta$ une droite et $P$ un plan de l’espace.
Il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :

• $\Delta$ orthogonale à deux droites sécantes de $P$ ; (1)
• $\Delta$ orthogonale à toute droite de $P$. (2)

Dans ce cas on dit que $\Delta$ est orthogonale à $P$ et l’on écrit $\Delta \perp P$.

Il suffit bien sûr de montrer $1\Leftrightarrow 2$.
Soit $\vec {u}$ un vecteur directeur de $\Delta$.
Supposons donc que $\Delta$ soit orthogonale à deux droites $D_1$ et $D_2$ de $P$, de vecteurs directeurs respectifs $\vec {u_1}$ et $\vec {u_2}$. Alors le plan $P$ est dirigé par le couple de vecteurs $(\vec {u_1}, \vec {u_2})$

Soit $D3$, de vecteur directeur $\vec {u_3}$, une autre droite de $P$.
Puisque $\vec {u_1}$ et $\vec {u_2}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $P$ et que $\vec {u_3}$, est un vecteur du plan $P$, on sait qu’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que
$\vec {u_3}= \alpha \vec{u_1} + \beta \vec{u_2} $

Puisque la droite $\Delta$ est orthogonale aux droites $D_1$ et $D_2$ , on a $\vec {u}.\vec {u_1}=0$ et $\vec {u}.\vec {u_2}=0$.

Maintenant, prouvons que $\Delta \perp P$ :
$\vec {u_1}.\vec {u_3}= \vec {u}.(\alpha \vec{u_1} + \beta \vec{u_2})=\alpha \vec{u} \vec{u_1} + \beta \vec{u}\vec{u_2}=0+0=0$

On a montré que $\vec{u} \perp \vec{u_3}$, et cela implique que $\Delta \perp D_3$.

Cas d’utilisation : Pour démontrer des orthogonalités dans l’espace.

• Exemple

Soient $ABC$ et $ABK$ deux triangles rectangles en $A$. Soit $P$ un plan contenant $A, B, C$ mais pas $K$.
Montrer que $(AB)\perp(KC)$.

Réponse :
$(AB) \perp (AC)$ et $(AB)\perp(AK$) à cause des triangles rectangles. Ainsi, $(AB)$ est orthogonale à deux droits sécantes du plan $(AKC)$ donc elle est orthogonale à toute droite du plan $(AKC)$, en particulier à $(KC)$.