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Description d’un système thermodynamique
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Introduction :
La thermodynamique se base sur une description macroscopique du comportement d’un ensemble d’entités élémentaires (atomes, ions, molécules) appelé « système thermodynamique ». Ce cours traitera d’un système thermodynamique particulier décrit par un modèle mathématique simplifié : le gaz parfait.
Dans un premier temps, nous définirons ce modèle puis relierons qualitativement les valeurs des grandeurs macroscopiques mesurables de ce système (masse volumique, température, pression) à ses propriétés à l’échelle microscopique.
Dans un second temps, nous verrons que ces grandeurs physiques macroscopiques peuvent être reliées entre-elles par une équation appelée équation d’état. Cette équation sera alors exploitée pour déterminer une quantité de matière ou encore pour décrire le comportement d’un tel gaz.
Enfin, nous montrerons que ce modèle comporte des limites dont on donnera quelques aspects.
Modèle du gaz parfait
Qu’est-ce qu’un gaz parfait ?
D’un point de vue microscopique, la matière est constituée d’entités élémentaires (atomes, molécules ou ions), que nous appellerons ici particules.
Le gaz parfait est avant tout un modèle mathématique représentant de façon simple le comportement d’un gaz à faible pression. En règle générale, on décrit ce système (gaz parfait) comme confiné dans une enceinte dont les parois assurent une séparation avec le milieu extérieur.
Selon ce modèle, les particules se comportent comme des sphères dures en mouvement désordonné qui n’interagissent qu’avec les parois du récipient qui les contient. Ces particules ne sont soumises à aucune interaction mutuelle ni perte d’énergie suite à ces collisions.
Particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé
Ainsi, le modèle du gaz parfait repose sur deux hypothèses :
Gaz parfait :
Un gaz parfait est un gaz dont les particules peuvent être traitées comme des points matériels sans interaction entre eux.
En mécanique, un point matériel est une modélisation qui permet d’assimiler un corps à un point de l’espace auquel on associe une masse non nulle.
Dans les conditions normales, l’air peut être décrit comme un gaz parfait.
Après avoir exposé les hypothèses sur lesquelles repose ce modèle, nous allons maintenant nous attacher à relier les propriétés à l’échelle microscopique du gaz parfait à des grandeurs macroscopiques mesurables par l’observateur.
Relation entre les grandeurs macroscopiques et les propriétés microscopiques
Considérons une enceinte de volume contenant une masse de gaz.
À l’échelle macroscopique, la masse volumique est définie par la relation suivante :
Avec :
La masse volumique s’exprime donc en dans le Système international, mais peut également s’exprimer en ou en . Il faut donc être vigilant et convertir les unités lorsque cela est nécessaire.
La masse volumique est une grandeur macroscopique liée à la distance entre les particules, à l’échelle microscopique.
Ainsi, plus la masse volumique du gaz est faible (grandeur macroscopique), plus les particules sont éloignées les unes des autres (propriété microscopique).
Nous savons que pour les gaz, la température est liée à la vitesse moyenne des particules et donc à l’énergie cinétique.
La température thermodynamique est une grandeur macroscopique liée à l’état d’agitation des particules, et donc à leur vitesse moyenne, à l’échelle microscopique.
Illustrons cette idée à l’aide de ce schéma symbolisant deux états différents, et en kelvin, d’agitation d’un gaz.
On symbolise dans ce schéma, la vitesse des particules par une flèche. Ainsi, la vitesse des particules (et donc leur énergie cinétique) est plus élevée dans la première situation.
En thermodynamique, la température , exprimée en kelvin , est reliée à la température en degré Celsius par la relation :
L’unité de température thermodynamique est le kelvin de symbole . Ce n’est donc pas le degré kelvin et ne se note pas non plus .
Enfin la pression , exprimée en pascal , que le gaz exerce sur les parois de l’enceinte, est due aux chocs des particules sur ces parois.
La pression est une grandeur macroscopique liée au nombre de chocs des particules sur la surface d’une paroi, à l’échelle microscopique.
Nous venons d’expliquer de façon qualitative que les propriétés d’un tel système à l’échelle microscopique pouvaient être reliées à des grandeurs macroscopiques mesurables.
Grandeurs macroscopiques | Propriétés microscopiques |
La masse volumique est faible. | La distance entre les particules est faible. |
La température thermodynamique est élevée. | L’état d’agitation des particules est important et donc leur vitesse est élevée. |
La pression est faible. | Le nombre de chocs des particules sur une paroi est faible. |
Montrons maintenant, que ces grandeurs macroscopiques reliées entre-elles aboutissent à une équation très importante qu’il s’agira d’exploiter de façon qualitative mais aussi quantitative : l’équation d’état du gaz parfait.
Équation d’état du gaz parfait
Observations
Considérons une enceinte de volume contenant un gaz à pression à une température .
Nous allons dans un premier temps, faire des observations qualitatives sur la façon dont évoluent ces grandeurs thermodynamiques les unes avec les autres.
On sait que la pression exercée par les particules de gaz sur les parois dépend du nombre de chocs de ces particules sur les parois.
Or, le nombre de chocs est liée à l’énergie cinétique moyenne des particules dont la température est une manifestation macroscopique.
Considérons maintenant une même quantité de gaz sous une même pression dans deux enceintes de volumes différents :
À pression égale, il faut que les particules de gaz dans la situation 2 aient une énergie cinétique plus importante que dans la situation 1. Autrement dit, il faut que .
Enfin, à l’échelle microscopique, les particules d’un gaz parfait sont très éloignées les unes des autres. Elles ont la place de se serrer sous l’effet d’une force pressante extérieure. Alors, le volume occupé par le gaz diminue.
Si l’état d’agitation des particules reste constant, leurs collisions avec les parois du récipient qui les contient deviennent alors plus fréquentes. Alors, la pression du gaz augmente.
On voit bien que ces trois grandeurs macroscopiques doivent vérifier une équation qui reflète ces deux constats.
Équation du gaz parfait et applications
Les grandeurs macroscopiques décrivant un gaz parfait à l’état d’équilibre thermodynamique vérifient la relation suivante appelée équation d’état du gaz parfait : Avec :
Lorsqu’un système est à l’état d’équilibre, les grandeurs macroscopiques n’évoluent plus au cours temps. Le système est donc stable.
On ne peut définir et mesurer les grandeurs macroscopiques qu’à l’équilibre.
Étudions maintenant cette équation de manière quantitative.
Calculer une quantité de matière
Une bouteille de contenant du dioxygène est stockée à . La pression mesurée est .
On considère que le gaz obéit à la loi du gaz parfait.
Tout d’abord, convertissons la température en degrés Celsius en kelvin, soit :
On a alors :
Cette bouteille contient de gaz.
Calculer une pression
Cette même bouteille de dioxygène est posée de façon malencontreuse en plein soleil. Elle s’échauffe et la température du gaz augmente jusqu’à .
Tout d’abord, convertissons la température en degrés Celsius en kelvin, soit :
D’après la loi du gaz parfait, la pression peut s’écrire :
Calculer une température
Cette bouteille de gaz est abandonnée en plein hiver à l’extérieur. Le manomètre indique une pression .
D’après la loi du gaz parfait, la température peut s’écrire :
On obtient la température en degrés Celsius à l’aide de la relation suivante :
Après une exploitation qualitative de l’équation d’état du gaz parfait permettant de décrire quelques comportements de ce type de gaz, nous avons pu exploiter cette équation de façon quantitative dans des situations où le système thermodynamique étudié pouvait être assimilé à un gaz parfait.
Cependant, ce modèle comporte des limites dont il convient maintenant de donner quelques aspects.
Limites du modèle
Le modèle du gaz parfait prévoit que les molécules n’exercent aucune force les unes sur les autres et que chaque particule est assimilée à un point matériel dont le volume est nul par définition.
Une analyse de l’équation d’état du gaz parfait montre qu’à une pression très élevée, le volume de l’enceinte devient très petit et on ne peut plus alors négliger le volume occupé par les particules devant le volume occupé par le gaz.
De plus, si la température du gaz est très faible, l’énergie cinétique des particules diminue donc fortement, et il existe alors nécessairement des interactions à distance entre elles.
Donc, d’autres équations, telle que l’équation de van der Waals (pas au programme de terminale), peuvent décrire de façon plus adaptée le comportement de gaz réels qui s’éloignent trop fortement du modèle du gaz parfait.
Conclusion :
Dans ce cours, il a été question d’un modèle mathématique décrivant de manière simple le comportement des gaz : le modèle du gaz parfait. Après avoir posé les fondements de ce modèle, nous avons pu en faire une analyse qualitative.
De plus, nous avons eu l’occasion d’exploiter d’un point de vue quantitatif l’équation qui régit ce modèle appelée équation d’état du gaz parfait.
Enfin, bien que ce modèle se prête à bon nombre de situations, il présente aussi des limites dont on a dessiné quelques contours.