Cours : Description d’un système thermodynamique

Le modèle du gaz parfait

Qu’est-ce qu’un gaz parfait ?

D’un point de vue microscopique, la matière est constituée d’atomes et de molécules, que nous appellerons ici particules.

Le gaz parfait est avant tout un modèle mathématique représentant de façon simple le comportement d’un gaz.
Selon ce modèle, les particules se comportent comme des billes en mouvement désordonné qui s’entrechoquent et rebondissent les unes contre les autres. Ces particules ne sont soumises à aucune interaction mutuelle ni perte d’énergie suite à ces collisions.

Ainsi, le modèle du gaz parfait repose sur deux hypothèses :

• les particules n’ont pas d’interaction entre elles en dehors des chocs survenant lorsqu’elles se rencontrent ;
• la taille des particules est considérée comme négligeable devant la distance qui les sépare.

Définition

Gaz parfait :

Un gaz parfait est un gaz dont les particules peuvent être traitées comme des points matériels sans interaction entre eux.

Rappel

En mécanique, un point matériel est une modélisation qui permet d’assimiler un corps à un point de l’espace et auquel on associe une masse $m$ non nulle.

À retenir

Dans les conditions normales, l’air peut être décrit comme un gaz parfait.

Après avoir exposé les hypothèses sur lesquelles repose ce modèle, nous allons maintenant nous attacher à relier les propriétés à l’échelle microscopique du gaz parfait à des grandeurs macroscopiques mesurables par l’observateur.

Relation entre les grandeurs macroscopiques et les propriétés microscopiques du gaz parfait

Considérons une enceinte de volume $V$ contenant une masse $m$ de gaz.

Rappel

À l’échelle macroscopique, la masse volumique $\rho$ s’exprime en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ et est définie par la relation suivante : $\rho=\dfrac{m}{V}$

Avec :

• $m$ est la masse de gaz en $\text{kg}$ ;
• $V$ le volume de gaz en $\text{m}^3$.

La masse volumique s’exprime donc en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ dans le Système :international, mais peut également s’exprimer en $\text{g}\cdot \text{cm}^{-3}$ ou en $\text{g}\cdot \text{L}^{-1}$. Il faut donc être vigilant et convertir les unités lorsque c'est nécessaire.

• Masse volumique
• La masse volumique $\rho$ est une grandeur macroscopique liée à la distance entre les particules, à l’échelle microscopique.

Ainsi, plus la masse volumique du gaz est faible (grandeur macroscopique) et plus les particules sont éloignées les unes des autres (propriété microscopique).

• Température

D’autre part, nous pouvons interpréter la température (grandeur macroscopique) comme l’énergie cinétique des particules (propriété microscopique), ayant pour formule : $E$\text{c}=\dfrac1 2 m{\text{particule}}v^2

À retenir

La température thermodynamique $T$ est intimement liée à l’état d’agitation des particules, et donc à leur vitesse, à l’échelle microscopique.

Illustrons cette idée à l’aide de ce schéma symbolisant deux états différents, $t$1t1​ et $t$2, d’agitation d’un gaz.

On symbolise dans ce schéma, la vitesse des particules par une flèche. Ainsi, la vitesse des particules (et donc leur énergie cinétique) est plus élevée dans la première situation.

• L’agitation des particules est ainsi plus importante dans la première situation, ce qui entraine une température plus élevée. On en conclue donc que $t$1>t2.

À retenir

En thermodynamique, la température $T$, exprimée en kelvin $(\text{K})$, est reliée à la température $\theta$ en degré Celsius $(\degree \text{C})$ par la relation : $T = \theta + 273,15$

Attention

L’unité de température thermodynamique est le kelvin de symbole $K$. Ce n’est donc pas le degré Kelvin et ne se note pas non plus $\degree \text{K}$.

• Pression $P$

Enfin la pression $P$, exprimée en $\text{Pa}$, que le gaz exerce sur les parois de l’enceinte est due aux chocs des particules sur ces parois.

• Les chocs incessants des molécules de gaz sur la paroi de l’enceinte se traduisent par une force pressante $\vec{F}_p$ (en $\text{N}$) exercée par ces molécules sur la paroi de surface $S$.
  Avec $F$ la norme de la force pressante, on note alors l’expression :

$F = P\times S$

À retenir

La pression $P$, est une grandeur macroscopique qui est liée au nombre de chocs des particules sur une paroi, à l’échelle microscopique.

Nous avons expliqué de façon qualitative que les propriétés d’un tel système à l’échelle microscopique pouvaient être reliées à des grandeurs macroscopiques mesurables.
Montrons maintenant, que ces grandeurs macroscopiques reliées entre-elles aboutissent à une équation très importante qu’il s’agira d’exploiter de façon qualitative mais aussi quantitative : l’équation d’état des gaz parfaits.

L’équation d’état des gaz parfaits

Observations

Considérons une enceinte de volume $V$ contenant un gaz à la pression $P$ et à une température $T$.

Nous allons dans un premier temps, faire des observations qualitatives sur la façon dont évoluent ces grandeurs thermodynamiques les unes avec les autres.

• On sait que la pression $P$ exercée par les particules de gaz sur les parois dépend du nombre de chocs de ces particules sur les parois.
• Il paraît évident que plus ces chocs sont nombreux et plus la pression exercée sur les parois de l’enceinte sera importante.
• Or, le nombre de chocs est liée à l’énergie cinétique moyenne des particules dont la température $T$ est une manifestation macroscopique.
• On remarque donc de façon intuitive que si la température $T$ augmente, la pression $P$ exercée sur les parois du récipient sera plus importante.

À retenir

• Premier constat
  Les deux grandeurs macroscopiques sont donc liées : si la pression augmente, la température augmente, et inversement.

Considérons maintenant une même quantité de gaz sous une même pression $P$ dans deux enceintes de volumes différents :

À pression égale, il faut que les particules de gaz dans la situation 2 aient une énergie cinétique plus importante que dans la situation 1. Autrement dit, il faut que $T$2 > T1.
À pression égale, la température $T$ est donc proportionnelle au volume $V$ de l’enceinte.

À retenir

• Second constat
  À pression constante, la température $T$ est proportionnelle au volume $V$ de l’enceinte.

On voit bien que ces trois grandeurs macroscopiques doivent vérifier une équation qui reflète ces deux constats.

Équation des gaz parfaits et applications

À retenir

Les grandeurs macroscopiques décrivant un gaz parfait à l’état d’équilibre thermodynamique vérifient la relation suivante, appelée équation d’état des gaz parfaits : $PV = n \text{R}T$ Avec :

• $P$ la pression exprimée en $\text{Pa}$ ;
• $V$ le volume exprimé en $\text{m}^3$ ;
• $n$ la quantité de matière en $\text{mol}$ ;
• $T$ la température thermodynamique en $\text{K}$ ;
• $\text{R} = 8,314\ \text{J}\cdot \text{K}^{-1}\cdot \text{mol}^{-1}$ la constante des gaz parfaits.

Étudions maintenant cette équation de manière quantitative.

Exemple

Calculer une quantité de matière $n$

Une bouteille de $50\ \text{L}$ contenant du dioxygène est stockée à $20\degree \text{C}$. La pression mesurée est $P =1,0\times 10^7\ \text{Pa}$. Quel est le nombre de moles de dioxygène contenu dans cette bouteille ?

On considère que le gaz obéit à la loi des gaz parfaits.
On a alors :

$\begin{aligned} PV = n \text{R}T \Leftrightarrow n &= \frac{PV}{\text{R}T}\ \ &= \dfrac{1,0\times10^7 \times50\times{10}^{-3}}{8,314 \times293,15}\ \ & \approx 2,1\times 10^2\ \text{mol} \end{aligned}$

Cette bouteille contient $2,1\times 10^2\ \text{mol}$ de gaz.

Exemple

Calculer une pression $P$

Cette même bouteille de dioxygène est posée de façon malencontreuse en plein soleil. La bouteille s’échauffe et la température du gaz augmente jusqu’à $40\degree \text{C}$. Quelle pression serait mesurée ?
D’après la loi des gaz parfaits, la pression $P$ peut s’écrire : $\begin{aligned} P &= \dfrac{n \text{R}T}{V} \ &=\dfrac{2,1\times10^2 \times8,314 \times313,15}{50 \times {10}^{-3}}\ &\approx 1,1 \times 10^7\ \text{Pa} \end{aligned}$

Exemple

Calculer une température $T$

Cette bouteille de gaz est abandonnée en plein hiver à l’extérieur. Le manomètre indique une pression $P = 9,1\times 10^6\ \text{Pa}$. Quelle température en $\degree \text{C}$ faisait-il à ce moment ?

D’après la loi des gaz parfaits, la température $T$ peut s’écrire : $\begin{aligned} T &= \dfrac{PV}{nR} \ &=\dfrac{9,1 \times\ {10}^6\times50 \times {10}^{-3}}{2,1\times10^2 \times8,314}\ &\approx 261\ \text{K} \end{aligned}$

On obtient la température en degré Celsius à l’aide de la relation suivante : $\begin{aligned} \theta &= T - 273,15 \ &= 261 - 273,15\ &\approx -12,1\degree \text{C} \end{aligned}$

Après une exploitation qualitative de l’équation des gaz parfaits permettant de décrire quelques comportements de ce type de gaz, nous avons pu exploiter cette équation de façon quantitative dans des situations où le système thermodynamique étudié pouvait être assimilé à un gaz parfait.

Cependant, ce modèle comporte des limites dont on il convient maintenant de donner quelques aspects.

Limites du modèle

Le modèle du gaz parfait prévoit que les molécules n’exercent aucune force les unes sur les autres et que chaque particule est assimilée à un point matériel dont le volume est nul par définition.

À retenir

Une analyse de l’équation d’état des gaz parfaits $PV = n \text{R}T$ montre qu’à une pression très élevée, le volume de l’enceinte devient très petit et on ne peut plus alors négliger le volume occupé par les particules devant le volume occupé par le gaz.

De plus, si la température du gaz est très faible, l’énergie cinétique des particules diminue donc fortement, et il existe alors nécessairement des interactions à distance entre elles.

Ainsi, d’autres équations, telle que l’équation de Van der Waals (hors programme), peuvent décrire de façon plus adaptée le comportement de gaz qui s’éloignent trop fortement du modèle des gaz parfaits.