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Description d’un système thermodynamique

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Introduction :

La thermodynamique correspond à une description macroscopique du comportement d’un ensemble d’entités (atomes, ions, molécules) appelé « système thermodynamique ».
Ce cours traitera d’un système thermodynamique particulier décrit par un modèle mathématique simplifié : le gaz parfait.

Dans un premier temps, nous définirons ce modèle puis relierons qualitativement les valeurs des grandeurs macroscopiques mesurables de ce système (masse volumique, température, pression) à ses propriétés à l’échelle microscopique.
Dans un second temps, nous verrons que ces grandeurs physiques macroscopiques peuvent être reliées entre-elles par une équation appelée équation d’état. Cette équation sera alors exploitée pour déterminer une quantité de matière ou encore pour décrire le comportement d’un tel gaz.
Enfin, nous montrerons que ce modèle comporte des limites dont on donnera quelques aspects.

Le modèle du gaz parfait

Qu’est-ce qu’un gaz parfait ?

D’un point de vu microscopique, la matière est constituée d’atomes et de molécules, que nous appellerons ici particules.

Le gaz parfait est avant tout un modèle mathématique représentant de façon simple le comportement d’un gaz.
Selon ce modèle, les particules se comportent comme des billes en mouvement désordonné qui s’entrechoquent et rebondissent les unes contre les autres. Ces particules ne sont soumises à aucune interaction mutuelle ni perte d’énergie suite à ces collisions.

Img-01 : Particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé

Ainsi, le modèle du gaz parfait repose sur deux hypothèses :

  • les particules n’ont pas d’interaction entre elles en dehors des chocs survenant lorsqu’elles se rencontrent ;
  • la taille des particules est considérée comme négligeable devant la distance qui les sépare.
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Définition

Gaz parfait :

Un gaz parfait est un gaz dont les particules peuvent être traitées comme des points matériels sans interaction entre eux.

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Rappel

En mécanique, un point matériel est une modélisation qui permet d’assimiler un corps à un point de l’espace et auquel on associe une masse mm non nulle.

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À retenir

Dans les conditions normales, l’air peut être décrit comme un gaz parfait.

Après avoir exposé les hypothèses sur lesquelles repose ce modèle, nous allons maintenant nous attacher à relier les propriétés à l’échelle microscopique du gaz parfait à des grandeurs macroscopiques mesurables par l’observateur.

Relation entre les grandeurs macroscopiques et les propriétés microscopiques du gaz parfait

Considérons une enceinte de volume VV contenant une masse mm de gaz.

Img-02

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Rappel

À l’échelle macroscopique, la masse volumique ρ\rho s’exprime en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} et est définie par la relation suivante : ρ=mV\rho=\dfrac{m}{V}

Avec :

  • mm est la masse de gaz en kg\text{kg} ;
  • VV le volume de gaz en m3\text{m}^3.

La masse volumique s’exprime donc en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} dans le Système international, mais peut également s’exprimer en gcm3\text{g}\cdot \text{cm}^{-3} ou en gL1\text{g}\cdot \text{L}^{-1}. Il faut donc être vigilant et convertir les unités lorsque c'est nécessaire.

  • Masse volumique
  • La masse volumique ρ\rho est une grandeur macroscopique liée à la distance entre les particules, à l’échelle microscopique.

Ainsi, plus la masse volumique du gaz est faible (grandeur macroscopique) et plus les particules sont éloignées les unes des autres (propriété microscopique).

  • Température

D’autre part, nous pouvons interpréter la température (grandeur macroscopique) comme l’énergie cinétique des particules (propriété microscopique), ayant pour formule : Ec=12mparticulev2E\text{c}=\dfrac1 2 m{\text{particule}}v^2

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À retenir

La température thermodynamique TT est intimement liée à l’état d’agitation des particules, et donc à leur vitesse, à l’échelle microscopique.

Illustrons cette idée à l’aide de ce schéma symbolisant deux états différents, t1t1 et t2t2, d’agitation d’un gaz.

Img-03 : Énergie cinétique des particules à l’échelle microscopique

On symbolise dans ce schéma, la vitesse des particules par une flèche. Ainsi, la vitesse des particules (et donc leur énergie cinétique) est plus élevée dans la première situation.

  • L’agitation des particules est ainsi plus importante dans la première situation, ce qui entraine une température plus élevée. On en conclue donc que t1>t2t1>t2.
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À retenir

En thermodynamique, la température TT, exprimée en kelvin (K)(\text{K}), est reliée à la température θ\theta en degré Celsius (°C)(\degree \text{C}) par la relation : T=θ+273,15T = \theta + 273,15

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Attention

L’unité de température thermodynamique est le kelvin de symbole KK. Ce n’est donc pas le degré Kelvin et ne se note pas non plus °K\degree \text{K}.

  • Pression PP

Enfin la pression PP, exprimée en Pa\text{Pa}, que le gaz exerce sur les parois de l’enceinte est due aux chocs des particules sur ces parois.

  • Les chocs incessants des molécules de gaz sur la paroi de l’enceinte se traduisent par une force pressante Fp\vec{F}_p (en N\text{N}) exercée par ces molécules sur la paroi de surface SS.
    Avec FF la norme de la force pressante, on note alors l’expression :

F=P×SF = P\times S

Img-04

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À retenir

La pression PP, est une grandeur macroscopique qui est liée au nombre de chocs des particules sur une paroi, à l’échelle microscopique.

Nous avons expliqué de façon qualitative que les propriétés d’un tel système à l’échelle microscopique pouvaient être reliées à des grandeurs macroscopiques mesurables.
Montrons maintenant, que ces grandeurs macroscopiques reliées entre-elles aboutissent à une équation très importante qu’il s’agira d’exploiter de façon qualitative mais aussi quantitative : l’équation d’état des gaz parfaits.

L’équation d’état des gaz parfaits

Observations

Considérons une enceinte de volume VV contenant un gaz à la pression PP et à une température TT.

Img-05 : Gaz enfermé dans une enceinte de volume V sous une pression P et à une température T

Nous allons dans un premier temps, faire des observations qualitatives sur la façon dont évoluent ces grandeurs thermodynamiques les unes avec les autres.

  • On sait que la pression PP exercée par les particules de gaz sur les parois dépend du nombre de chocs de ces particules sur les parois.
  • Il paraît évident que plus ces chocs sont nombreux et plus la pression exercée sur les parois de l’enceinte sera importante.
  • Or, le nombre de chocs est liée à l’énergie cinétique moyenne des particules dont la température TT est une manifestation macroscopique.
  • On remarque donc de façon intuitive que si la température TT augmente, la pression PP exercée sur les parois du récipient sera plus importante.
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À retenir

  • Premier constat
    Les deux grandeurs macroscopiques sont donc liées : si la pression augmente, la température augmente, et inversement.

Considérons maintenant une même quantité de gaz sous une même pression PP dans deux enceintes de volumes différents :

Img-06

  • Nous pouvons remarquer de façon tout aussi intuitive qu’à quantité égale de gaz, plus le volume du récipient est faible et plus la pression subie par la paroi de l’enceinte sera faible.

À pression égale, il faut que les particules de gaz dans la situation 2 aient une énergie cinétique plus importante que dans la situation 1. Autrement dit, il faut que T2>T1T2 > T1.
À pression égale, la température TT est donc proportionnelle au volume VV de l’enceinte.

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À retenir

  • Second constat
    À pression constante, la température TT est proportionnelle au volume VV de l’enceinte.

On voit bien que ces trois grandeurs macroscopiques doivent vérifier une équation qui reflète ces deux constats.

Équation des gaz parfaits et applications

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À retenir

Les grandeurs macroscopiques décrivant un gaz parfait à l’état d’équilibre thermodynamique vérifient la relation suivante, appelée équation d’état des gaz parfaits : PV=nRTPV = n \text{R}T Avec :

  • PP la pression exprimée en Pa\text{Pa} ;
  • VV le volume exprimé en m3\text{m}^3 ;
  • nn la quantité de matière en mol\text{mol} ;
  • TT la température thermodynamique en K\text{K} ;
  • R=8,314 JK1mol1\text{R} = 8,314\ \text{J}\cdot \text{K}^{-1}\cdot \text{mol}^{-1} la constante des gaz parfaits.

Étudions maintenant cette équation de manière quantitative.

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Exemple

Calculer une quantité de matière nn

Une bouteille de 50 L50\ \text{L} contenant du dioxygène est stockée à 20°C20\degree \text{C}. La pression mesurée est P=1,0×107 PaP =1,0\times 10^7\ \text{Pa}. Quel est le nombre de moles de dioxygène contenu dans cette bouteille ?

On considère que le gaz obéit à la loi des gaz parfaits.
On a alors :

PV=nRTn=PVRT=1,0×107×50×1038,314×293,152,1×102 mol\begin{aligned} PV = n \text{R}T \Leftrightarrow n &= \frac{PV}{\text{R}T}\ \ &= \dfrac{1,0\times10^7 \times50\times{10}^{-3}}{8,314 \times293,15}\ \ & \approx 2,1\times 10^2\ \text{mol} \end{aligned}

Cette bouteille contient 2,1×102 mol2,1\times 10^2\ \text{mol} de gaz.

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Exemple

Calculer une pression PP

Cette même bouteille de dioxygène est posée de façon malencontreuse en plein soleil. La bouteille s’échauffe et la température du gaz augmente jusqu’à 40°C40\degree \text{C}. Quelle pression serait mesurée ?
D’après la loi des gaz parfaits, la pression PP peut s’écrire : P=nRTV=2,1×102×8,314×313,1550×1031,1×107 Pa\begin{aligned} P &= \dfrac{n \text{R}T}{V} \ &=\dfrac{2,1\times10^2 \times8,314 \times313,15}{50 \times {10}^{-3}}\ &\approx 1,1 \times 10^7\ \text{Pa} \end{aligned}

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Exemple

Calculer une température TT

Cette bouteille de gaz est abandonnée en plein hiver à l’extérieur. Le manomètre indique une pression P=9,1×106 PaP = 9,1\times 10^6\ \text{Pa}. Quelle température en °C\degree \text{C} faisait-il à ce moment ?

D’après la loi des gaz parfaits, la température TT peut s’écrire : T=PVnR=9,1× 106×50×1032,1×102×8,314261 K\begin{aligned} T &= \dfrac{PV}{nR} \ &=\dfrac{9,1 \times\ {10}^6\times50 \times {10}^{-3}}{2,1\times10^2 \times8,314}\ &\approx 261\ \text{K} \end{aligned}

On obtient la température en degré Celsius à l’aide de la relation suivante : θ=T273,15=261273,1512,1°C\begin{aligned} \theta &= T - 273,15 \ &= 261 - 273,15\ &\approx -12,1\degree \text{C} \end{aligned}

Après une exploitation qualitative de l’équation des gaz parfaits permettant de décrire quelques comportements de ce type de gaz, nous avons pu exploiter cette équation de façon quantitative dans des situations où le système thermodynamique étudié pouvait être assimilé à un gaz parfait.

Cependant, ce modèle comporte des limites dont on il convient maintenant de donner quelques aspects.

Limites du modèle

Le modèle du gaz parfait prévoit que les molécules n’exercent aucune force les unes sur les autres et que chaque particule est assimilée à un point matériel dont le volume est nul par définition.

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À retenir

Une analyse de l’équation d’état des gaz parfaits PV=nRTPV = n \text{R}T montre qu’à une pression très élevée, le volume de l’enceinte devient très petit et on ne peut plus alors négliger le volume occupé par les particules devant le volume occupé par le gaz.

De plus, si la température du gaz est très faible, l’énergie cinétique des particules diminue donc fortement, et il existe alors nécessairement des interactions à distance entre elles.

Ainsi, d’autres équations, telle que l’équation de Van der Waals (hors programme), peuvent décrire de façon plus adaptée le comportement de gaz qui s’éloignent trop fortement du modèle des gaz parfaits.

Conclusion :

Dans ce cours, il a été question d’un modèle mathématique décrivant de manière simple le comportement des gaz : le modèle des gaz parfaits. Après avoir posé les fondements de ce modèle, nous avons pu en faire une analyse qualitative.
De plus, dans ce cours, nous avons eu l’occasion d’exploiter d’un point de vue quantitatif l’équation qui régit ce modèle appelée équation des gaz parfaits.
Enfin, bien que ce modèle se prête à bon nombre de situations, il présente aussi des limites dont on a dessiné quelques contours.