Exercices Semaine 5 - Fonction ln et trigonométrie

On considère les deux fonctions :

$$\begin{aligned} f:x&\mapsto \ln{(4-x^2)} \\ g:x&\mapsto \ln{(x+2,5)}+\ln{(2)} \end{aligned}$$

Question 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$, puis le domaine de définition de $g$.

Question 2

On cherche à résoudre $f(x)=g(x)$.
Sur quel intervalle cette égalité a-t-elle un sens ?

Question 3

On suppose que $x\in\ ]-2\ ;\, 2[$.
Montrer l’égalité :

$$\ln{(4-x^2)}-\ln{(x+2,5)}- \ln{(2)}=\ln\left(\dfrac {4-x^2}{2x+5}\right)$$

Puis résoudre $f(x)=g(x)$.

Question 4

Quelles sont les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ?

Démontrer que $0<\ln2<1$.

$g$ est la fonction définie, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $I=]-\text{e}\ ;\, +\infty[$, par :

$$g(x)=-\dfrac 1{\ln{(2)}}\times \ln{(x+\text{e})}$$

• Dans l’exercice, on admet que $g$ est continue et deux fois dérivable sur $I$.

Question 1

• Démontrer que, pour tout $x\in I$ :

$$g^{\prime}(x)=-\dfrac 1{\ln{(2)}\times (x+\text{e})}$$

• Déterminer les variations de la fonction $g$ sur $I$.
• La fonction $g$ est-elle concave ou convexe sur $I$ ?

Question 2

• Trouver les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et en $(-\text{e})^+$.
• Dresser le tableau de variations de $g$.
• Dans cette question, $n$ est un entier naturel.
  Montrer qu’il existe un unique nombre de $]-\text{e}\ ;\, +\infty[$ tel que son image par $g$ est $n$.
• On notera ce nombre $u_n$.

Question 3

On définit ainsi une suite $(u_n)$ par : $g(u_n )=n$, pour tout entier naturel $n$.

• Prouver que $u_0=1-\text{e}$.
• Justifier que $g(u_n ) < g(u_{n+1})$.
  En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
• Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4

• À partir de l’égalité $g(u_n)=n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
• En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par :

$$f(x)=\sin{(x)}+\sin{(x)}\cos{(x)}$$

Question 1

• Soit $x\in \mathbb R$. Calculer $f(x+2\pi)$.
  En déduire que $f$ est périodique et donner sa période.
• Soit $x\in \mathbb R$. Exprimer $f(-x)$ en fonction de $f(x)$.
  Que peut-on en déduire ?

Question 2

On étudie à présent $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, \pi]$.

• Justifier que $f$ est dérivable sur $[0\ ;\, \pi]$.
• Déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime}$.
  Prouver qu’on peut écrire, pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$ :

$$f^{\prime} (x)=2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1$$

Question 3

Pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$, on pose : $X=\cos{(x)}$. Ainsi :

$$2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1=2X^2+X-1$$

• Justifier que $X\in [-1\ ;\, 1]$.
• Déterminer les racines et le signe du polynôme
  $2X^2+X-1$ sur $[-1\ ;\, 1]$.
• En déduire le signe de $f^{\prime} (x)$ sur $[0\ ;\, \pi]$, puis les variations de $f$ sur cet intervalle.

Question 4 (bonus) : Application

Sur la figure ci-dessous, on a représenté un prisme droit :

Le prisme a pour base le trapèze $ABCD$, et pour hauteur le segment $[AE]$.
On note $x$ la mesure des angles $\widehat{ADH}$ et $\widehat{BCJ}$.

• Dans cette question, $x\in\left]0\ ;\, \frac \pi2\right[$.

On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le prisme a un volume maximal.
On rappelle que :

• le volume d’un prisme droit est :
  $\mathcal V_\text{P}=\mathcal B\times H$, où $\mathcal B$ est l’aire de sa base et $H$ la hauteur du prisme ;
• l’aire du trapèze $ABCD$ est :
  $\mathcal A_\text{T}=\dfrac{AH\times (AB+DC)}2$.
• Exprimer la hauteur $AH$ du trapèze en fonction de $x$. On pourra se placer dans le triangle $AHD$.
• Démontrer que $CD=AB+2\cos{(x)}$.
• Exprimer l’aire du trapèze $\mathcal A_\text{T} (x)$, puis montrer que le volume du prisme est $\mathcal V_\text{P} (x)=3f(x)$.
• Quel est le volume maximal pour ce prisme ?