On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
$$f(x)=\sin{(x)}+\sin{(x)}\cos{(x)}$$
Question 1
Question 2
On étudie à présent $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, \pi]$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $[0\ ;\, \pi]$.
Déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime}$.
Prouver qu’on peut écrire, pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$ :
$$f^{\prime} (x)=2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1$$
Question 3
Pour tout $x\in [0\ ;\, \pi]$, on pose : $X=\cos{(x)}$. Ainsi :
$$2 \cos^2(x)+\cos{(x)}-1=2X^2+X-1$$
Justifier que $X\in [-1\ ;\, 1]$.
Déterminer les racines et le signe du polynôme
$2X^2+X-1$ sur $[-1\ ;\, 1]$.
En déduire le signe de $f^{\prime} (x)$ sur $[0\ ;\, \pi]$, puis les variations de $f$ sur cet intervalle.
Question 4 (bonus) : Application
Sur la figure ci-dessous, on a représenté un prisme droit :
Représentation du prisme droit
Le prisme a pour base le trapèze $ABCD$, et pour hauteur le segment $[AE]$.
On note $x$ la mesure des angles $\widehat{ADH}$ et $\widehat{BCJ}$.
On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le prisme a un volume maximal.
On rappelle que :
- le volume d’un prisme droit est :
$\mathcal V_\text{P}=\mathcal B\times H$, où $\mathcal B$ est l’aire de sa base et $H$ la hauteur du prisme ;
- l’aire du trapèze $ABCD$ est :
$\mathcal A_\text{T}=\dfrac{AH\times (AB+DC)}2$.
Exprimer la hauteur $AH$ du trapèze en fonction de $x$. On pourra se placer dans le triangle $AHD$.
Démontrer que $CD=AB+2\cos{(x)}$.
Exprimer l’aire du trapèze $\mathcal A_\text{T} (x)$, puis montrer que le volume du prisme est $\mathcal V_\text{P} (x)=3f(x)$.
Quel est le volume maximal pour ce prisme ?
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