Exercices Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations

Résoudre $\ln(\frac{1}{1-x})=1$

Une entreprise voit son capital $C$ diminuer au fil des jours.
Soit $n$ le numéro du jour, $n=0$ désignant le 1^er janvier 2018, $n=1$ le 2 janvier 2018 et ainsi de suite jusqu’à $n=364$ le 31 décembre.
On suppose que $C(0)= 100\ 000\ $€ et que $C$ diminue de 1 % par jour.
Donner la formule de $C(n)$ en fonction de $n$.

Le nombre de moles A dans une solution est modélisé par $N(t)=10000~e^{-t/100}$ (avec $t≥0$ en secondes).

On s'intéresse à trois étapes de la réaction chimique :

• quand la quantité de A diminue de moitié, on parle de temps de demi-réaction ;
• quand la quantité A diminue de 80%, on considère que la réaction est pratiquement achevée ;
• quand il ne reste que 100 molécules, on considère que le produit A est en concentration négligeable ;

Déterminer $N(0)$ ainsi que le temps $t$ au bout duquel le nombre de molécules sera égal à 100.

On pose pour tout réel $x :f(x)=\text{ln}(1+x^2)$ : et pour tout $x>0 : g(x)=\text{ln} (x)$.
Résoudre $f(x)=0$.

Une feuille de papier a pour épaisseur 0,1 mm.
On la plie en deux, $n$ fois. On admet que l’épaisseur est multipliée par $2$ à chaque pliage.

Quelle est l’épaisseur $u_n$ obtenue après $n$ pliages ?

Démontrer que $0<\ln2<1$.