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Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations
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Introduction :
Nous allons étudier une nouvelle fonction : le logarithme népérien. Après l’avoir défini à partir de la fonction exponentielle, nous étudirons ses propriétés algébriques, résoudrons des équations et inéquations, puis définirons le logarithme décimal.
Définition
Fonction logarithme népérien :
Pour tout réel l’équation admet une unique solution dans appelée logarithme népérien de et notée .
On définit ainsi sur la fonction logarithme népérien : .
La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. On en déduit les propriétés suivantes :
Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur .
Propriétés algébriques
Pour tous nombres réels et et pour tout nombre entier relatif :
Simplifions , et :
Résolutions d’équations et inéquations
Résolvons
est défini uniquement pour .
Il faut donc et , soit et ,
On vérifie que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition : on a bien .
Résolution d’inéquations du type :
Résolvons
L’ensemble de définition est encore .
car est croissante sur .
Alors
On vérifie encore que la solution est incluse dans l’ensemble de définition .
Résolution d’une équation plus complexe
Il s’agit d’une équation du second degré :
et
n’appartient pas à l’ensemble de définition donc n’est pas solution.
Ainsi l’unique solution est :
Le logarithme décimal
On déduit les deux cas particuliers suivants : et .
De même que pour le logarithme népérien :