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Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations

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Introduction :

Nous allons étudier une nouvelle fonction : le logarithme népérien. Après l’avoir défini à partir de la fonction exponentielle, nous étudirons ses propriétés algébriques, résoudrons des équations et inéquations, puis définirons le logarithme décimal.

Définition

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Définition

Fonction logarithme népérien :

Pour tout réel $a>0$ l’équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ appelée logarithme népérien de $a$ et notée $x=\ln{(a)}$.

On définit ainsi sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$ la fonction logarithme népérien : $x\to\ \ln{(x)}$.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. On en déduit les propriétés suivantes :

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Propriété

  • Si $a$ est un réel strictement positif et si $b$ est un réel, alors on a : $e^b=a<=>b=\ln{(a)}$
  • pour tout réel strictement positif a : $e^{\ln{(a)}}=a$
  • pour tout réel b : $\ln{(e^b)}=b$.

Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

Symétrie des courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien-math-tle

Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur $\lbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.

Propriétés algébriques

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Propriété

Pour tous nombres réels $a\ \rangle\ 0$ et $b\ \rangle\ 0$ et pour tout nombre entier relatif $n$ :

  • $\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}$
  • $\ln{(\dfrac{1}{a})}=-\ln{(a)}$
  • $\ln{(\dfrac{a}{b})}=\ln{(a)}-\ln{(b)}$
  • $\ln{(\sqrt{a})}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)}$
  • $\ln{(a^n)}=n\ \ln{(a)}$
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Exemple

Simplifions $\: \ln{(32)}$, $\: \ln{(\dfrac{1}{1024})}$ et $\: \ln{(8\sqrt{2})}$ :

  • $\ln{(32)}=\ln{(2^5)}=5\ \ln{(2)}$
  • $\ln{(\dfrac{1}{1024})}=\ln{(\dfrac{1}{2^{10}})}=-10\ \ln{(2)}$
  • $\ln{(8\sqrt{2})}=\ln{(2^3\times \sqrt{2})}=\ln{(2^3\times 2^\frac{1}{2})}=\ln{(2^{\frac{7}{2}})}=\dfrac{7}{2}\times \ln{(2)}$

Résolutions d’équations et inéquations

Résolution d’équations du type $\ln{(a)}=\ln{(b)}$

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Exemple

Résolvons $\ln{(2x)}=\ln{(x+3)}$

  • Recherche de l’ensemble de définition :

$ln{(x)}$ est défini uniquement pour $x\ \rangle\ 0$.

Il faut donc $2x\ \rangle\ 0$ et $x+3\ \rangle\ 0$, soit $x\ \rangle\ 0$ et $x\ \rangle\ -3$,

  • c’est à dire $x\ \rangle\ 0$.
  • Résolution de l’équation :

$ln{(2x)}=ln{(x+3)}<=>2x=x+3<=>x=3$

  • Vérification :

On vérifie que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition : on a bien $3\ \rangle\ 0$.

Résolution d’inéquations du type : $\ln{(a)}\geq \ln{(b)}$

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Exemple

Résolvons $\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}$

  • Recherche de l’ensemble de définition :

L’ensemble de définition est encore $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.

  • Résolution de l’équation :

$\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}<=>2x\geq x+3$ car $x\to \ln{(x)}$ est croissante sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.

Alors $\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)} <=>x\geq 3$

  • Vérification :

On vérifie encore que la solution $\lbrack 3\ ,+\infty \rbrack$ est incluse dans l’ensemble de définition $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.

Résolution d’une équation plus complexe

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Exemple

  • L’ensemble de définition est $\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack$.
  • On résout :

$\begin{aligned}&\ln{(x)}+\ln{(x+8)}=2\ln{(3)}\\ &\Leftrightarrow \ln{(x(x+8))}=\ln{(3^2)}\\ &\Leftrightarrow x(x+8)=3^2\\ &\Leftrightarrow x^2+8x=9\\ &\Leftrightarrow x^2+8x-9=0\end{aligned}$

Il s’agit d’une équation du second degré :

  • Calcul du discriminant :

$\Delta=8^2-4\times(-9)=64+36=100$

  • Calcul des racines :

$x_1=\dfrac{-8-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8-10}{2}=-9$

et

$x_2=\dfrac{-8+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8+10}{2}=1$

  • Vérification :

$x_1=-9$ n’appartient pas à l’ensemble de définition $\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack$ donc n’est pas solution.

Ainsi l’unique solution est  : $S = {1}$

Le logarithme décimal

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Définition

Fonction logarithme décimal :

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $ log $ définie sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$ par : $\log{(x)}=\dfrac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}$

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Propriété

$\log{(10^n)}=\dfrac{\ln{(10^n)}}{\ln{(10)}}=\dfrac{n\ \ln{(10)}}{\ln{(10)}}=n$

On déduit les deux cas particuliers suivants : $\log{(10)}=1$ et $\log{(1)}=0$.

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Propriété

De même que pour le logarithme népérien :

$\log{(ab)}=\log{(a)}+\log{(b)}$
$\log{(\dfrac{a}{b})}=\log{(a)}-\log{(b)}$
$\log{(a^n)}=n\log{(a)}$