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Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations

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Introduction :

Nous allons étudier une nouvelle fonction : le logarithme népérien. Après l’avoir défini à partir de la fonction exponentielle, nous étudirons ses propriétés algébriques, résoudrons des équations et inéquations, puis définirons le logarithme décimal.

Définition

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Définition

Fonction logarithme népérien :

Pour tout réel a>0a>0 l’équation ex=ae^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R} appelée logarithme népérien de aa et notée x=ln(a)x=\ln{(a)}.

On définit ainsi sur ]0 ,+]\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack la fonction logarithme népérien : x ln(x)x\to\ \ln{(x)}.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. On en déduit les propriétés suivantes :

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Propriété

  • Si aa est un réel strictement positif et si bb est un réel, alors on a : eb=a<=>b=ln(a)e^b=a<=>b=\ln{(a)}
  • pour tout réel strictement positif a : eln(a)=ae^{\ln{(a)}}=a
  • pour tout réel b : ln(eb)=b\ln{(e^b)}=b.

Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=xy=x.

Symétrie des courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien-math-tle

Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur [0 ,+]\lbrack 0\ ,+\infty \rbrack.

Propriétés algébriques

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Propriété

Pour tous nombres réels a  0a\ \rangle\ 0 et b  0b\ \rangle\ 0 et pour tout nombre entier relatif nn :

  • ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}
  • ln(1a)=ln(a)\ln{(\dfrac{1}{a})}=-\ln{(a)}
  • ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln{(\dfrac{a}{b})}=\ln{(a)}-\ln{(b)}
  • ln(a)=12ln(a)\ln{(\sqrt{a})}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)}
  • ln(an)=n ln(a)\ln{(a^n)}=n\ \ln{(a)}
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Exemple

Simplifions ln(32)\: \ln{(32)}, ln(11024)\: \ln{(\dfrac{1}{1024})} et ln(82)\: \ln{(8\sqrt{2})} :

  • ln(32)=ln(25)=5 ln(2)\ln{(32)}=\ln{(2^5)}=5\ \ln{(2)}
  • ln(11024)=ln(1210)=10 ln(2)\ln{(\dfrac{1}{1024})}=\ln{(\dfrac{1}{2^{10}})}=-10\ \ln{(2)}
  • ln(82)=ln(23×2)=ln(23×212)=ln(272)=72×ln(2)\ln{(8\sqrt{2})}=\ln{(2^3\times \sqrt{2})}=\ln{(2^3\times 2^\frac{1}{2})}=\ln{(2^{\frac{7}{2}})}=\dfrac{7}{2}\times \ln{(2)}

Résolutions d’équations et inéquations

Résolution d’équations du type ln(a)=ln(b)\ln{(a)}=\ln{(b)}

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Exemple

Résolvons ln(2x)=ln(x+3)\ln{(2x)}=\ln{(x+3)}

  • Recherche de l’ensemble de définition :

ln(x)ln{(x)} est défini uniquement pour x  0x\ \rangle\ 0.

Il faut donc 2x  02x\ \rangle\ 0 et x+3  0x+3\ \rangle\ 0, soit x  0x\ \rangle\ 0 et x  3x\ \rangle\ -3,

  • c’est à dire x  0x\ \rangle\ 0.
  • Résolution de l’équation :

ln(2x)=ln(x+3)<=>2x=x+3<=>x=3ln{(2x)}=ln{(x+3)}<=>2x=x+3<=>x=3

  • Vérification :

On vérifie que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition : on a bien 3  03\ \rangle\ 0.

Résolution d’inéquations du type : ln(a)ln(b)\ln{(a)}\geq \ln{(b)}

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Exemple

Résolvons ln(2x)ln(x+3)\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}

  • Recherche de l’ensemble de définition :

L’ensemble de définition est encore ]0 ,+]\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack.

  • Résolution de l’équation :

ln(2x)ln(x+3)<=>2xx+3\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}<=>2x\geq x+3 car xln(x)x\to \ln{(x)} est croissante sur ]0 ,+]\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack.

Alors ln(2x)ln(x+3)<=>x3\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)} <=>x\geq 3

  • Vérification :

On vérifie encore que la solution [3 ,+]\lbrack 3\ ,+\infty \rbrack est incluse dans l’ensemble de définition ]0 ,+]\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack.

Résolution d’une équation plus complexe

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Exemple

  • L’ensemble de définition est ]8 ,+]\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack.
  • On résout :

ln(x)+ln(x+8)=2ln(3)ln(x(x+8))=ln(32)x(x+8)=32x2+8x=9x2+8x9=0\begin{aligned}&\ln{(x)}+\ln{(x+8)}=2\ln{(3)}\ &\Leftrightarrow \ln{(x(x+8))}=\ln{(3^2)}\ &\Leftrightarrow x(x+8)=3^2\ &\Leftrightarrow x^2+8x=9\ &\Leftrightarrow x^2+8x-9=0\end{aligned}

Il s’agit d’une équation du second degré :

  • Calcul du discriminant :

Δ=824×(9)=64+36=100\Delta=8^2-4\times(-9)=64+36=100

  • Calcul des racines :

x1=8Δ2=8102=9x_1=\dfrac{-8-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8-10}{2}=-9

et

x2=8+Δ2=8+102=1x_2=\dfrac{-8+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8+10}{2}=1

  • Vérification :

x1=9x_1=-9 n’appartient pas à l’ensemble de définition ]8 ,+]\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack donc n’est pas solution.

Ainsi l’unique solution est  : S=1S = {1}

Le logarithme décimal

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Définition

Fonction logarithme décimal :

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log log définie sur ]0 ,+]\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack par : log(x)=ln(x)ln(10)\log{(x)}=\dfrac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}

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Propriété

log(10n)=ln(10n)ln(10)=n ln(10)ln(10)=n\log{(10^n)}=\dfrac{\ln{(10^n)}}{\ln{(10)}}=\dfrac{n\ \ln{(10)}}{\ln{(10)}}=n

On déduit les deux cas particuliers suivants : log(10)=1\log{(10)}=1 et log(1)=0\log{(1)}=0.

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Propriété

De même que pour le logarithme népérien :

log(ab)=log(a)+log(b)\log{(ab)}=\log{(a)}+\log{(b)}
log(ab)=log(a)log(b)\log{(\dfrac{a}{b})}=\log{(a)}-\log{(b)}
log(an)=nlog(a)\log{(a^n)}=n\log{(a)}