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Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations
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Introduction :
Nous allons étudier une nouvelle fonction : le logarithme népérien. Après l’avoir défini à partir de la fonction exponentielle, nous étudirons ses propriétés algébriques, résoudrons des équations et inéquations, puis définirons le logarithme décimal.
Définition
Définition
Définition
Fonction logarithme népérien :
Pour tout réel $a>0$ l’équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ appelée logarithme népérien de $a$ et notée $x=\ln{(a)}$.
On définit ainsi sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$ la fonction logarithme népérien : $x\to\ \ln{(x)}$.
La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. On en déduit les propriétés suivantes :
Propriété
- Si $a$ est un réel strictement positif et si $b$ est un réel, alors on a : $e^b=a<=>b=\ln{(a)}$
- pour tout réel strictement positif a : $e^{\ln{(a)}}=a$
- pour tout réel b : $\ln{(e^b)}=b$.
Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.
Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur $\lbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.
Propriétés algébriques
Propriétés algébriques
Propriété
Pour tous nombres réels $a\ \rangle\ 0$ et $b\ \rangle\ 0$ et pour tout nombre entier relatif $n$ :
- $\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}$
- $\ln{(\dfrac{1}{a})}=-\ln{(a)}$
- $\ln{(\dfrac{a}{b})}=\ln{(a)}-\ln{(b)}$
- $\ln{(\sqrt{a})}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)}$
- $\ln{(a^n)}=n\ \ln{(a)}$
Exemple
Simplifions $\: \ln{(32)}$, $\: \ln{(\dfrac{1}{1024})}$ et $\: \ln{(8\sqrt{2})}$ :
- $\ln{(32)}=\ln{(2^5)}=5\ \ln{(2)}$
- $\ln{(\dfrac{1}{1024})}=\ln{(\dfrac{1}{2^{10}})}=-10\ \ln{(2)}$
- $\ln{(8\sqrt{2})}=\ln{(2^3\times \sqrt{2})}=\ln{(2^3\times 2^\frac{1}{2})}=\ln{(2^{\frac{7}{2}})}=\dfrac{7}{2}\times \ln{(2)}$
Résolutions d’équations et inéquations
Résolutions d’équations et inéquations
Résolution d’équations du type $\ln{(a)}=\ln{(b)}$
Résolution d’équations du type $\ln{(a)}=\ln{(b)}$
Exemple
Résolvons $\ln{(2x)}=\ln{(x+3)}$
- Recherche de l’ensemble de définition :
$ln{(x)}$ est défini uniquement pour $x\ \rangle\ 0$.
Il faut donc $2x\ \rangle\ 0$ et $x+3\ \rangle\ 0$, soit $x\ \rangle\ 0$ et $x\ \rangle\ -3$,
- c’est à dire $x\ \rangle\ 0$.
- Résolution de l’équation :
$ln{(2x)}=ln{(x+3)}<=>2x=x+3<=>x=3$
- Vérification :
On vérifie que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition : on a bien $3\ \rangle\ 0$.
Résolution d’inéquations du type : $\ln{(a)}\geq \ln{(b)}$
Résolution d’inéquations du type : $\ln{(a)}\geq \ln{(b)}$
Exemple
Résolvons $\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}$
- Recherche de l’ensemble de définition :
L’ensemble de définition est encore $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.
- Résolution de l’équation :
$\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}<=>2x\geq x+3$ car $x\to \ln{(x)}$ est croissante sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.
Alors $\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)} <=>x\geq 3$
- Vérification :
On vérifie encore que la solution $\lbrack 3\ ,+\infty \rbrack$ est incluse dans l’ensemble de définition $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$.
Résolution d’une équation plus complexe
Résolution d’une équation plus complexe
Exemple
- L’ensemble de définition est $\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack$.
- On résout :
$\begin{aligned}&\ln{(x)}+\ln{(x+8)}=2\ln{(3)}\\ &\Leftrightarrow \ln{(x(x+8))}=\ln{(3^2)}\\ &\Leftrightarrow x(x+8)=3^2\\ &\Leftrightarrow x^2+8x=9\\ &\Leftrightarrow x^2+8x-9=0\end{aligned}$
Il s’agit d’une équation du second degré :
- Calcul du discriminant :
$\Delta=8^2-4\times(-9)=64+36=100$
- Calcul des racines :
$x_1=\dfrac{-8-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8-10}{2}=-9$
et
$x_2=\dfrac{-8+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-8+10}{2}=1$
- Vérification :
$x_1=-9$ n’appartient pas à l’ensemble de définition $\rbrack -8\ ,+\infty \rbrack$ donc n’est pas solution.
Ainsi l’unique solution est : $S = {1}$
Le logarithme décimal
Le logarithme décimal
Définition
Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $ log $ définie sur $\rbrack 0\ ,+\infty \rbrack$ par : $\log{(x)}=\dfrac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}$
Propriété
$\log{(10^n)}=\dfrac{\ln{(10^n)}}{\ln{(10)}}=\dfrac{n\ \ln{(10)}}{\ln{(10)}}=n$
On déduit les deux cas particuliers suivants : $\log{(10)}=1$ et $\log{(1)}=0$.
Propriété
De même que pour le logarithme népérien :
$\log{(ab)}=\log{(a)}+\log{(b)}$
$\log{(\dfrac{a}{b})}=\log{(a)}-\log{(b)}$
$\log{(a^n)}=n\log{(a)}$