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Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations

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Logarithme népérien

Définition : fonction logarithme népérien

Pour tout réel a>0a > 0, l’équation ex=ae^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R} appelée logarithme népérien de aa, et notée x=ln(a)x=\ln (a).

On définit ainsi sur ]0;+[]0; +\infty[ la fonction logarithme népérien : xln(x)x \mapsto \ln(x)

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

Propriétés :

Si aa est un réel strictement positif et si bb est un réel, alors on a :

  • eb=ab=ln(a)e^b=a \Leftrightarrow b=\ln(a)
  • eln(a)=ae^{\ln(a)}=a
  • lneb=b\ln{e^b}=b

Courbe représentative :

Courbes de fonctions symétriques-math-tle

Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=xy=x.

Propriétés algébriques :

Pour tous nombres réels aa et bb strictement positifs et pour tout nombre nZn∈ \mathbb{Z} :

  • ln(ab)=lna+lnb\ln (ab) =\ln a +\ln b
  • ln(1a)=lna\ln (\dfrac{1}{a}) =-\ln a
  • ln(ab)=lnalnb\ln (\dfrac{a}{b})=\ln a -\ln b
  • ln(a)=12lna\ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \ln a
  • ln(an)=nlna\ln (a^n)=n \ln a

Logarithme décimal

Définition : fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée loglog définie sur ]0;+[]0 ; +\infty[ par :

log(x)=ln xln 10log (x) =\dfrac {\ln\ x}{\ln\ 10}

Et la propriété qui en découle :

log 10n=nlog\ 10^n=n

Propriétés :

  • log(10n)=ln 10nln 10=n ln 10ln 10=nlog (10^n) =\dfrac {\ln\ 10^n} {\ln\ 10 }=\dfrac {n\ \ln\ 10} {\ln\ 10} =n
  • log 10=1 log\ 10=1 et log 1=0log\ 1= 0

Pour tous nombres réels a>0a > 0 et b>0b > 0 et pour tout nombre entier relatif nn :

  • log (ab)=log (a)+log (b)log\ (ab) =log\ (a) +log\ (b)
  • log (ab)=log (a)log (b)log\ (\dfrac{a}{b})=log\ (a) -log\ ( b)
  • log (an)=n log (a)log\ (a^n)=n\ log\ (a)