Fonction logarithme : définition, propriétés, logarithme décimal, résolution d'équations et inéquations

Logarithme népérien

Définition : fonction logarithme népérien

Pour tout réel $a > 0$, l’équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ appelée logarithme népérien de $a$, et notée $x=\ln (a)$.

On définit ainsi sur $]0; +\infty[$ la fonction logarithme népérien : $x \mapsto \ln(x)$

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

Propriétés :

Si $a$ est un réel strictement positif et si $b$ est un réel, alors on a :

• $e^b=a \Leftrightarrow b=\ln(a)$
• $e^{\ln(a)}=a$
• $\ln{e^b}=b$

Courbe représentative :

Dans un repère orthonormal, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

Propriétés algébriques :

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs et pour tout nombre $n∈ \mathbb{Z}$ :

• $\ln (ab) =\ln a +\ln b$
• $\ln (\dfrac{1}{a}) =-\ln a$
• $\ln (\dfrac{a}{b})=\ln a -\ln b$
• $\ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \ln a$
• $\ln (a^n)=n \ln a$

Logarithme décimal

Définition : fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $log$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par :

$log (x) =\dfrac {\ln\ x}{\ln\ 10}$

Et la propriété qui en découle :

$log\ 10^n=n$

Propriétés :

• $log (10^n) =\dfrac {\ln\ 10^n} {\ln\ 10 }=\dfrac {n\ \ln\ 10} {\ln\ 10} =n$
• $ log\ 10=1$ et $log\ 1= 0$

Pour tous nombres réels $a > 0$ et $b > 0$ et pour tout nombre entier relatif $n$ :

• $log\ (ab) =log\ (a) +log\ (b)$
• $log\ (\dfrac{a}{b})=log\ (a) -log\ ( b)$
• $log\ (a^n)=n\ log\ (a)$