Pré-requis
Étudions la fonction définie sur par
Etapes
Calcul de la dérivée
est de la forme avec et .
On connaît sa dérivée avec la formule :
Ainsi
D’où
Étude du signe de la dérivée
car est strictement croissante sur .
Ainsi est positive sur et négative sur .
Lien avec les variations de la fonction
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Ainsi est croissante sur et décroissante sur .
Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition
- Limite en 0 :
Alors
- Limite en :
et
On reste avec une forme indéterminée du type .
Pour lever ce problème, on factorise :
Or alors
On peut alors construire le tableau de variations de :