Savoir-faire : Savoir étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(x)

Étudions la fonction $f$ définie sur $\rbrack 0; +\infty\lbrack$ par $f(x)=x\ln{(x)}-2x$

Calcul de la dérivée

$x\to xln{(x)}$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=ln{(x)}$.

On connaît sa dérivée avec la formule : $(u(x) \times v(x))'=u'(x) \times v(x)+v'(x) \times u(x)$

Ainsi $(xln{(x)})'=ln{(x)}+1$

D’où $f'(x)=ln{(x)}-1$

Étude du signe de la dérivée

$f'(x)\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}-1\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}\geq1 \Leftrightarrow x\geq e$ car $\ln$ est strictement croissante sur $\rbrack 0 ;+\infty\lbrack$.

Ainsi $f'$ est positive sur $\lbrack e ;+\infty\lbrack$ et négative sur $\rbrack 0 ;e\lbrack$.

Lien avec les variations de la fonction

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Ainsi $f$ est croissante sur $\lbrack e ;+\infty\lbrack$ et décroissante sur $\rbrack 0;e\lbrack$.

Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition

• Limite en 0 :
  $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}-2x=0$

Alors $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}f(x)=\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ xln{(x)}+\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}-2x=0$

• Limite en $+\infty$ :

$\lim\limits_{x \to +\infty}\ xln{(x)}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}-2x=-\infty$

On reste avec une forme indéterminée du type $(+\infty) + (-\infty)$.

Pour lever ce problème, on factorise : $f(x)=xln{(x)}-2x=x(ln{(x)}-2)$

Or $\lim\limits_{x \to +\infty}(ln{(x)}-2)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

On peut alors construire le tableau de variations de $f$ :