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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(x)
Savoir-faire

Pré-requis

Étudions la fonction ff définie sur ]0;+[\rbrack 0; +\infty\lbrack par f(x)=xln(x)2xf(x)=x\ln{(x)}-2x

Etapes

Calcul de la dérivée

xxln(x)x\to xln{(x)} est de la forme u(x)×v(x)u(x) \times v(x) avec u(x)=xu(x)=x et v(x)=ln(x)v(x)=ln{(x)}.

On connaît sa dérivée avec la formule : (u(x)×v(x))=u(x)×v(x)+v(x)×u(x)(u(x) \times v(x))'=u'(x) \times v(x)+v'(x) \times u(x)

Ainsi (xln(x))=ln(x)+1(xln{(x)})'=ln{(x)}+1

D’où f(x)=ln(x)1f'(x)=ln{(x)}-1

Étude du signe de la dérivée

f(x)0ln(x)10ln(x)1xef'(x)\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}-1\geq0 \Leftrightarrow \ln{(x)}\geq1 \Leftrightarrow x\geq e car ln\ln est strictement croissante sur ]0;+[\rbrack 0 ;+\infty\lbrack.

Ainsi ff' est positive sur [e;+[\lbrack e ;+\infty\lbrack et négative sur ]0;e[\rbrack 0 ;e\lbrack.

Lien avec les variations de la fonction

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive ; et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Ainsi ff est croissante sur [e;+[\lbrack e ;+\infty\lbrack et décroissante sur ]0;e[\rbrack 0;e\lbrack.

Étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition

  • Limite en 0 :
    limx>0x02x=0\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}-2x=0

Alors limx>0x0f(x)=limx>0x0 xln(x)+limx>0x02x=0\lim\limits{\stackrel{x \to 0} {x>0}}f(x)=\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ xln{(x)}+\lim\limits_{\stackrel{x \to 0} {x>0}}-2x=0

  • Limite en ++\infty :

limx+ xln(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}\ xln{(x)}=+\infty et limx+2x=\lim\limits{x \to +\infty}-2x=-\infty

On reste avec une forme indéterminée du type (+)+()(+\infty) + (-\infty).

Pour lever ce problème, on factorise : f(x)=xln(x)2x=x(ln(x)2)f(x)=xln{(x)}-2x=x(ln{(x)}-2)

Or limx+(ln(x)2)=+\lim\limits{x \to +\infty}(ln{(x)}-2)=+\infty alors limx+f(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}f(x)=+\infty

On peut alors construire le tableau de variations de ff :