Exercices Fonction logarithme : continuité, limites et dérivabilité

On s'intéresse à la fonction $f$ définie pour tout $x>0$ par $f(x)=\log~x$, appelée fonction logarithme décimal.

On rappelle que $y=\log~x\Leftrightarrow 10^y=x$.

Démontrer que pour tout réel $x>0$, $\log~x=\frac{\ln~x}{\ln~10}$.

Dans $]0;+\infty[$ on pose $u(x)=2ln~x+x$.

Démontrer que $u$ s'annule en un unique $\alpha>0$

Démontrer que : $$e^{-1/2}<\alpha <1$$

On pose pour tout $x>0$ : $f(x)=2x-\ln x$

Déterminer l’expression de $f'(x)$ , et la mettre au même dénominateur.

On pose, pour tout $x>0$ :
$f(x)=3\ln(x)-x+1$

Déterminer la tangente à $C_f$ (la courbe de $f$) en $a=1$.

On pose, pour tout réel $x$ : $f(x)=x-ln(1+x^2)$.

Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

On pose pour tout $x \in ]0;+\infty[$ :
$f(x)=-\dfrac x3+\dfrac{\text{ln}x}{x^2}$

On définit $g$ par $g(x)=1-\dfrac{x^3}{3}-2\ln x$.

Démontrer que : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$