Cours Fonctions
Introduction
Dans de nombreuses situations, une grandeur dépend d’une autre. Par exemple, le prix à payer dépend de la quantité achetée et la température extérieure varie au cours de la journée. Dans ce cours, nous apprendrons à décrire la relation entre deux grandeurs à l’aide de l’expression « en fonction de ». Nous verrons ensuite comment représenter cette relation par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique. Enfin, nous apprendrons à reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité.
Exprimer la dépendance entre deux grandeurs
Comprendre l'expression « en fonction de »
Définition
Grandeur en fonction d’une autre Lorsqu’une grandeur dépend d’une autre grandeur, on dit qu’elle varie en fonction de cette grandeur.
Exemple
Des pommes sont vendues au prix de $2\ €$ par kilogramme.
Le prix à payer dépend de la masse de pommes achetée : plus la masse achetée est importante, plus le prix à payer est élevé.
On dit que le prix est calculé en fonction de la masse achetée.
Il s’agit d’une situation de proportionnalité : pour obtenir le prix, on multiplie la masse par 2.
Cependant, une grandeur peut dépendre d’une autre sans que les deux grandeurs soient proportionnelles.
Exemple
On relève la température extérieure à différentes heures de la journée.
La température observée dépend de l’heure du relevé.
On dit que la température évolue en fonction de l’heure.
Il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité : la température n’est pas obtenue en multipliant l’heure par un même nombre.
À retenir
Dire qu’une grandeur varie en fonction d’une autre signifie que sa valeur dépend de la valeur prise par cette autre grandeur. Cette relation n’est pas nécessairement une situation de proportionnalité.
Traduire une relation par une formule
Lorsque la relation entre deux grandeurs peut être calculée, on peut l’exprimer à l’aide d’une formule.
Exemple
Reprenons l’exemple des pommes vendues au prix de $2\ €$ par kilogramme. Si $m$ désigne la masse de pommes achetée, en kilogrammes, et $P$ le prix à payer, en euros, alors : $$P=2\times m$$ Cette formule signifie que, pour obtenir le prix à payer, on multiplie la masse achetée par $2$. Par exemple, pour une masse de $3\ \text{kg}$ : $$P=2\times 3=6\ €$$
On peut également produire une formule à partir des informations données dans une situation.
Exemple
Le périmètre d’un carré dépend de la longueur de son côté.
Comme un carré possède quatre côtés de même longueur, son périmètre est égal à quatre fois la longueur de son côté.
Si $c$ désigne la longueur du côté et $P$ le périmètre du carré, alors : $$P=4\times c$$
À retenir
Une formule permet d’exprimer la relation entre deux grandeurs et de calculer les valeurs de la grandeur qui dépend de l’autre.
Produire et interpréter un tableau de valeurs
Produire un tableau de valeurs
Définition
Tableau de valeurs :
Un tableau de valeurs permet d’organiser les valeurs prises par deux grandeurs qui dépendent l’une de l’autre.
Une formule permet de calculer plusieurs valeurs et de les organiser dans un tableau.
Exemple
Pour les pommes vendues au prix de $2\ €$ par kilogramme, le prix à payer est donné par la formule : $$P=2\times m$$ Calculons le prix correspondant à différentes masses de pommes.
Par exemple, pour compléter la colonne correspondant à $4\ \text{kg}$, on calcule : $$P=2\times 4=8\ €$$Chaque colonne associe une masse au prix correspondant.
Lire et interpréter un tableau de valeurs
Dans un tableau de valeurs, chaque colonne associe une valeur de la première grandeur à la valeur correspondante de la seconde grandeur.
Exemple
Reprenons le tableau précédent.
- Dans la colonne contenant $3\ \text{kg}$, on lit un prix de $6\ €$.
- Cela signifie que $3\ \text{kg}$ de pommes coûtent $6\ €$.
- Dans la colonne contenant un prix de $8\ €$, on lit une masse de $4\ \text{kg}$.
- Cela signifie que l’on peut acheter $4\ \text{kg}$ de pommes avec $8\ €$.
Le tableau permet également d’observer que chaque fois que la masse augmente de $1\ \text{kg}$, le prix augmente de $2\ €$.
À retenir
Pour lire un tableau de valeurs, on repère une valeur sur l’une des lignes, puis on lit la valeur correspondante dans la même colonne.
Représenter et interpréter graphiquement une relation
Placer les points correspondant à un tableau de valeurs
On peut représenter la relation entre deux grandeurs dans un repère orthogonal, formé de deux axes perpendiculaires.
- Sur l’axe horizontal, appelé axe des abscisses, on place les valeurs de la grandeur de départ.
- Sur l’axe vertical, appelé axe des ordonnées, on place les valeurs de la grandeur qui en dépend.
Chaque colonne du tableau de valeurs permet de placer un point dans le repère.
Exemple
Représentons graphiquement le prix des pommes en fonction de la masse achetée.
- Sur l’axe des abscisses, on place la masse achetée, en kilogrammes.
- Sur l’axe des ordonnées, on place le prix à payer, en euros.
La colonne suivante associe une masse de $2\ \text{kg}$ à un prix de $4\ €$ :
Masse $m$ (en kg) |
$2$ |
Prix $P$ (en €) |
$4$ |
Elle permet de placer le point de coordonnées $(2\ ;,4)$ :
- son abscisse est $2$ ;
- son ordonnée est $4$.
De la même manière, les autres colonnes du tableau permettent de placer les points de coordonnées $(0\ ;0)$, $(1\ ;2)$, $(3\ ;6)$, $(4\ ;8)$ et $(5\ ;10)$.
À retenir
Pour placer les points correspondant à un tableau de valeurs :
- on repère la première valeur de chaque colonne sur l’axe des abscisses ;
- on repère la valeur correspondante sur l’axe des ordonnées ;
- on place le point à l’intersection des deux lectures.
Lire et interpréter un graphique
Un graphique peut être constitué d’une courbe ou d’un nuage de points. Il permet de lire les valeurs prises par une grandeur en fonction d’une autre et d’observer leur évolution.
Exemple
Le graphique ci-dessous représente la température extérieure relevée au cours d’une journée d’automne.
Sur ce graphique, on peut lire que :
- à $10\ \text{h}$, la température était de $11\ ^\circ\text{C}$ ;
- la température la plus élevée a été relevée à $12\ \text{h}$ : elle était alors de $14\ ^\circ\text{C}$. On peut également repérer les périodes durant lesquelles la température augmente ou diminue.
Caractériser graphiquement une situation de proportionnalité
Reprenons la représentation graphique du prix des pommes.
Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère. Le prix à payer est donc proportionnel à la masse de pommes achetée.
En revanche, sur le graphique représentant la température, les points ne sont pas alignés sur une droite qui passe par l’origine. La température n’est donc pas proportionnelle à l’heure, même si elle évolue en fonction de celle-ci.
À retenir
Dans un repère, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris qu'une grandeur peut varier en fonction d'une autre sans nécessairement lui être proportionnelle. La relation entre deux grandeurs peut être représentée de trois manières :
- par une formule ;
- par un tableau de valeurs ;
- par un graphique. Un graphique permet également de lire et d'interpréter des valeurs. Lorsque les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère, la situation représentée est une situation de proportionnalité.
