Fonctions convexes

Définitions graphiques

• Fonction convexe sur un intervalle :
• Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$.
• Une fonction est convexe sur l’intervalle $I$ lorsque la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• Fonction concave sur un intervalle :
• Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$.
• Une fonction est concave sur l’intervalle $I$ lorsque la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Convexité et lien avec la dérivation

• Convexité et sens de variation de la dérivée : théorème.
• Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction dérivable sur $I$.
• $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est croissante sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est décroissante sur $I$.
• Convexité et signe de la dérivée seconde :
• Dérivée seconde :
• Soit $I$ un intervalle ; $f$ est une fonction définie et dérivable sur $I$ ; $f^{\prime}$ est sa dérivée.
• Si la fonction $f^{\prime}$ est dérivable sur $I$, on note $f^{\prime\prime}$ (« $f$ seconde ») sa dérivée. $f^{\prime\prime}$ est aussi appelée dérivée seconde de la fonction $f$.
• Théorème : soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction dérivable deux fois sur $I$.
• $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est positive sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est négative sur $I$.

Point d’inflexion

• Point d’inflexion :
• Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
• Soit un point $A\in \mathscr C_f $.
• Le point $A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr C_f$ lorsque la courbe $\mathscr C_f$ traverse sa tangente en $A$.
• En l’abscisse du point $A$, la fonction $f$ passe de concave à convexe, ou l’inverse.

Attention

Un point est « point d’inflexion » pour la courbe représentative d’une fonction, et non pas pour la fonction elle-même.

• Point d’inflexion et dérivée seconde : théorème.
• Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
• Soit un point $A\in \mathscr C_f $.
• $A$ est un point d’inflexion pour $\mathscr C_f$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $x_A$.