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Fonctions convexes

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Définitions graphiques

  • Fonction convexe sur un intervalle :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
  • Une fonction est convexe sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
  • Fonction concave sur un intervalle :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
  • Une fonction est concave sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Convexité et lien avec la dérivation

  • Convexité et sens de variation de la dérivée : théorème.
  • Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable sur II.
  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime} est croissante sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime} est décroissante sur II.
  • Convexité et signe de la dérivée seconde :
  • Dérivée seconde :
  • Soit II un intervalle ; ff est une fonction définie et dérivable sur II ; ff^{\prime} est sa dérivée.
  • Si la fonction ff^{\prime} est dérivable sur II, on note ff^{\prime\prime}ff seconde ») sa dérivée. ff^{\prime\prime} est aussi appelée dérivée seconde de la fonction ff.
  • Théorème : soit II un intervalle et ff une fonction dérivable deux fois sur II.
  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est positive sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est négative sur II.

Point d’inflexion

  • Point d’inflexion :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr C_f.
  • Soit un point ACfA\in \mathscr C_f .
  • Le point AA est un point d’inflexion pour la courbe Cf\mathscr Cf lorsque la courbe Cf\mathscr Cf traverse sa tangente en AA.
  • En l’abscisse du point AA, la fonction ff passe de concave à convexe, ou l’inverse.
bannière attention

Attention

Un point est « point d’inflexion » pour la courbe représentative d’une fonction, et non pas pour la fonction elle-même.

  • Point d’inflexion et dérivée seconde : théorème.
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et deux fois dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr C_f.
  • Soit un point ACfA\in \mathscr C_f .
  • AA est un point d’inflexion pour Cf\mathscr Cf si et seulement si ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en xAxA.