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Fonctions convexes

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Définitions graphiques

  • Fonction convexe sur un intervalle :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
  • Une fonction est convexe sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
  • Fonction concave sur un intervalle :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
  • Une fonction est concave sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Convexité et lien avec la dérivation

  • Convexité et sens de variation de la dérivée : théorème.
  • Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable sur II.
  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime} est croissante sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime} est décroissante sur II.
  • Convexité et signe de la dérivée seconde :
  • Dérivée seconde :
  • Soit II un intervalle ; ff est une fonction définie et dérivable sur II ; ff^{\prime} est sa dérivée.
  • Si la fonction ff^{\prime} est dérivable sur II, on note ff^{\prime\prime}ff seconde ») sa dérivée. ff^{\prime\prime} est aussi appelée dérivée seconde de la fonction ff.
  • Théorème : soit II un intervalle et ff une fonction dérivable deux fois sur II.
  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est positive sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est négative sur II.

Point d’inflexion

  • Point d’inflexion :
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr C_f.
  • Soit un point ACfA\in \mathscr C_f .
  • Le point AA est un point d’inflexion pour la courbe Cf\mathscr Cf lorsque la courbe Cf\mathscr Cf traverse sa tangente en AA.
  • En l’abscisse du point AA, la fonction ff passe de concave à convexe, ou l’inverse.
bannière attention

Attention

Un point est « point d’inflexion » pour la courbe représentative d’une fonction, et non pas pour la fonction elle-même.

  • Point d’inflexion et dérivée seconde : théorème.
  • Soit II un intervalle et ff une fonction définie et deux fois dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr C_f.
  • Soit un point ACfA\in \mathscr C_f .
  • AA est un point d’inflexion pour Cf\mathscr Cf si et seulement si ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en xAxA.