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Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques
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Avant de commencer, regarde les vidéos suivantes
Introduction :
Dans ce cours, nous commencerons par quelques rappels, puis nous étudierons les fonctions sinus et cosinus, avant de terminer par les limites et inéquations trigonométriques.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct , le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon 1.
Si est un point du cercle trigonométrique et si est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle soit égale à radians, alors :
Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir car elles permettent de résoudre rapidement des équations et inéquations trigonométriques.
Étude de la fonction sinus
Fonction sinus :
La fonction qui, à tout réel , associe le sinus de est appelée fonction sinus. est définie sur .
Dérivabilité de la fonction sinus
Étude sur l’intervalle
Pour réaliser une étude de fonction, il faut :
Pour tout réel de l’intervalle on sait que
Or, pour tout réel de l’intervalle :
Et pour tout réel de l’intervalle :
On en déduit donc le tableau de variations de la fonction sinus ainsi que sa courbe représentative sur :
Parité, périodicité et courbe représentative
L’ensemble de définition de la fonction sinus est , qui est un ensemble symétrique par rapport à 0.
On a pour tout nombre réel :
Une fonction est paire si
Une fonction est impaire si
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.
À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle à l’intervalle .
On a pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.
Étude de la fonction cosinus
La fonction cosinus :
La fonction qui à tout réel associe le cosinus de est appelée fonction cosinus. est définie sur .
Dérivabilité de la fonction cosinus
Étude sur l’intervalle
Pour tout réel de l’intervalle on sait que
Or, pour tout réel de l’intervalle : donc
La fonction sinus est donc décroissante sur .
On en déduit donc le tableau de variations de la fonction cosinus ainsi que sa courbe représentative sur :
Parité, périodicité et courbe représentative
L’ensemble de définition de la fonction cosinus est , qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 0.
On a pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle à l’intervalle
On a pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.
Limites et inéquations trigonométriques
Ce dernier résultat est à connaître, mais on peut le retrouver grâce à la définition du nombre dérivé :
Résolution d’une inéquation trigonométrique
On cherche à résoudre sur puis sur .
Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction sinus, en ne conservant que les points dont l’ordonnée est strictement inférieure à -0,5 . Leurs abscisses sont les solutions de l’inéquation .
Mais il est plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.
Dans , les solutions se lisent :
Dans , les solutions se lisent :