[IN] Introduction : Dans ce cours, nous commencerons par quelques rappels, puis nous étudierons les fonctions sinus et cosinus, avant de terminer par les limites et inéquations trigonométriques. [/IN] [RAP] Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i}\ ;\vec{j})$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Si $M$ est un point du cercle trigonométrique et si $\alpha$ est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle $(\vec{i}\ ;\vec{OM})$ soit égale à $\alpha$ radians, alors : * le cosinus de l’angle $\alpha$ est l’abscisse du point $M$ : cette valeur se note $\text{cos}\ \alpha$ * le sinus de l’angle $\alpha $ est l’ordonnée du point $M$ : cette valeur se note $\text{sin} \:\alpha $. [IMG]((85))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-part1-0-00-55-23.jpg) #[/IMG] Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir car elles permettent de résoudre rapidement des équations et inéquations trigonométriques. [IMG]((80))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-1.jpg) #[/IMG] [/RAP] ##Étude de la fonction sinus/1 [DEF] **Fonction sinus :** La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus. $x \to \text{sin} (x)$est définie sur $\mathbb{R}$. [/DEF] ###Dérivabilité de la fonction sinus/a. [PROP] * La fonction sinus est **continue** sur $\mathbb{R}$.((bulle, 1)) * La fonction sinus est **dérivable** sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$((bulle, 2)) [/PROP] ###Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ /b. Pour réaliser une étude de fonction, il faut : * dériver la fonction ;((fleche)) * étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction.((fleche)) Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$ Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; {\pi \over 2} ]$ : $\text{cos} (x )\geq 0$ * La fonction sinus est donc croissante sur $[0\ ; {\pi \over 2} ]$((fleche)) [IMG]((50))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-2.jpg) #[/IMG] Et pour tout réel $x$ de l’intervalle $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$ : $\text{cos} (x )\leq 0$ * La fonction sinus est donc décroissante sur $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$((fleche)) [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-3.jpg) #[/IMG] On en déduit donc le tableau de variations de la fonction sinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ : [IMG]((55))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-4.jpg) #[/IMG] ###Parité, périodicité et courbe représentative/c. * **Parité de la fonction sinus**((bulle, 1)) L’ensemble de définition de la fonction sinus est $\mathbb{R}$, qui est un ensemble symétrique par rapport à 0. On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(-x) = \text{sin}(-x) = \text{- sin} (x) = -f(x)$$ * On dit alors que la fonction sinus est **impaire**.((fleche)) [RETENIR] Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ Une fonction est impaire si $f(-x) = - f(x)$ [/RETENIR] [PROP] La courbe représentative $C$ de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $0$ du repère. [/PROP] À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ à l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$. [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-5.jpg) #[/IMG] * **Périodicité de la fonction sinus**((bulle, 2)) On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(x+2\pi)=\text{sin} ( x+2\pi)=\text{sin} (x) =f(x)$$ * On dit alors que la fonction sinus est **périodique de période** $2\pi$.((fleche)) [PROP] La courbe représentative $C$ de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi {\vec i }$. [/PROP] À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$. [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-6.jpg) #[/IMG] La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée **sinusoïde**. ##Étude de la fonction cosinus/2 [DEF] **La fonction cosinus :** La fonction qui à tout réel $x$ associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus. $x \to \text{cos} (x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. [/DEF] ###Dérivabilité de la fonction cosinus /a. [PROP] * La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.((bulle, 1)) * La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $$\text{cos'}(x) = -\text{sin} (x)$$((bulle, 2)) [/PROP] ###Étude sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$/b. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{cos'}(x) = \text{- sin}(x)$ Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ : $\text{sin} (x )\geq 0$ donc $\text{-sin} (x )\leq 0$ La fonction sinus est donc décroissante sur $[0\ ; \pi ]$. [IMG]((50))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-7.jpg) #[/IMG] On en déduit donc le tableau de variations de la fonction cosinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ : [IMG]((55))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-part3-0-05-53-04.jpg) #[/IMG] ###Parité, périodicité et courbe représentative/c. * **Parité de la fonction cosinus**((bulle, 1)) L’ensemble de définition de la fonction cosinus est $\mathbb{R}$, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 0. On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(-x) = \text{cos}(-x) = \text{cos} (x) = f(x)$$ * On dit alors que la fonction cosinus est **paire**.((fleche)) [PROP] La courbe représentative $C$ de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. [/PROP] À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ à l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$ [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-8.jpg) #[/IMG] * **Périodicité de la fonction cosinus**((bulle, 2)) On a pour tout nombre réel $x$ : $$f(x+2\pi)=\text{cos} ( x+2\pi)=\text{cos} (x) =f(x)$$ * On dit alors que la fonction cosinus est **périodique de période** $2\pi$.((fleche)) [PROP] La courbe représentative $C$ de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur $2 \pi {\vec i }$. [/PROP] À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur $\mathbb{R}$ la courbe tracée précédemment sur l’intervalle $[-\pi\ ; \pi ]$. [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-9.jpg) #[/IMG] La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée **sinusoïde**. ##Limites et inéquations trigonométriques/3 [RETENIR] * Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini. * $\lim\limits_{x \to 0}{ {\text{sin} (x)\over x} }= 1$ [/RETENIR] Ce dernier résultat est à connaître, mais on peut le retrouver grâce à la définition du nombre dérivé : $\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin(x)}{x}&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(0+x)-\sin(0)} {x} \\ &= \sin^{\prime} (0) \\ &=\cos(0) \\ &= 1 \end{aligned}$ * Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d’abscisse $0$.((fleche)) [EX] **Résolution d’une inéquation trigonométrique** On cherche à résoudre $\sin(x)<0,5$ sur $]-\pi\ ; \pi ]$ puis sur $[0\ ;2 \pi [$. Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction sinus, en ne conservant que les points dont l’ordonnée est strictement inférieure à -0,5 . Leurs abscisses sont les solutions de l’inéquation $\sin(x)<0,5$. Mais il est plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique. Dans $]-\pi\ ; \pi ]$, les solutions se lisent : $$S = \Bigg]{-5\pi \over 6}\ ; {-\pi \over 6} \Bigg[$$ [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-part4-0-08-48-02.jpg) #[/IMG] Dans $[0\ ;2 \pi [$, les solutions se lisent : $$S = \Bigg]{7\pi \over 6}\ ; {11\pi \over 6} \Bigg[$$ [IMG]((60))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-7-copie-de-10.jpg) #[/IMG] [/EX]