Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Dans ce cours, nous commencerons par quelques rappels, puis nous étudierons les fonctions sinus et cosinus, avant de terminer par les limites et inéquations trigonométriques.

bannière rappel

Rappel

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;i ;j)(O;\vec{i}\ ;\vec{j}), le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 1.

Si MM est un point du cercle trigonométrique et si α\alpha est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle (i ;OM)(\vec{i}\ ;\vec{OM}) soit égale à α\alpha radians, alors :

  • le cosinus de l’angle α\alpha est l’abscisse du point MM : cette valeur se note cos α\text{cos}\ \alpha
  • le sinus de l’angle α\alpha est l’ordonnée du point MM : cette valeur se note sinα\text{sin} \:\alpha .

Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir car elles permettent de résoudre rapidement des équations et inéquations trigonométriques.

Étude de la fonction sinus

bannière definition

Définition

Fonction sinus :

La fonction qui, à tout réel xx, associe le sinus de xx est appelée fonction sinus. xsin(x)x \to \text{sin} (x)est définie sur R\mathbb{R}.

Dérivabilité de la fonction sinus

bannière propriete

Propriété

  • La fonction sinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est dérivable sur R\mathbb{R} et pour tout réel xx on a : sin’(x)=cos(x)\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)

Étude sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ]

Pour réaliser une étude de fonction, il faut :

  • dériver la fonction ;
  • étudier le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction.

Pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ] on sait que sin’(x)=cos(x)\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)

Or, pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;π2][0\ ; {\pi \over 2} ] : cos(x)0\text{cos} (x )\geq 0

  • La fonction sinus est donc croissante sur [0 ;π2][0\ ; {\pi \over 2} ]

Et pour tout réel xx de l’intervalle [π2 ;π][ {\pi \over 2}\ ; \pi ] : cos(x)0\text{cos} (x )\leq 0

  • La fonction sinus est donc décroissante sur [π2 ;π][ {\pi \over 2}\ ; \pi ]

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction sinus ainsi que sa courbe représentative sur [0 ;π][0\ ; \pi ] :

Parité, périodicité et courbe représentative

  • Parité de la fonction sinus

L’ensemble de définition de la fonction sinus est R\mathbb{R}, qui est un ensemble symétrique par rapport à 0.

On a pour tout nombre réel xx : f(x)=sin(x)=- sin(x)=f(x)f(-x) = \text{sin}(-x) = \text{- sin} (x) = -f(x)

  • On dit alors que la fonction sinus est impaire.
bannière à retenir

À retenir

Une fonction est paire si f(x)=f(x)f(-x) = f(x)

Une fonction est impaire si f(x)=f(x)f(-x) = - f(x)

bannière propriete

Propriété

La courbe représentative CC de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine 00 du repère.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ] à l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi ].

  • Périodicité de la fonction sinus

On a pour tout nombre réel xx : f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)f(x+2\pi)=\text{sin} ( x+2\pi)=\text{sin} (x) =f(x)

  • On dit alors que la fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.
bannière propriete

Propriété

La courbe représentative CC de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur 2πi2 \pi {\vec i }.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi ].

La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.

Étude de la fonction cosinus

bannière definition

Définition

La fonction cosinus :

La fonction qui à tout réel xx associe le cosinus de xx est appelée fonction cosinus. xcos(x)x \to \text{cos} (x) est définie sur R\mathbb{R}.

Dérivabilité de la fonction cosinus

bannière propriete

Propriété

  • La fonction cosinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est dérivable sur R\mathbb{R} et pour tout réel xx on a : cos’(x)=sin(x)\text{cos'}(x) = -\text{sin} (x)

Étude sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ]

Pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ] on sait que cos’(x)=- sin(x)\text{cos'}(x) = \text{- sin}(x)

Or, pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ] : sin(x)0\text{sin} (x )\geq 0 donc -sin(x)0\text{-sin} (x )\leq 0

La fonction sinus est donc décroissante sur [0 ;π][0\ ; \pi ].

On en déduit donc le tableau de variations de la fonction cosinus ainsi que sa courbe représentative sur [0 ;π][0\ ; \pi ] :

Parité, périodicité et courbe représentative

  • Parité de la fonction cosinus

L’ensemble de définition de la fonction cosinus est R\mathbb{R}, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 0.

On a pour tout nombre réel xx : f(x)=cos(x)=cos(x)=f(x)f(-x) = \text{cos}(-x) = \text{cos} (x) = f(x)

  • On dit alors que la fonction cosinus est paire.
bannière propriete

Propriété

La courbe représentative CC de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi ] à l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi ]

  • Périodicité de la fonction cosinus

On a pour tout nombre réel xx : f(x+2π)=cos(x+2π)=cos(x)=f(x)f(x+2\pi)=\text{cos} ( x+2\pi)=\text{cos} (x) =f(x)

  • On dit alors que la fonction cosinus est périodique de période 2π2\pi.
bannière propriete

Propriété

La courbe représentative CC de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur 2πi2 \pi {\vec i }.

À l’aide de cette propriété, on peut prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi ].

La courbe représentative de la fonction cosinus est également appelée sinusoïde.

Limites et inéquations trigonométriques

bannière à retenir

À retenir

  • Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.
  • limx0sin(x)x=1\lim\limits_{x \to 0}{ {\text{sin} (x)\over x} }= 1

Ce dernier résultat est à connaître, mais on peut le retrouver grâce à la définition du nombre dérivé :

limx0sin(x)x=limx0sin(x)1x1=sin’(x)=cos(x)\lim\limits{x \to 0} { {sin (x)\over x} }= \lim\limits{x \to 0} { {\text{sin} (x)-1\over x-1} }=\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)

Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d’abscisse 0.

bannière exemple

Exemple

Résolution d’une inéquation trigonométrique

On cherche à résoudre sin(x)<0,5\sin(x)<0,5 sur ]π ;π]]-\pi\ ; \pi ] puis sur [0 ;2π[[0\ ;2 \pi [.

Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction sinus, en ne conservant que les points dont l’ordonnée est strictement inférieure à -0,5 . Leurs abscisses sont les solutions de l’inéquation sin(x)<0,5\sin(x)<0,5.

Mais il est plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.

Dans ]π ;π]]-\pi\ ; \pi ], les solutions se lisent : S=]5π6 ;π6[S = \Bigg]{-5\pi \over 6}\ ; {-\pi \over 6} \Bigg[

Dans [0 ;2π[[0\ ;2 \pi [, les solutions se lisent : S=]7π6 ;11π6[S = \Bigg]{7\pi \over 6}\ ; {11\pi \over 6} \Bigg[