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Programme Lycée TleCours MathématiquesFonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriquesundefined : Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriquesFonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques
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Valeurs particulières dans le cercle trigonométrique
La fonction sinus
Définition : fonction sinus
La fonction qui, à tout réel $x$, associe le sinus de $x$ est appelée fonction sinus. $x\to {\sin\ x}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
Propriétés : fonction sinus
- La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
- La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\sin' x =\cos\ x$
- La fonction sinus est croissante sur $[0\ ; \dfrac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\dfrac {\pi}{2}\ ;\pi]$
Propriétés : courbe représentative de la fonction sinus
- La fonction sinus est impaire : $$f(-x)=\sin (-x) =-\sin (x) =-f(x)$$
- La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.
- La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur $2\pi\overrightarrow{i}$ ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période $2π$.
Propriété : limite remarquable avec la fonction sinus
$\lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big)= 1$
On peut retrouver ce résultat grâce à la définition du nombre dérivé :
$\lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big) = \lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ {x-1}}{x-1}\big)=\sin'\ x=\cos\ x$
Fonction cosinus
Définition : fonction cosinus
La fonction qui à tout réel $x$ associe le cosinus de $x$ est appelée fonction cosinus. $x\to{\cos\ x}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
Propriétés : fonction cosinus
- La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
- La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\cos' x =-\sin\ x$.
- La fonction cosinus est décroissante sur $[0\ ; \pi]$.
Propriétés : courbe représentative de la fonction cosinus
- La fonction cosinus est paire : $$f(-x)=\cos\ (-x) =\cos\ (x) =f(x)$$
- La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur $2\pi\overrightarrow{i}$ ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période $2\pi$.
À retenir
Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.
