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Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, limites et inéquations trigonométriques

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Valeurs particulières dans le cercle trigonométrique

La fonction sinus

Définition : fonction sinus

La fonction qui, à tout réel xx, associe le sinus de xx est appelée fonction sinus. xsin xx\to {\sin\ x} est définie sur R\mathbb{R}.

Propriétés : fonction sinus

  • La fonction sinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est dérivable sur R\mathbb{R} et pour tout réel xx on a : sinx=cos x\sin' x =\cos\ x
  • La fonction sinus est croissante sur [0 ;π2][0\ ; \dfrac{\pi}{2}] et décroissante sur [π2 ;π][\dfrac {\pi}{2}\ ;\pi]

Propriétés : courbe représentative de la fonction sinus

  • La fonction sinus est impaire : f(x)=sin(x)=sin(x)=f(x)f(-x)=\sin (-x) =-\sin (x) =-f(x)
  • La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine OO du repère.
  • La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur 2πi2\pi\overrightarrow{i} ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période 2π.

Propriété : limite remarquable avec la fonction sinus

limx0(sin xx)=1\lim\limits_{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big)= 1x0(xsin x)=1

On peut retrouver ce résultat grâce à la définition du nombre dérivé :

limx0(sin xx)=limx0(sin x1x1)=sin x=cos x\lim\limits{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ x}{x}\big) = \lim\limits{x \to 0}\big(\dfrac{\sin\ {x-1}}{x-1}\big)=\sin'\ x=\cos\ x

Fonction cosinus

Définition : fonction cosinus

La fonction qui à tout réel xx associe le cosinus de xx est appelée fonction cosinus. xcos xx\to{\cos\ x} est définie sur R\mathbb{R}.

Propriétés : fonction cosinus

  • La fonction cosinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est dérivable sur R\mathbb{R} et pour tout réel xx on a : cosx=sin x\cos' x =-\sin\ x.
  • La fonction cosinus est décroissante sur [0 ;π][0\ ; \pi].

Propriétés : courbe représentative de la fonction cosinus

  • La fonction cosinus est paire : f(x)=cos (x)=cos (x)=f(x)f(-x)=\cos\ (-x) =\cos\ (x) =f(x)
  • La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur 2πi2\pi\overrightarrow{i} ; on dit aussi que la fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.

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À retenir

Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini.