Formes trigonométriques et exponentielles
Introduction :
Dans les cours précédents nous avons étudié les nombres complexes sous la forme $z=a+ib$. Nous allons maintenant étudier deux nouvelles formes : la forme trigonométrique et la forme exponentielle.
Rappel
Cercle trigonométrique :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
Si $M$ est un point du cercle trigonométrique et si $\alpha$ est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle $(\vec{i},\vec{OM})$ soit égale à $\alpha$ radians, alors :
- le cosinus de l’angle $\alpha$ est l’abcisse du point $M$ et se note $\text{cos}{(\alpha)}$ ;
- le sinus de l’angle $\alpha$ est l’ordonnée du point $M$ et se note $\text{sin}{(\alpha)}$.
Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir :
Forme trigonométrique
Forme trigonométrique
Argument d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe
Rappel
Le module d’un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre réel $r=\sqrt{(a^2+b^2)}$.
Définition
Argument d’un nombre complexe :
Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul et $M$ le point d’affixe $z$.
Un argument de $z$ noté $\theta=\arg{(z)}$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ en radians.
Un nombre complexe $z$ possède ainsi une infinité d’arguments ; $\theta$ étant la mesure principale de l’angle, les autres étant de la forme $\theta=2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
On note $\arg{z}=\theta\ [2\pi]$.
Exemple
- Si $z$ est un réel strictement positif (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie positive de l’axe des abscisses) alors un argument de $z$ est égal à $0$.
- Si $z$ est un réel strictement négatif (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie négative de l’axe des abscisses) alors un argument de $z$ est égal à $\pi$.
- Si $z$ est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie positive de l’axe des ordonnées), alors un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$
- Si $z$ est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie négative de l’axe des ordonnées), alors un argument de $z$ est égal à $-\dfrac{\pi}{2}$
Propriété
Soit $A$, $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. On a alors :
$(\vec{u},\vec{AB})=\arg{(z_B-z_A)}$
$(\vec{AB},\vec{CD})=\arg{\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}$
Propriété
- $\arg{(-z)}=-\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
- $\arg{\overline{z}}=-\arg{z} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
- $\arg{(zz')}=\arg{(z)} +\arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
- $\arg{(z^n)}=n\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
- $\arg{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\arg{(z)} - \arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
Écriture trigonométrique
Écriture trigonométrique
Définition
Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $z=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg{(z)}$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Exemple
Écrire sous forme trigonométrique les complexes $z=i$ et $z=-5$.
$z=i$ : $\left\lbrace \begin{aligned} |i|&=1 \\ \arg{(i)}&=\dfrac{\pi}{2}\end{aligned} \Leftrightarrow z=1\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin {\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\right)\right.$
$z=-5$ : $\bigg\lbrace \begin{aligned} |-5|&=5 \\ \arg{(-5)}&=\pi \ \end{aligned} \Leftrightarrow z=5(\text{cos}{(\pi)}+i\text{sin}{(\pi}))$
Propriété
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
$z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} a=r\text{cos}{(\theta)} \\ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{array}$
Exemple
Soit $z=1-i\sqrt{3}$, écrire $z$ sous forme trigonométrique.
- Calcul du module :
$r=|z|=\sqrt{(1^2+3)}=\sqrt{4}=2$
- Calcul de l’argument :
$\left\lbrace \begin{aligned} \cos(\theta)&=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta)&=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \ \end{aligned} \Leftrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{3} \right.$
Astuce
On peut s’aider d’un cercle trigonométrique.
- Écriture de la forme trigonométrique :
$z=r\left(\text{cos}{\left(\theta\right)}+i\text{sin}{\left(\theta\right)}\right)=2\left(\text{cos}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}+i\text{sin}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}\right)$
Exemple
Soit $z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right)$, écrire $z$ sous forme algébrique.
$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{sin}{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \end{array}\right.$ d’où $z=6\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i $
Notation exponentielle
Notation exponentielle
Définition
Notation exponentielle :
Pour tout réel $\theta$, on pose $e^{i\theta}=\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}$.
Exemple
$e^{i0}=1$
$e^{i\frac{\pi}{2}}=i$
$e^{i\pi}=-1$
$e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i$
- Ainsi tout complexe de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit : $z=re^{i\theta}:$ c’est l’écriture exponentielle du complexe $z$.
Exemple
$z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right)=6e\scriptsize^{i\frac{\pi}{4}}$
Propriété
- $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$
- $(e^{i\theta})^n=e^{ni\theta}$
- $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
- $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$
- $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
- Formules d’Euler :
$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \text{cos}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ \text{sin}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array} \right.$