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Formes trigonométriques et exponentielles

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Introduction :

Dans les cours précédents nous avons étudié les nombres complexes sous la forme z=a+ibz=a+ib. Nous allons maintenant étudier deux nouvelles formes : la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

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Rappel

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11.

Si MM est un point du cercle trigonométrique et si α\alpha est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle (i,OM)(\vec{i},\vec{OM}) soit égale à α\alpha radians, alors :

  • le cosinus de l’angle α\alpha est l’abcisse du point MM et se note cos(α)\text{cos}{(\alpha)} ;
  • le sinus de l’angle α\alpha est l’ordonnée du point MM et se note sin(α)\text{sin}{(\alpha)}.

Cercle trigonométrique, sinus et cosinus - maths - tle

Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir :

Valeurs particulières des sinus et cosinus - maths - tle

Forme trigonométrique

Argument d’un nombre complexe

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Rappel

Le module d’un nombre complexe z=a+ibz=a+ib est le nombre réel r=(a2+b2)r=\sqrt{(a^2+b^2)}.

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Définition

Argument d’un nombre complexe :

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe non nul et MM le point d’affixe zz.

Un argument de zz noté θ=arg(z)\theta=\arg{(z)} est une mesure de l’angle orienté (u,OM)(\vec{u},\vec{OM}) en radians.

Argument d’un nombre complexe - maths - tle

Un nombre complexe zz possède ainsi une infinité d’arguments ; θ\theta étant la mesure principale de l’angle, les autres étant de la forme θ=2kπ\theta=2k\pi avec kZk\in\mathbb{Z}.

On note argz=θ [2π]\arg{z}=\theta\ [2\pi].

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Exemple

  • Si zz est un réel strictement positif (c’est-à-dire si MM est placé sur la partie positive de l’axe des abscisses) alors un argument de zz est égal à 00.
  • Si zz est un réel strictement négatif (c’est-à-dire si MM est placé sur la partie négative de l’axe des abscisses) alors un argument de zz est égal à π\pi.
  • Si zz est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive (c’est-à-dire si MM est placé sur la partie positive de l’axe des ordonnées), alors un argument de zz est égal à π2\dfrac{\pi}{2}
  • Si zz est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative (c’est-à-dire si MM est placé sur la partie négative de l’axe des ordonnées), alors un argument de zz est égal à π2-\dfrac{\pi}{2}
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Propriété

Soit AA, BB , CC et DD quatre points distincts d’affixes respectives zAzA, zBzB, zCzC et zDzD. On a alors :

(u,AB)=arg(zBzA)(\vec{u},\vec{AB})=\arg{(zB-zA)}

(AB,CD)=arg(zDzCzBzA)(\vec{AB},\vec{CD})=\arg{\left(\dfrac{zD-zC}{zB-zA}\right)}

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Propriété

  • arg(z)=arg(z)+2kπ (kZ)\arg{(-z)}=-\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})
  • argz=argz+2kπ (kZ)\arg{\overline{z}}=-\arg{z} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})
  • arg(zz)=arg(z)+arg(z)+2kπ (kZ)\arg{(zz')}=\arg{(z)} +\arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})
  • arg(zn)=narg(z)+2kπ (kZ)\arg{(z^n)}=n\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})
  • arg(zz)=arg(z)arg(z)+2kπ (kZ)\arg{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\arg{(z)} - \arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})

Écriture trigonométrique

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Définition

Forme trigonométrique d’un nombre complexe :

Pour tout nombre complexe zz non nul, z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)}) avec r=zr=|z| et θ=arg(z)\theta=\arg{(z)}.

Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

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Exemple

Écrire sous forme trigonométrique les complexes z=iz=i et z=5z=-5.

z=iz=i : {i=1arg(i)=π2z=1(cos(π2)+isin(π2))\left\lbrace \begin{aligned} |i|&=1 \ \arg{(i)}&=\dfrac{\pi}{2}\end{aligned} \Leftrightarrow z=1\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin {\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\right)\right.

z=5z=-5 : {5=5arg(5)=π z=5(cos(π)+isin(π))\bigg\lbrace \begin{aligned} |-5|&=5 \ \arg{(-5)}&=\pi \ \end{aligned} \Leftrightarrow z=5(\text{cos}{(\pi)}+i\text{sin}{(\pi}))

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Propriété

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

z=a+ib=r(cos(θ)+isin(θ)){a=rcos(θ)b=rsin(θ) z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} a=r\text{cos}{(\theta)} \ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{array}

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Exemple

Soit z=1i3z=1-i\sqrt{3}, écrire zz sous forme trigonométrique.

  • Calcul du module :

r=z=(12+3)=4=2r=|z|=\sqrt{(1^2+3)}=\sqrt{4}=2

  • Calcul de l’argument :

{cos(θ)=ar=12sin(θ)=br=32 θ=π3\left\lbrace \begin{aligned} \cos(\theta)&=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \ \sin(\theta)&=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \ \end{aligned} \Leftrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{3} \right.

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Astuce

On peut s’aider d’un cercle trigonométrique.

  • Écriture de la forme trigonométrique :

z=r(cos(θ)+isin(θ))=2(cos(π3)+isin(π3))z=r\left(\text{cos}{\left(\theta\right)}+i\text{sin}{\left(\theta\right)}\right)=2\left(\text{cos}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}+i\text{sin}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}\right)

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Exemple

Soit z=6(cos(π4)+isin(π4))z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right), écrire zz sous forme algébrique.

{cos(π4)=22sin(π4)=22 \left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \text{sin}{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \end{array}\right. d’où z=6(22+i22)=32+32iz=6\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i

Notation exponentielle

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Définition

Notation exponentielle :

Pour tout réel θ\theta, on pose eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta}=\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}.

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Exemple

ei0=1e^{i0}=1
eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}}=i
eiπ=1e^{i\pi}=-1
eiπ2=ie^{-i\frac{\pi}{2}}=-i

  • Ainsi tout complexe de module rr et d’argument θ\theta s’écrit : z=reiθ:z=re^{i\theta}: c’est l’écriture exponentielle du complexe zz.
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Exemple

z=6(cos(π4)+isin(π4))=6eiπ4z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right)=6e\scriptsize^{i\frac{\pi}{4}}

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Propriété

  • eiθeiθ=ei(θ+θ)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}
  • (eiθ)n=eniθ(e^{i\theta})^n=e^{ni\theta}
  • 1eiθ=eiθ\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
  • eiθeiθ=ei(θθ)\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}
  • eiθ=eiθ\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
  • Formules d’Euler :

{cos(θ)=eiθ+eiθ2sin(θ)=eiθeiθ2i\left\lbrace \begin{array}{rcr} \text{cos}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \ \text{sin}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array} \right.