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Introduction :
Dans les cours précédents nous avons étudié les nombres complexes sous la forme . Nous allons maintenant étudier deux nouvelles formes : la forme trigonométrique et la forme exponentielle.
Cercle trigonométrique :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon .
Si est un point du cercle trigonométrique et si est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle soit égale à radians, alors :
Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir :
Forme trigonométrique
Argument d’un nombre complexe
Le module d’un nombre complexe est le nombre réel .
Argument d’un nombre complexe :
Soit un nombre complexe non nul et le point d’affixe .
Un argument de noté est une mesure de l’angle orienté en radians.
Un nombre complexe possède ainsi une infinité d’arguments ; étant la mesure principale de l’angle, les autres étant de la forme avec .
On note .
Soit , , et quatre points distincts d’affixes respectives , , et . On a alors :
Écriture trigonométrique
Forme trigonométrique d’un nombre complexe :
Pour tout nombre complexe non nul, avec et .
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Écrire sous forme trigonométrique les complexes et .
:
:
Soit , écrire sous forme trigonométrique.
On peut s’aider d’un cercle trigonométrique.
Soit , écrire sous forme algébrique.
d’où
Notation exponentielle
Notation exponentielle :
Pour tout réel , on pose .