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Marianne

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Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Savoir-faire

Pré-requis

Propriété :

z=a+ib=r(cos(θ)+isin(θ)){a=rcos(θ)b=rsin(θ) z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow\left\lbrace \begin{aligned} a=r\text{cos}{(\theta)} \ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{aligned}\right .

À l'aide d’un exemple nous allons montrer comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

Soit z=1i3z=1-i\sqrt{3}

Etapes

Calcul du module

r=z=(12+3)=4=2r=|z|=\sqrt{(1^2+3)}=\sqrt{4}=2 Calcul de l’argument

{cos(θ)=ar=12sin(θ)=br=32 θ=π3\left \lbrace \begin{aligned} \text{cos}{(\theta)}&=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \ \text{sin}{(\theta)}&=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \ \end{aligned} \Leftrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{3}\right .

Il est possible de s'appuyer sur un cercle trigonométrique. Écriture sous la forme trigonométrique

z=r(cos(θ)+isin(θ))=2(cos(π3)+isin(π3))z=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})=2(\text{cos}{(-\dfrac{\pi}{3})}+i\text{sin}{(-\dfrac{\pi}{3})})