Savoir-faire Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Propriété :

$z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow\left\lbrace \begin{aligned} a=r\text{cos}{(\theta)} \\ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{aligned}\right .$

À l'aide d’un exemple nous allons montrer comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

Soit $z=1-i\sqrt{3}$

Calcul du module

$r=|z|=\sqrt{(1^2+3)}=\sqrt{4}=2$

Calcul de l’argument

$\left \lbrace \begin{aligned} \text{cos}{(\theta)}&=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \\ \text{sin}{(\theta)}&=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \ \end{aligned} \Leftrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{3}\right .$

Il est possible de s'appuyer sur un cercle trigonométrique.

Écriture sous la forme trigonométrique

$z=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})=2(\text{cos}{(-\dfrac{\pi}{3})}+i\text{sin}{(-\dfrac{\pi}{3})})$