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Formes trigonométriques et exponentielles

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Rappel :

  • Le module d’un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre réel $r=\sqrt{(a^2+b^2)}$.

Forme trigonométrique

Argument d’un nombre complexe

Définition : Argument d’un nombre complexe

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul et $M$ le point d'affixe $z$.
Un argument de $z$ noté $\theta=\arg(z)$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$ en radians.

Propriétés :

Soit $ A,B,C$ et$ D$ quatre points distincts d’affixes respectives $z_A$, $ z_B$, $z_C$ et $z_D$
On a alors :

$(\vec{u},\overrightarrow{AB})=\arg{(z_B-z_A)}$

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\arg{(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})}$

Propriétés :

Soit $k∈Z$ :

  • $\arg(- z)=-\arg(z)+2k\pi$
  • $\arg(\bar{z})=-\arg(z)+2kπ$
  • $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')+2k\pi$
  • $\arg(z^n)=n\arg(z)+2k\pi$
  • $\arg{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\arg{(z)} -\arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$

Écriture trigonométrique

Définition : Forme trigonométrique

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $z=r(\text{cos}{\theta}+i\text{sin}{\theta})$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg{(z)}$
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Propriété : Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

$z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow \bigg\lbrace \begin{array}{rcr} a=r\text{cos}{(\theta)} \\ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{array}$

Notation exponentielle

Propriétés :

Pour tout réel $\theta$ on pose $e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin\theta$ (admis)

  • $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$
  • $(e^{i\theta})^n=e^{ni\theta}$
  • $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
  • $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$
  • $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
  • Formules d’Euler :

$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \text{cos}{(\theta)}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ \text{sin}{(\theta)}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array}\right.$