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Formes trigonométriques et exponentielles

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Rappel :

  • Le module d’un nombre complexe z=a+ibz=a+ib est le nombre réel r=(a2+b2)r=\sqrt{(a^2+b^2)}.

Forme trigonométrique

Argument d’un nombre complexe

Définition : Argument d’un nombre complexe

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe non nul et MM le point d'affixe zz.
Un argument de zz noté θ=arg(z)\theta=\arg(z) est une mesure de l’angle orienté (u,OM)(\vec{u},\overrightarrow{OM}) en radians.

Propriétés :

Soit A,B,C A,B,C etD D quatre points distincts d’affixes respectives zAzA, zB zB, zCzC et zDzD
On a alors :

(u,AB)=arg(zBzA)(\vec{u},\overrightarrow{AB})=\arg{(zB-zA)}

(AB,CD)=arg(zDzCzBzA)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\arg{(\dfrac{zD-zC}{zB-zA})}

Propriétés :

Soit kZk∈Z :

  • arg(z)=arg(z)+2kπ\arg(- z)=-\arg(z)+2k\pi
  • arg(zˉ)=arg(z)+2kπ\arg(\bar{z})=-\arg(z)+2kπ
  • arg(zz)=arg(z)+arg(z)+2kπ\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')+2k\pi
  • arg(zn)=narg(z)+2kπ\arg(z^n)=n\arg(z)+2k\pi
  • arg(zz)=arg(z)arg(z)+2kπ (kZ)\arg{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\arg{(z)} -\arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})

Écriture trigonométrique

Définition : Forme trigonométrique

Pour tout nombre complexe zz non nul, z=r(cosθ+isinθ)z=r(\text{cos}{\theta}+i\text{sin}{\theta}) avec r=zr=|z| et θ=arg(z)\theta=\arg{(z)}
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Propriété : Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

z=a+ib=r(cos(θ)+isin(θ)){a=rcos(θ)b=rsin(θ) z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow \bigg\lbrace \begin{array}{rcr} a=r\text{cos}{(\theta)} \ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{array}

Notation exponentielle

Propriétés :

Pour tout réel θ\theta on pose eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos \theta +i \sin\theta (admis)

  • eiθeiθ=ei(θ+θ)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}
  • (eiθ)n=eniθ(e^{i\theta})^n=e^{ni\theta}
  • 1eiθ=eiθ\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
  • eiθeiθ=ei(θθ)\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}
  • eiθ=eiθ\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
  • Formules d’Euler :

{cos(θ)=eiθ+eiθ2sin(θ)=eiθeiθ2i\left\lbrace \begin{array}{rcr} \text{cos}{(\theta)}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \ \text{sin}{(\theta)}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array}\right.